第10章电磁场的量子化

第十章 电磁场的量子化在辐射场的作用2原子的波函数0(几/)所满足的薛定谱方程为：iti屮=+ H)y/(10 0 1)dt在经典极限情形，原子是粒子，满足经典力学粒子运动方程。经过量子化得出的薛定仍方程，却赋予 原子以波函数0(厂,/)的描述。同样在经典极限情形光满足Maxwell方程，波场经过崑子化后便给出光场的 粒子即光子描述。当然，实际上,场的屋子化不仅适用于光场，也适用于满足薛定谆方程的物质波场(广,/)。 虽然(几/)经最子化后又回到但不定简单地回到粒子，而是由单粒子理论向多粒子理论的转化。掖莹要的 是包含了粒子的产生与湮灭算符及算符对易规则所蕴含的粒子统计。2月习惯上称由经典的能量守恒： = +v(r,r)出发，应用算子法E/7/, pT-i力V得出薛定谡2 mdt方程(10.0 1)为一次屋子化，而由(/,/)出发应用场算子的对易规则使场量子化为二次量子化。光与原子 柑互作用本身就包含了场与粒子两个方面。故只讨论由粒子得出物质波(/*,/)所满足的薛定潯方程(10 01) 是不够的。还必须讨论电磁场及物质波场0(?*,/)的量子化，由此得出的粒子表象也是全量子化理论中常用 的表象。电磁场的量子化是量子光学中一个觅要的基木问题。人们对光亦即电磁波场的认识，是经历了一个漫 长过程。在经典力学范圉内，绘先有牛顿的光微粒假设，后来有惠更斯的波动学说，最后定论在Maxwell 的光的电磁波理论。在量子力学范国内，最先冇黑体辐射的简谐振子理论，后來冇爱因斯坦为了解释光电 效应提出的光子学假说。如何将电磁波与光子学说统一起来，就是我们要讨论的电磁场的最子化问题。10.1光场的量子化在研究光与物质相作用，有些现象，如激光现象必需用全量子理论才能解释。因此首先要将光场量子 化。10.1.1单模光场的量子化在真空中，MKS单位制下的麦克斯韦方程为：244Vx/ = dtp “ OBdtVxB = 0(10.1 la)(10 1 lb)(10 1.1c)Vx = 0(10 1 Id)B = &H(10 1 le)(10.1 If)245#考虑偏振方向在x方向的谐振腔内的驻波场,#(10 1 2)#式中，讥/）是光场的时间部分，sinfc是光场的空间部分（驻波），N几是归一化系数。由(10 1 la)有:(101 3)&H dEv将（101.2）式代入上式.可得:#这样有:(10 1 4)#(10 15)Hv = - j eoq(t)Nn sinRwdz =今(/)川” cosfc考虑到其中:则仃:(10 1 6)q(t)Nn cos kz#246则,(10 1 7)(10 1.8)#(10 1 9)再利用方程(10.1 lb),则有:迟 0H、将E(,H、.，即式(10 1 2)和(10 18)代入上式，可得：/(0 = -。曲)将(10 17)式入上式，可得到频率为。的谐振子方程:q(t) = -Q2q(t)将(10 1 7)和(10 1.10)写成哈密顿方程的形式,如下:dHq = dpdH由(1017)、(10 1.10)和(101 12), nJ知，哈密顿彊为:H = 1q(/?2 + 2)乙作如下变换：q = y/MClq9(10 1 10)(10 1 11)(10 1 12a)(10 1 12b)(10 1 13)(10.1 14a)(10 1 14b)上两式代入(101.13)式，有：H = -(Mq,2+ P,2)2M(10 1 15)上式与简谐振子的哈密顿量完全一样，Mft当于振子的质量。