数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题七 第1讲 坐标系与参数方程选修44 Word版含解析

A级基础通关1(2018江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为sin()2，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长解：因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin()2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.如图，连接OB.因为OA为直径，从而OBA，所以AB4cos 2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率解：(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.3在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为4sin.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求MON的面积解：(1)由消去参数t得xy4，所以直线l的普通方程为xy40.由4sin2sin 2cos ，得22sin 2cos ，即x2y22x2y.所以曲线C的直角坐标方程是圆(x)2(y1)24.(2)因为原点O到直线l的距离d2.直线l过圆C的圆心(，1)，所以|MN|2r4，所以MON的面积S|MN|d4.4(2019佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P为曲线C上的点，PQl，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值解：(1)因为曲线C的极坐标方程为2，则22sin24，将2x2y2，sin y代入上式并化简得1，所以曲线C的直角坐标方程为1.由消去参数t得xym，所以直线l的普通方程为xym0.(2)设P(2cos ，sin )，由点到直线的距离公式得|PQ|，由题意知m0，当m0时，|PQ|min2，得m22；当m0时，|PQ|min2，得m22，所以m22或m22.5(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.6(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，解得k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.B级能力提升7在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin 2acos (a0)；直线l的参数方程为(t为参数)直线l与曲线C分别交于M，N两点(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若点P的极坐标为(2，)，|PM|PN|5，求a的值解：(1)由2sin 2acos (a0)，得22sin 2acos (a0)，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y2ax，即(xa)2(y1)2a21.由直线l的参数方程得直线l的普通方程为yx2.(2)将直线l的参数方程代入x2y22y2ax，化简得t2(3a)t4a40.(3a)24(4a4)0，解得a1.t1t23a，t1t24a4.又因为a0，所以t10，t20.因为点P的直角坐标为(2，0)，且在直线l上，所以|PM|PN|t1|t2|3a5，解得a2，此时满足a0，且a1，故a2.8(2019珠海检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2交于P，Q两点，求的值解：(1)由(t为参数)，消去参数t，得x2y，则C1的普通方程为x2y.由，得msin cos 2，将xcos ，ysin 代入，得myx20，即C2的直角坐标方程为xmy20.(2)由(t为参数)，可得4t(x0)，故4t的几何意义是抛物线x2y上的点(原点除外)与原点连线的斜率由(1)知，当m0时，C2：x2，则C1与C2只有一个交点，故m0.把(t为参数)代入xmy20，得4mt2t20，设此方程的两根分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以.