数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题三 满分示范课——立体几何 Word版含解析

满分示范课立体几何立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系建模将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【典例】(满分12分)(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值规范解答(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.由于DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1，0，2). 又是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为.高考状元满分心得1写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全如第(1)问中BCDM；在证明平面AMD平面BMC时，只写出DM平面BMC，忽视条件DM平面AMD，均导致扣分2写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出线面、面面垂直证明过程中的三个条件，否则不得分；第(2)问中不写出公式cosn，而得出余弦值则要扣1分3正确计算是得满分的保证：如第(2)问中三棱锥MABC体积最大时，点M的坐标，求平面法向量坐标，以及cosn，的值，否则题目不能得分解题程序第一步：由面面垂直性质，证BC平面CMD，与BCDM，第二步：根据面面垂直判定，证平面AMD平面BMC，第三步：建立空间坐标系，求相应点的坐标，第四步：计算平面MAB的法向量，求二面角的正弦值，第五步：检验反思，规范解题步骤跟踪训练1.(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值(1)证明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)解：如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2).(0，2，2)取平面PAC的一个法向量(2，0，0)设M(a，2a，0)(0a2)，则(a，4a，0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取ya，得平面PAM的一个法向量为n(a4)，a，a)，所以cos，n .由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a4(舍去)或a.所以n(，)又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.2.(2019广州调研)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，CC14，AB2，AC2，BAC45，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点(1)证明：BCB1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角MB1CA的余弦值(1)证明：在ABC中，由余弦定理得，BC248222cos 454，所以BC2，则有AB2BC28AC2，所以ABC90，所以BCAB.又因为BCBB1，BB1ABB，所以BC平面ABB1A1，又B1M平面ABB1A1，故BCB1M.(2)解：由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.由(1)知四棱锥CABB1M的高为BC2，因为V三棱柱ABCA1B1C12248，所以V四棱锥CABB1MV柱4，又V四棱锥CABB1MS梯形ABB1MBCS梯形ABB1M4，所以S梯形ABB1M62，所以AM2.此时M为AA1的中点以点B为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2)所以(0，2，4)，(2，0，2)，(2，2，0)，设n1(x，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，所以即令z11，可得n1(1，2，1)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，所以即令z21，可得n2(2，2，1)，所以cosn1，n2，所以二面角MB1CA的余弦值为.