在简谐振子屋子化时，曾引入对易关系:灯=涝由(10 1 14)式，q和p也自同样的对易关系:g,p=/方(10 1 16)(10 1 17)下面求出归一化常数N”，利用电磁场的哈密顿鼠的公式，并将代入，则有:H =丄 jr0E; + dxdydz =丄sin2 p2 cosJJay/vJz2 2(10 1 18)如果谐振腔的截而各为S ,长度为厶和siirfc积分为:248(10 1 19)5 = j dxdy =sin2 kzdz =cos3 kzdz =中厶上式代入(10 1 18)式，并注意谐振腔的体积为：V = LS,所有有:& + p2)(10 1 20)比较(10丄15)和上式，可得:(10 1 21)249(10 1 19)#(10 1 19)与简谐振子的量子化过程一样，引入产生算符和湮灭算符d和它们与g和卩的关系是:q =占(十+Q)利用q和的对易关系，并将上式代入(10117),有: 浦=g, p = i|(a+ + a),(a - a) = ia9a+ 即有：a,a+ = l(10 1 22a)(10 1.22b)(10.1 23)#(10 1 19)#(10 1 19)将q和N”的表达式(10 1 22a)和(10 1.21)代入光场的表达式(10 12),有:(10 1 24)E (z,r) =+ +)sinkz = EQ(a + a+)sinkz式中：#(10 1 19)#(10 1 19)(10 1 25)#(10 1 19)#(10 1 19)是一个光子的电场。(10 1 26)将q,卩和N”的表达式(10 122)和(10 1.21)代入H的表达式(10 113),有:H = -ft0(十 + a)(a+ + d)9(a+ - a)(a+ - a)=力Q 4这样，可以得到H和+的对易关系如下:#(10 1 19)#(10 1 19)H,a=方=力= 一力 Gd(10.1.27 a)#(10 1 27b)250(10 1 27b)rf海森堡方程可证明d和分别对就于光场的正频部分与负频部分,d(t) = Hya = -力 Qd hd+(Z)=力 Gaa(t) = g(0)严at)=叭0)严(10.1 28a)(10 1 28b)(10 1.28c)(10 1.28d)10.1.2光子数态由于简谐振子在量子光学中的重要性，下边求出光子数算符G和G*的本征态，即光子数态W。(101 29)HaH = aHJiClaH= h(co- G)d|H(10 1.30)因此a|H也是能战的本征态，但本征值是K(o- Q) o由于d使能彊降低力Q,所以称为湮灭算符。電复使用湮灭算符，便得到真空态，其本征能屋/低，记为力吗,6?|0)= 0由式(10 1 31)和式(10 1 26)式,可求出真空态的本征能量,(10 1 31)W|0)=fiQ心+分。弓方闵0= AQ2力Q就称为零点能帛:o2(10 1 32)(10 1 33)同样可以分析d+的作用，利用式(10 1.27b),考电阿 0=+ 机W|o=(10 1 34)因此的作用是把能最增加口 将(广连续作用次.将得到的本征态称为“，本征值为方日(+)|0=(讪。+ 力。(d+)|o(10 1 35)251(10 1 36)(10 1 37)(10.1 38)(10 1.39)(10 1 40)(10 1 41)(10 1.42)(10 1 43)(10.1 44)(10 1 45)因此，+)”|0的能量本征值是Ti(on =川力G +扌力G因为川 H | =力G (aN + 扌)叶=MG + 牛 /Q则有打 | a+a |= n下面求出d和作用于的公式以及W的归一化的形式。由式(10 130)可知，a作用足使光子数减少一个，an)=Snn-l)由于a不是厄米算符，所以S”是复数，将式(10138)两端取共轨， 何/=(a|/f = S：a_l|将式(10 1 38)与式(10 1.39)相乘川a+a|=| SJ3 (n-l|n-l)=| Sn |2= nS”的相位是任意的，我们令它的相位为零。则S” = &,a|n) = Vn|n-1)另一方面，产生算符a*使光子数增加一个曲+ 1何。=臨n + l川 aa+1 /) =| Sn+112,川 aa+1= (zz | (aa+ + l)|/?)=/? + lS 冲=由式(10 145)还可以看出，W的归一化形式足252(10 1 36)#(10 1 36)=总(诃0(10.1 46)#(10 1 36)#(10 1 36)容易看出是.