2020届百师联盟高三练习(一)(全国卷Ⅱ)数学(理)试题(解析版)

精选优质文档-倾情为你奉上2020届百师联盟高三练习（一）（全国卷）数学（理）试题一、单选题1集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先化简集合，为，再根据求解.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A2BCD【答案】A【解析】根据、满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在y轴上截距最小时的最优点，此时目标函数取得最大值.【详解】由、满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分，将目标函数，转化为，平移直线，当直线在y轴上截距最小时，经过点，此时目标函数取得最大值，所以的最大值为2.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3已知，则的值等于（ ）ABC2D4【答案】D【解析】先利用商数关系和平方关系，将，转化为，再由求解.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4若均为正数，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，设，根据指对数互化，求得的值，根据对数运算得出与之间的关系式.【详解】解：由题可知，均为正数，设，则，则，所以，即：.故选：D【点睛】本题考查指数和对数的互化以及对数的运算性质的应用，考查化简能力.5等差数列中，若，则的值是（ ）A2B4C5D6【答案】A【解析】利用等差数列的性质，由，得到，再将，转化为，再通过等差数列的性质求解.【详解】因为，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6已知圆，设；：圆上至多有2个点到直线的距离为，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由圆的圆心为，得到其到直线的距离为，利用“”法，分析当，时，圆上的点到直线的距离为的个数，再根据逻辑条件的定义求解.【详解】圆的圆心为，其到直线的距离为当时，圆上没有点到直线的距离为；当时，圆上恰有一个点到直线的距离为；当时，圆上有2个点到直线的距离为；当时，圆上有3个点到直线的距离为；当，圆上有4个点到直线的距离为若圆上至多有2个点到直线的距离为2，则所以是的充要条件故选：C【点睛】本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.7已知定点，点在圆上运动，为圆心，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，利用椭圆的定义判断点的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭圆，求出的值，求出椭圆的标准方程，即可得出动点的轨迹方程.【详解】解：由题可知，圆，圆心，所以点的轨迹是以原点为中心，为焦点的椭圆，所以，所以动点的轨迹方程为，故选：A【点睛】本题考查利用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的关键.8已知定义在上的函数满足：，当时，则，的大小顺序为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据，得到是上的偶函数，再根据，得到在上是增函数再根据，利用单调性求解.【详解】由知，是上的偶函数，又，得在上是增函数，在上是减函数因为，所以，因为，所以，即.故选：B【点睛】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用，还考查了理解辨析运算求解的能力，属于中档题.9斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图1它来源于斐波那契数列（），又称为黄金分割数列根据该作图规则有程序如图2，此时若输入数值，输出为（ ） A2B3C4D5【答案】D【解析】先验证，再根据，依次进行验证，直至终止时对应的值即为所求.【详解】已知，此时，此时，此时，此时，此时，所以当时，.故选：D【点睛】本题主要考查程序框图的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.10为了支持山区教育，某中学安排6位教师到、四个山区支教，要求、两个山区各安排一位教师，、两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有（ ）A180种B172种C168种D156种【答案】D【解析】根据题意，分三种情况讨论，利用排列组合的性质，结合特殊元素和部分平均分配问题，最后利用分类加法原理，即可求出结果.【详解】解：由题可知，分三种情况讨论：（1）甲，乙两位教师均没有去山区，共有种；（2）甲，乙两位教师只有一人去或山区，共有种；（3）甲，乙两位教师分别去或山区，共有种，故共有：种安排方案故选：D【点睛】本题考查排列组合的实际应用，涉及特殊位置优先考虑原则、部分平均分配以及分类加法原理，考查分类讨论思想和计算能力.11已知函数若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，将方程有8个不相等的实数根，转化为的方程有两个不等实根，设，根据二次函数图像的性质，得出，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由于关于的方程有8个不相等的实数根，设，则，作出的图像，由图1知，关于的方程有两个不等实根，设，则由图2知，所以，所以，解得：，即：实数的取值范围为.故选：B 图1 图2【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，通过方程的零点个数求参数范围，考查转化思想和数形结合思想.12已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】直接对和进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出在区间上是单调减函数和在区间上是单调增函数，由于，使得，则，即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为函数，在区间上是单调减函数，所以，在区间上是单调增函数，所以，由于使得，所以，当时，得或，所以或，所以，得故选：B【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及根据存在性问题求参数范围，考查转化和计算能力.二、填空题13已知是偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】先利用是偶函数，当时，求得时的解析式，再利用导数的几何意义求函数切线方程.【详解】设，则，因为，所以，又，所以切线方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查奇偶性的应用和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14某居民小区要把如图所示的凸四边形用来修一个健身运动场所，经过测量，得到如图所示的数据，则健身运动场所的面积大约为_（保留到小数点后一位）【答案】68.3【解析】根据题意，连结，在中，根据余弦定理求得，由图中角的关系，得出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理，求得，最后根据，即可求出四边形的面积，即可得出健身运动场所的面积.【详解】解：如图，连结，在中，由余弦定理得：，所以，所以为等腰三角形，因为，所以，所以，所以为等腰直角三角形，设，则，所以，所以=，所以四边形的面积大约为，即健身运动场所的面积大约为.故答案为：.【点睛】本题考查四边形的面积求法，涉及余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.15中，为的重心，为的外心，则_【答案】【解析】根据三角形的外心的性质，得出，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值.【详解】解：因为为的重心，为的外心，所以，所以，即.故答案为:【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力.16定义在上的函数满足，当时，则函数在区间上的零点个数是_【答案】502【解析】根据函数周期性，得出是周期为4的周期函数，令，得，则函数在区间上的零点个数转化为与在上的交点个数，根据周期性，即可得出结果.