2019年复旦大学外国留学生本科生入学考试大纲数学

2019 年复旦大学外国留学生本科生入学考试大纲数 学一、考试要求考试对象为报考复旦大学的外国留学生，为复旦大学各院系录取新生提供考生知识能力方面的信息。数学考试旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和思维能力、运算能力，以及运用有关数学知识分析问题和解决问题的能力。二、考试形式1、数学各部分内容在试卷中的占分比例代数：约55%三角：约15%平面解析几何：约25%立体几何：约5%2、题型比例填空题和选择题：占总分60%左右解答题：占总分40%左右3、考试时间及总分时间： 150 分钟总分： 150 分三、考试内容（一）代数1、集合与函数（1）理解集合及其表示， 掌握子集、 交集、并集、补集的概念， 了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确表示一些简单的集合。（ 2） 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，能求一些函数的解析式和定义域。（ 3） 了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数。（ 4） 掌握函数的奇偶性和单调性的概念以及它们图像特征，能判断一些函数的单调性、奇偶性。并且会利用单调性求一些函数的值域。（ 5） 理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式。理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质，会求它的解析式及最大值和最小值，1能灵活运用二次函数的性质解决有关问题。（ 6） 理解指数与对数的概念，掌握有关的性质和运算法则。（ 7） 理解幂函数、指数函数、对数函数的概念，掌握它们的图像和性质，解决与之相关的问题。2、不等式（ 1） 掌握不等式的性质及其应用，会用基本不等式求一些函数的最值。（ 2） 掌握一元一次不等式（组） 、一元二次不等式的解法；会解简单的分式不等式；了解区间的概念。了解绝对值不等式的性质，会解简单的绝对值不等式。（ 3） 会解一些含参数的不等式。3、数列与极限（ 1）了解数列有关概念。（ 2）理解等差数列与等比数列的概念，掌握等差数列与等比数列的通项及前n 项和的公式，并运用公式解决有关问题。（ 3）了解数列极限的意义和几个常见数列的极限，会利用数列极限的四则运算法则，计算一些数列的极限；掌握公比的绝对值小于1 的无穷等比数列的所有项和的公式。4、复数初步（ 1） 了解数的概念的扩展，理解复数的有关概念。（ 2） 掌握复数的四则运算，应用加法、减法运算的几何意义解决有关问题。5、平面向量（ 1） 理解平面向量的概念，理解向量的加法、减法、实数与向量的乘法的定义和几何意义；（ 2） 掌握向量的坐标表示法，向量与向量的数量积的定义，掌握他们的运算法则，并且能应用它们解决一些简单问题。6、排列组合、二项式定理（1）了解分类计数原理和分步计数原理，了解排列组合的概念，会用排列数、组合数的计算公式，会解排列、组合的简单应用题。（2）掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算一些简单问题。7、概率（ 1） 了解随机事件及其概率；（ 2） 了解等可能事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能事件的概率；（ 3） 了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式，计算一些事件的概率；（ 4） 了解相互独立事件的意义， 会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；2（5）会计算在n 次独立重复试验中，某件事恰好发生k 次的概率。（二）三角8、三角比（ 1） 了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念，理解弧度的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。（ 2） 掌握任意角三角比的定义，三角比的符号，同角三角比的关系式与诱导公式。（ 3） 掌握两角和与差的余弦、正弦、正切，二倍角的正弦、余弦和正切公式，会应用它们进行计算、化简。（ 4） 掌握正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，并应用这些公式解斜三角形。9、三角函数的图像和性质（ 1） 掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，会用它们解决有关问题；了解正切函数的图像和性质。（2）了解函数y As i n ( x) ysin x的图像之间的关系，会求函数与y A sin( x) 的周期、最大值和最小值。（三）平面解析几何10、直线（ 1） 掌握直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线的斜率公式，两条直线的平行和垂直的判断办法。（ 2） 掌握直线方程的几种形式，会求两条直线的交点和夹角，掌握点到直线距离公式，会用他们解决有关问题。11、圆锥曲线（ 1） 曲线和方程：掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的坐标系求曲线方程，并画出方程所表示的曲线。（ 2） 圆：掌握圆的标准方程和一般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系。（ 3） 椭圆：掌握椭圆的标准方程和几何性质。能用定义解决一些问题。（ 4） 双曲线：掌握双曲线的标准方程和几何性质。能用定义解决一些问题。（ 5） 抛物线：掌握抛物线的标准方程和几何性质，能用定义解决一些问题。（四）立体几何12、理解平面的基本性质，了解空间图形在平面内的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。13、了解空间两条直线的平行关系，直线平行关系的传递性；了解直线和平面，平面和平面平行的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。314、理解异面直线的概念，掌握异面直线的夹角，垂直的概念。15、掌握斜线在平面上的射影，直线和平面所成角的概念。三垂线定理及其逆定理。16、了解圆柱、圆锥、球的概念和性质，掌握直柱体、锥体的侧面积和表面积以及体积，球的表面积和体积公式。