材料力学：压杆稳定

(a)(b) 拉压杆的强度条件为拉压杆的强度条件为： = FNA12-1 12-1 压杆的稳定概念压杆的稳定概念(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。(b): 木木杆的横截面与杆的横截面与(a)相同，高为相同，高为 1.4m(细长压杆）细长压杆），当压力为当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。时杆被压弯，导致破坏。 (a)和和(b)竟相差竟相差60倍，为什么？倍，为什么？ 细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态所致。这种现象称为失稳。 1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）（倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）倒塌后成为一片废墟倒塌后成为一片废墟 1925年苏联莫兹尔年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破桁架压杆失稳导致破坏时的情景。坏时的情景。这是这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致支臂柱失稳的实例。支臂柱失稳的实例。 1983年年10月月4日，高日，高54.2m、长、长17.25m、总重总重565.4KN大型脚手架局部大型脚手架局部失稳坍塌，失稳坍塌，5人死亡、人死亡、7人人受伤受伤 。失失 稳稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。的变化或破坏过程。稳定性稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）小球平衡的三种状态小球平衡的三种状态稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡 （ 临界状态临界状态 ）受压直杆平衡的三种形式受压直杆平衡的三种形式 电子式万能试电子式万能试验机上的压杆稳定验机上的压杆稳定实验实验 工程项目的工程项目的压杆稳定试验压杆稳定试验12-2 12-2 细长压杆临界压力的欧拉公式细长压杆临界压力的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡FcrFNyy考察微弯状态下局部压杆的平衡考察微弯状态下局部压杆的平衡: :M (x) = Fcr y (x)M (x) = EId x2d2y0222ykdxydEIFkcr2令令二阶常系数线性奇次微分方程FcrFNyy微分方程的解微分方程的解: :y =Asinkx + Bcoskx边界条件边界条件: : y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0（二阶常系数线性齐次微分方程）（二阶常系数线性齐次微分方程）)(2EIFkcr0222ykdxyd0 A + 1 B = 0sinkl A +coskl B=0B = 0sinkl A =0 若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：FcrFNyysinkl = 0可可得得由由EIFkcr2B = 0sinkl A =0y =Asinkx + Bcoskx222lEInFcrnkl （n = 0、1、2、3）FcrFNyy临界载荷临界载荷: :屈曲位移函数屈曲位移函数 : : 最小临界载荷最小临界载荷: :两端铰支细长压杆的临界载荷的欧拉公式222lEInFcrlxnAxysin)(2min2lEIFcr 临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。= 0 . 1 KN (b)2min2lEIFcr(a) F j x = A b = 6 KN二、支承对二、支承对压杆临界载荷的影响压杆临界载荷的影响临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: :一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 0.7 两端固定两端固定 : : 0.5 两端铰支两端铰支 : : 1.022)( lEIFcr中的 Imin 如何确定 ？2min2)( lEIFcr定性定性确定确定 Imin例：图示细长圆截面连杆，长度，直径,材料为Q235钢，E200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .解：1、细长压杆的临界载荷MPas2352、从强度分析ssAFmml800)(8 .73kN64422dlE6210235402. 022crFlEI648.002.0102002493)(2.24kNzymmd20crFBAl一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度AFcrcr临界应力的欧拉公式il压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比）AIi 惯性半径惯性半径cr压杆容易失稳压杆容易失稳,2zziAI.2yyiAIAlEI22)(222)(ilE22)(ilE22E12-3 12-3 欧拉公式的使用范围欧拉公式的使用范围 临界应力总图临界应力总图柔度是影响压杆承载能力的综合指标。柔度是影响压杆承载能力的综合指标。,ppE2ppE2（细长压杆临界柔度）例：Q235钢钢，二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围pcr.22pcrE.200,200MPaGPaEpppE2200102003210035.99欧拉公式的适用范围: ，称大柔度杆（细长压杆 ）p1 1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。22)( lEIFcr22Ecr)(pp2 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。bacr直线型经验公式直线型经验公式bass)(spps临界压力：临界压力：临界压应力：临界压应力：材料a(MPa) b(MPa)硅钢5773.7410060铬钼钢9805.29550硬铝3722.14500铸铁331.91.453松木39.20.19959ba, 是与材料性能有关的常数。ps 直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。 bacr 3 3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。scr AFN)(ss三、临界应力总图三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。