数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题三 第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 Word版含解析

A级基础通关一、选择题1(2019华师附中检测)九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cn)，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺问它的体积是多少？”(注：1丈10尺，取3)()A704立方尺 B2 112立方尺C2 115立方尺 D2 118立方尺解析：设圆柱体底面半径为r，高为h，周长为C.因为C2r，所以r，因此Vr2hh2 112(立方尺)答案：B2(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，所以BC平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD，PBC，共3个答案：C3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A83 B84C85 D86解析：由题图可知，几何体为半圆柱挖去半球体，几何体的表面积为242486.答案：D4中国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A18 B18 C18 D.解析：在俯视图RtABC中，作AHBC交于点H.由三视图的意义，则BH6，HC3，根据射影定理，AH2BHHC，所以AH3.易知该“堑堵”的侧视图是矩形，长为6，宽为AH3，故侧视图的面积S6318.答案：C5我国古代数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为()A12 B8C12 D122解析：依题意，不规则几何体的体积等同于一长方体去掉半圆柱(底面半径为1，高为2)后的体积所以V32212212.答案：A6(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形所以r .所以圆柱的体积为Vr2h1.故选B.答案：B二、填空题7(2019江苏卷)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是_解析：设长方体中BCa，CDb，CC1c，则abc120，所以VE-BCDabcabc10.答案：108(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为_解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V(12)226.答案：69(2017北京卷改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD2.答案：210(2019惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB10，AD10，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将ABE，CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为_解析：三棱锥P-DEF中，PD2PF2CD2CF2DF2，所以DPF90，且DF2102(5)2150.又DEF90，所以DF的中点为三棱锥P-DEF的外接球的球心，则2RDF，故球的表面积S4R2150.答案：150B级能力提升11(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54解析：由等边ABC的面积为9可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.故选B.答案：B12我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面可以证明S圆S环总成立据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_解析：因为S圆S环总成立，则半椭球体的体积为b2ab2ab2a.所以椭球体的体积Vb2a.因为椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即b1，a3.故椭球体的体积Vb2a4.答案：413在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，且PA3，BCAB4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R_，内切球的体积V_解析：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R)2AB2AD2AP21616941.因此R.依题意RtPABRtPAD，则内切球O在侧面PAD内的正视图是PAD的内切圆，且该内切圆与PAB的内切圆全等故内切球的半径r(345)1，则Vr3.答案：14(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析：如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，所以OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，所以三棱锥SABC的体积VOA，即9，所以r3，所以S球表4r236.答案：36