数 学 样 卷（满分 150 分）考生姓名 :_得分 :_一、选择题（每小题4 分，共 48 分）1、已知 Ax x10 , B2,1,0,1 ，则 (CR A)B（）A 、2、复数2,1B 、 2C、 1,0,1D、 0,1z(2i )2(i 为虚数单位），则 z（）iA、25B、41C、5D、53、若某公司从五位大学毕业生甲、 乙、丙、丁、戊中录用三人， 这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）22C、39A 、B、5D 、35104、抛物线 y28x 的焦点到直线 x3 y0 的距离是（）A、2 3B 、 2C、 3D 、 15、不等式 x222 的解集是（）A、 ( 1,1)B、 ( 2,2)C、 (1,0)(0,1)D、 (2,0) (0,2)6、已知 0，则双曲线 C1 :x2y21与C2:y 2x21的（）4sin2cos2cos2sin2A 、实轴长相等B、虚轴长相等C、离心率相等D、焦距相等7、已知函数 f (x)ln( 1 9x23x) 1，则 f (lg5)f (lg1)（）A 、 1B、 0C、 15D、 248、设 alog 3 6,b log5 10, clog7 14，则（）A 、 cbaB 、 bcaC、 acbD 、 abc9、已知点 A(1,1), B(1,2), C ( 2, 1), D (3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）32B 、31532315A 、2C、2D、2210、若 (12x)6a0a1 xa2 x2a6 x6 ，则 a0a1a2a6的值为（）A 、 1B、 64C、 243D、 72911、已知函数f ( x)1,x01) 11,x，则不等式 xf (x的解集为（）0A 、 1,)B 、 (,1 C、 1,1D、 1,212、已知椭圆 C :x2y21(ab0) 的左焦点为 F ， C 与过原点的直线相交于A,B 两a2b2点，连接AF ,BF.若AB10, BF8,cosABF4则的离心率为（）, C53564A 、B 、C、D 、5775二、填空题（每小题5 分，40分）13、从 n 个正整数 1,2, n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 1，14则 n _14、方程3113x1 的实数解为 _3x315、在ABC 中，内角 A, B,C 的边长分别为 a,b,c ，若 a sin Bcos C nsic cos BAb1 ，且 ab ，则B2_16、已知直三棱柱ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB 3, AC4，ABAC , AA112 ，则球 O 的半径为 _17、已知 sin7,(3) ，则 tan() _,252418 、 若 圆 x2y22xyR( R 0)和曲线1恰有六个公共点，则 R 的值是34_19、已知函数f (x)x24x, x m,5 的值域是 5, 4 ，则实数 m的取值范围是5_20、设 a 为实常数， yf (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f ( x) 9 x a27 ，x若 f (x) a 1对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 _三、解答题（本大题共有5 个小题，共62 分）21、（ 12 分）已知命题p : xAx a1 x a 1, x R，命题 q : x Bx x24x 3 0, x R .（ 1）若 AB, A BR,求实数 a 的值；（ 2）若?（q的否命题）是p的必要条件，求实数a的值。q22、（ 12 分）在公差为 d 的等差数列an 中，已知 a110 ，且 a1,2a22,5 a3 成等比数列。（1）求 d , an ；（2）若 d0 ，求 a1a2a3an23、（ 12 分）设函数 f ( x)33 sin2x sin x cos x (0) ，且 yf ( x) 图像的26一个对称中心到最近的对称轴的距离为。4（1）求的值；（2）求 f ( x) 在区间 , 3 上的最大值和最小值。224、（ 13 分）已知函数f (x)x2(x1) xa（ 1）若 a1，解方程 f (x) 1;（ 2）若函数 f (x) 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得 g ( x)f ( x)x x 在 R 上奇函数或是偶函数？若存在，求出 a的值，若不存在，请说明理由。25、（ 13 分）抛物线 E : y24x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为A ,点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线 l 交于不同的两点M , N7（1）若点 C 的纵坐标为2，求 MN ;（22AN ,求圆 C 的半径。）若 AFAM8参考答案一、选择题1、 A2、C3、 D4、 D5、D6、 D7、 D8、D9、 A10、 D11、 C12、B二、填空题13、 814、 log 3 415、1316、1762817、18、 319、 1,220、( ,317三、解答题21、解：（ 1） a2（ 2）由已知a13a2a 2a11a222、解：（ 1） d1 或 d4ann11或 an4n61n221n(n11)（ 2） Sn12212n2n 110(n12)2223、解：（ 1） f ( x)33 1cos2x1 sin 2 x2223 cos2x1 sin 2x22cos(2x6) ，T,T, 2,1442（ 2） f ( x)cos(2 x) ， x,32x2,3 ，62666f (x) 的最小值为1， f ( x) 的最大值为3224、解：（ 1） x x1或 x1（ 2） f ( x)2x2(a 1)xa(xa) ，根据函数图像，知f ( x) 在 R 上单调递增，所( a1)xa(xa)9a1a1以4aa103（3）由于 g( x)x2(x1) xa x xg(1)0, g( 1)0 ，得 a 0或2，所以 a0时， g(x)x2x 是偶函数；当 a2 时， g (x) 为非奇非偶函数。25、解：（ 1）点 C 的坐标为 (1,2) ，圆半径 rOC5 ,1 MN2r 2(1 1)2541，MN22（2）设 C( b2, b) ， r 2b4b2，圆方程为 (xb2)2( y b)2b4b2416416当 x1 时，得 yMbb21, yNbb21 ，因为222b2b24，化简得 b2AMAN , (b1)(b1)6，AF22r 233， r334210