卜是a+a的本征态#(10.1.47)(10.1 48)与简谐振子一样，也可以写出本征函数在坐标表彖中的表达式，引入新的变最？.有 则本征函数血=7冊。光子数态山的一个重要而有趣的性质是光场的平均值为零(10 1 49)川 Ea | 心=| q(d + a+)sinkz = Eo (a + a+)sinRz | ) = 0同样，H、的平均值也为零(10 1 50)川 H、I “) = 0然而，光强的平均值却不为零(10 1.51)川I丄馬是零点振动的光强，处；那是舁个光子的光强，I月此就是一个光子的光场2既然|“表示有个光子的态，为什么光场的平均值为零呢？这是因为，光子“与申 量，满足测不准关系，既然态“的光子数是庄全确定的，就必然使相位完全混乱，频冷 混乱的电场的测量便是零。10.1.3矢量势的量子化利用矢量势与光场的关系式(乙/) = -?人(乙/)Ot考虑到254(0)严(10 1 53)255#10.1.4行波场的量子化与驻波场的量子化方法相似，也可対行波量子化。(10 1 54)(10 1 55)#Q忆/)=x饥a+町)鈕k乙(10 1 56)(10.1 57)(10 1 58)(10 1 59)10.1.5多模光场的量子化多模光场可以看成许多单模光场的叠加,U，讣无对于第S个模，町叮=伦卜+分乞若多模场的第1Z3,*模内的光子数分别是厲,心,吗,则多模场的本征态是M恥几(10 1 60)或简记为#(10 1 61)I 吧 )=|K)=n r 1) $ ns 第s个模的算符只影响该模内的光子数，as WS 、=扳卩例$ _ 1 ”*工工工贏爲叽卩*% n2口(10 1 62)10.2光子的相位算符从上节的讨论中，我们可以看到算符“和分别对应丁经典场的正频分量和负频分量的振幅，而没仃 电磁场的相位。并且证明了在光子数态表象中，光场的平均值为零，即川&山=0。这是由于在于光 子数确定时，柑位变成完全无观则，光子数与相位是一对测不准最。这一节，我们讨论相位算符的概念与 性质。10.2.1光子的相位算符在经典的电磁场理论中，通常把复数振幅写成实数振幅与相位因子的乘积。与此相似，也可以把d和(广写成振幅与和位因子的乘积。考股到实数振幅対应丁厄米算符，以及仃aa+ = n + 1(10 2 1)可以把丁乔了看成ifeftb冉引入相位算符这样何:a = & + le(10 2 2)(10.2.3)可以证明.在适当的极限下，心与经典场的相位存同样的物理意义。从a和丁的性质，容易知道这样定义的相位算符的性质，将式(10.2 2)和式(10二.3)变为:(10.24)(10.15)将两式左右两边分别相乘，并考虑aa = ii + l.则257e =1(10.2 6)但是rh于4)是算符，不满足乘法交换律。(10 2.7).1= l_a a71 + 1显然，71 1.式(1026)和式(10 2 7)相等，这说明光子数很多时，最子理论便过渡到经典理论。(10 2 8)由式(10 2 4)和式(10.2 5),可以计算相位算符对光子数态同的作用为:“-10 /? = 0(10 2 9)(102.10)相位算符的矩阵九为:=1,畀 +11 e-1* | 打)=1(10.2.11)其他的矩阵元都是零。这与0和/矩阵元相似。上面的方程显示了相位算符的性质。但由式(1024)和式(10 2 5)可以看出，相位算符井不是厄米算符，内此不代表可测的物理屋。但是口J以由定义如卜呃米算符:=r2iL上述算符具有如下性质：卄 一 11 cos |=扌，一 11 sin $ |*cos d, sin 4J = -a+(n+l)-1a-l21(10 2 12)(10 2 13)(10.2 14)(10 2 15)258e =1(10.2 6)#e =1(10.2 6)这表明cosd)和sind还足非对易的，因此不能同时精确测量它们。