第6讲 数列求和及综合应用

第六讲数列求和及综合应用真题试做1(2011高考江西卷)已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10()A1B9C10 D552(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_3(2013高考湖南卷)设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和考情分析数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件考点一数列求和数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题(2013高考山东卷)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前n项和Tn.【思路点拨】(1)由于已知an是等差数列，因此可考虑用基本量a1，d表示已知等式，进而求出an的通项公式(2)先求出，进而求出bn的通项公式，再用错位相减法求bn的前n项和强化训练1(2013深圳调研)设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且3a2是a13和a34的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn1，q2.a11.故数列an的通项公式为an2n1.(2)证明：bn，Tn()()()().【例2】【解】(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1ddan2dda1d.整理得an(3 000d)2d(3 0003d)2d.由题意，知am4 000，即(3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元强化训练2【解】(1)因为an是等差数列，a1100，d10，所以an10n90.因为bnbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以bn1002222n12n98.(2)当n5时，anbn且an2bn.当n6时，anbn，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并2anbn，即2(10n90)2n98，解得n8，故2019年底甲工厂将被乙工厂兼并【例3】【解】(1)设等比数列an 的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.强化训练3【解】(1)设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk2n2n(2n1)d，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，因为对任意正整数n上式恒成立，则，解得.故数列bn的通项公式是bn2n1.(2)由已知，当n1时，cSc.因为c10，所以c11.当n2时，ccccS，ccccS.两式相减，得cSS(SnSn1)(SnSn1)cn(SnSn1)因为cn0，所以cSnSn12Sncn，显然c11适合上式，所以当n2时，c2Sn1cn1.于是cc2(SnSn1)cncn12cncncn1cncn1.因为cncn10，则cncn11，所以数列cn是首项为1，公差为1的等差数列所以不为常数，故数列cn不是“幸福数列”