【详解】解：因为，所以，所以是周期为4的周期函数令，得，在同一坐标系下画出与的图像，由图知，当时，函数有3个零点又因为，即在区间上有167个完整的周期，零点个数为，所以函数在区间共有502个零点.故答案为：502【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过转化为两函数的交点个数问题，结合函数的周期性的应用，考查数形结合思想.三、解答题17为认真贯彻落实党中央国务院决策部署，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，坚持调控政策的连续性和稳定性，进一步稳定某省市商品住房市场，该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价，并取得了一定效果，下表是2019年2月至6月以来该市某城区的房价均值数据：（月份）23456（房价均价：千元/平方米）9.809.709.309.20已知：（1）若变量、具有线性相关关系，求房价均价（千元/平方米）关于月份的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测该市某城区7月份的房价（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式）【答案】（1）（2）9.02千元/平方米【解析】（1）根据表格中的数据，可求得，进而求得，写出回归方程.（2）利用（1）所求得的线性回归方程，将，代入求解.【详解】（1）由表格中的数据，可得，因为，所以，所以，所以线性回归方程为（2）利用（1）所求得的线性回归方程，可预测7月份的房价（千元/平方米）所以该市某城区7月份的房价为9.02千元/平方米【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18设为实数，给出命题，；命题：函数的值域为（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真，为假，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】先化简命题：，则，有解，设，求其最小值即可.命题：函数的值域为则只需真数取遍一切正实数，则由求解.（1）若为真，则都为真求解.（2）若为真，为假，则、一真一假，分真假和假真，两种情况分类求解.【详解】设，则在上时增函数，故当时，的最小值为，若为真，则；因为函数的值域为，则只需真数取遍一切正实数，所以，所以或若命题为真命题，则（1）若为真，则实数满足，即实数的取值范围为；（2）若为真，为假，则、一真一假若真假，则实数满足；若假真，则实数满足；综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查复合命题的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19如图所示，四棱锥中，点分别为的中点（1）证明：平面平面；（2）若，求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题可知，结合为正三角形，进而证得，利用面面平行的判定定理，即可证明：平面平面；（2）取中点，连结，通过线面垂直的性质和判定定理，即可证出平面，建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出空间异面直线的夹角的余弦值.【详解】（1）如图，因为分别为的中点，所以，平面，平面；又，所以为正三角形，又，所以，又，所以，平面因为，所以平面平面（2）如图，取中点，连结，因为，所以为正三角形，所以，又因为为等腰三角形，所以，所以三点共线，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以平面以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题考查面面平行的判定和线面垂直的性质和判定，考查利用空间向量法求异面直线夹角问题，考查空间推理和计算能力.20临近开学季，某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆，其成本是每件15元经多数商家销售经验，这款书包在未来1个月（按30天计算）的日销售量（个）与时间（天）的关系如下表所示：时间（/天）1471128日销售量（/个）19618417215688未来1个月内，前15天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且为整数），后15天每天的价格（元/个）与时间（天）的函数关系式为（且为整数）（1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据（个）与（天）的关系式；（2）试预测未来1个月中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？（3）在实际销售的第1周（7天），商家决定每销售1件商品就捐赠元利润给该城区养老院商家通过销售记录发现，这周中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围【答案】（1）（2）第5天时的销售利润最大，最大值2025元（3）【解析】（1）若选一次函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意，若选反比例函数，则设为，代，求解，再代入其他点验证是否符合题意.（2）设日销售利润为元，根据（1）的结果，分当，时，讨论求解.（3）建立函数模型，根据每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，因为，则由二次函数的性质，对称轴应求解.【详解】（1）若选一次函数，则设为，代，得，解得所以，代入中，符合题意；若选反比例函数，则设为，代，得，解得，不合题意所以，与的函数关系式为（2）设日销售利润为元，当时，所以当时，有最大值2025元当时，因当时，随的增大而减小，故当时，有最大值952元综上所述，第5天时的销售利润最大，最大值2025元（3），对称轴为，因为，且为整数，随的增大而增大，开口向下，所以，所以，故所以【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的实际应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点设函数，（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据新定义，当时，求出，即可得出函数的不动点；（2）由于函数在上不存在不动点，则在区间上无解，即在上无解，利用换元法，令，转化为在区间上无解，构造新函数并求出单调区间，结合函数的恒成立问题，即可求出实数的取值范围【详解】解：（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当时，得，所以，所以，所以函数的不动点为0（2）根据已知，得在区间上无解，所以在上无解，令，所以，即在区间上无解，所以在区间上无解，设，所以在区间上单调递增，故，所以或，所以或，又因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，设，所以在区间上单调递增，故，所以，所以综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的综合应用，考查新定义的应用、构造新函数、函数的单调性以及函数的恒成立问题求参数范围，考查转化思想和计算能力.22已知函数，（1）当时，设函数在区间上的最小值为，求；（2）设，若函数有两个极值点，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，则，通过分类讨论参数，利用导数研究函数在区间上的单调性和最值，即可求得.（2）要证，即证，当时，则，构造函数，利用导数求出在单调递增，得出，即可证明出.【详解】解：（1）当时，函数，则，当时，在上单调递增，所以当时，令，解得，（i）当时，即时，在上单调递增，由上知，此时；（ii）当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；（iii）当时，即时，在上单调递减，此时综上得：，即当时，属于一次函数，由于，则在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，则，所以在区间上单调递增，所以在区间上，；当时，综合上述得出：（2）原式转化为求证，当时，所以是方程的两根，所以，因为且，所以，所以，令，则，所以在单调递增，所以，即【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性和最值以及利用导数证明不等式，涉及分类讨论和构造函数的方法，考查转化思想和计算能力.专心-专注-专业