s P S P22Ecr细长压杆。细长压杆。ilcro直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆细长杆细长杆发生弹性屈曲发生弹性屈曲 (p)中长杆中长杆发生弹塑性屈曲发生弹塑性屈曲 (s p)粗短粗短杆杆不发生屈曲，而发生屈服不发生屈曲，而发生屈服 ( s)211bacr中柔度杆中柔度杆抛物线型经验公式抛物线型经验公式11,ba是与材料性能有关的常数。是与材料性能有关的常数。 抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的中柔度压杆。四、注意问题四、注意问题：1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。例：一压杆长L=1.5m，由两根 56566 等边角钢组成，两端铰支，压力 F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和安全系数（cr = 304 - 1.12 ）。412163.23 ,367.8cmIcmAy 48.92zyII解：查表：一个角钢：两根角钢图示组合之后41min26.4763.2322cmIIIyy cmAIi68. 1367. 8226.47min68.1150maxil100p3 .89所以，应由经验公式求所以，应由经验公式求临界压力。临界压力。)(4 .31420410367. 822kNAFcrcr1 . 21504 .314FFncr安全系数安全系数cr=304-1.12=304-1.1289.3 =204（MPa）临界压力临界压力1 1、安全系数法、安全系数法: :一、稳定条件一、稳定条件.crstcrFnFF.crstcrnstn稳定安全系数；稳定安全系数；stF稳定许用压力。稳定许用压力。cr稳定许用压应力。稳定许用压应力。2 2、折减系数法、折减系数法: : .)(crAF .)(cr许用应力；许用应力；1)(折减系数，与压杆的柔度和折减系数，与压杆的柔度和材料有关。材料有关。12-4 12-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算二、稳定计算二、稳定计算1 1、校核稳定性；、校核稳定性；2 2、设计截面尺寸；、设计截面尺寸；3 3、确定外荷载。、确定外荷载。三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别三、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别 强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。例例：图示起重机，图示起重机， AB 杆为圆松木，长杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa，直，直径为：径为： d = 0.3m，试试求此杆的许用压力。（求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰支；面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）面一端视为固定，一端视为自由）803 . 0461iLz解：解：折减系数法折减系数法1、最大柔度x y 面内面内， z = 1.0F1BF2xyzoz y 面内面内， y = 2.0max1603 . 0462iLy23000,80:时木杆xy cr )(91287. 143002kNAFcrBCBC2、求折减系数3、求许用压力711 . 0,160时时查查表表：木木杆杆)(287.1MPacrmax1603 . 0462iLy,52. 1,74.12021cmzcmA12zzII )2/( 22011azAIIyy)2/52. 1 (74.126 .2522a2)2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a即例：例：图示立柱，图示立柱，L=6m，由两根，由两根10号槽型号槽型A3钢组成，下端固定，上钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问端为球铰支座，试问 a=？时，立柱的？时，立柱的临界压力最大值为多少？临界压力最大值为多少？解解：1 1、对于单个对于单个1010号槽钢，形心在号槽钢，形心在C C1 1点。点。两根槽钢图示组合之后两根槽钢图示组合之后: :a=4.32cm（z1）.6 .25,3 .1984411cmIcmIyz46 .3963 .1982cmyzII 当当时最为合理：时最为合理：iL22)( lEIFcr2 2、求临界力求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力大柔度杆，由欧拉公式求临界力。1267 . 0AIz481074.122106 .39667 . 0p5 .106)(8 .443)67 .00(106 .39620022kN. )(8 .443kNFcr例：例：一等直压杆长一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cmA=14.72 cm2 2，I=79.95 cmI=79.95 cm4 4， E E =210 GPa =210 GPa，F F =60 kN=60 kN，材料为，材料为A A3 3钢，两端为铰支座。钢，两端为铰支座。 试进行稳定校核。试进行稳定校核。 1 1、nst= 2= 2； 2 2、=140 MPa解：解：1、安全系数法、安全系数法：il)(3 .1431073.149 .14510210)(2322222kNAELEIFcrwcrstnFF73.1494.791004 . 311009 .145p)(7 .7121 .143kNkNF602、折减系数法、折减系数法9 .14573.1494.791004 . 31il查表查表 =140，=0.349；=150，=0.306。33. 09 . 510306. 0349. 0349. 09 .145 )(2 .4614033. 0)(7 .401073.14106023MPaMPaAF.stcrcrnFFFAElEIFcr2222)(ilAIi 1、选择合理的截面形状：选择合理的截面形状：crFI2、改变压杆的约束形式：、改变压杆的约束形式：约束越牢固。crF3、选择合理的材料：、选择合理的材料：crFE但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。（1）大柔度杆采用不同钢材对稳定性差别不大；（2）中柔度杆临界力与强度有关，采用不同材料 对稳定性有一定的影响；（3）小柔度杆属于强度问题，采用不同材料有影响。12-5 12-5 提高压杆的稳定的措施提高压杆的稳定的措施4、减小压杆的长度。、减小压杆的长度。5、整个结构的综合考虑。、整个结构的综合考虑。.)(yyyil.)(zzzil.zy