由上式还可以看必 只有下面矩阵元不为零(102 16)其他矩阵元都为零。由a和对易关系与相位算符的定义，可以它们与光子数算符力的对易关系。#n,a = -a(10.117)259n,a = -a(10.117)ii,a=a+/i,ex* = -e,*几尹十$(10 2 18)(10 2 19)(102.21)几 cos =-i sin (10 2.22)AA几 sin =i cos 如果令C三cosbs三Sind),则量子力学关于平均值和均方基的定义，可得:泌C冷|泌S 斗 |C|Zr(10 2.23)(10123)上两式表明光子数与相位不能同时荊确地测量。这是量子化电磁场与经典电磁场的根本区别。町定义一个量f/,则有U 三(An)2(AS)2 + 0C)22 + 3(10 2 24)10.2.2相位算符的本征态上面我们可以看到，光子数算符方的本值态W，那么相位算符的本征态是什么呢？由于相位算符 cosb和Sind)表示了量子化的电磁场的性质。在计算中可以只选择相位算符cosd,因为另一个算符 sind的计算相似。按照式10 215), cos6和sind是非对易的，因此它们不能同时精确测量，也就没有共同的本征态。 但是，由式(10.216)只有(0|cosd),sind)|0)这个矩阵元不为零，这样，在一定的极限条件下，cos 6和 sinO却可有共同的本征态|0。将|0定义为全部的光子数态W的线性叠加，但每个卜的权重是相位因子e网，即冇：|0=帆($ + 1严乞牛In=0考虑cos4对9的作用，在STS的极限条件下，有(10.2 25)260(10126)(10 227)(10.2 28)同理可证:(10 2 29)(10.2 30)sts的极限条件，就是光子数趋于无限人。这时，量子理论过渡到经典理论，|0变成cos $和sin 4)共 同的本征态，$具有相位角的含义。10.3光子数态和相位态的性质前两节我们引入了光子数态和相位态|0)，下面我们简单讨论其性质，并与经典电磁场进行比较。10.3.1单模光子数态的性质光子数态，就是光子数完全确定的态。对这样的态，允子数的测不准量为零，即A/ = 0(103 1)在光子数态中，相位算符的期待值分别是：(103.2)如果排除72 0的态，则有:(10 3 3)由最子力学的平均值的定义.可知(10 3 4)(10 3 5)但是我们知道肖0在02兀内无规则分布时，有卜式:(10 3 6)262也有:相讼吶0哙如她4(10 3 7)263#这表明0是在02兀之间无规则分布的。因此，对于光子数右精确值的态W，相位0是在02兀之间无规分布的。单模光子数态的这个性质，可以用图1031表示。对于单模行波场，由式(10.1.55),(10 3 8)(10.3 9)川 E| = 0(10.3 10)图10 3.1表明.频率为Q的单模电磁场，其振幅是有确定的值.但是相位是在02兀之间无规则分布的,其中每个止弦波的频率都是G,振幅都有起伏值但是这些止弦波的柑位是混乱的。肉此vE=0,但是0 工0。#(103 11)(10 3 12)田10.3.1单模光子数态“的光场在一个固定点随时间的变化振幅是固定的.但相位是在0271之间无规则分布的10.3.2单模场的相位态单模场的相位态，当STS时，由式(10 2 27)和式(10 2.29)可知相位有确定的值，故测不准量为零,Acos = 0,Asin=0但这种情况下,光子数却是不确定的,即:0|川0=巴三*26401 fl2 I 0)= lim 5(25 4-1)(10.3.13)因此光子数的起伏是无穷人，(10.3 14)A/z = lim 一(5 + 2)5 - co 8口2当STS.其中的求和是按s3匕发散的.因此vEts。电场的测不准最也是无穷大。但是电场的频率G和相位0是固定的。图10 3 2显示，光场是无穷多个振幅不同但G和0固定的波的叠加。这样，腔内的 光子数是完全不确定的。图10.3.2单模相位态|0的光场在一个固定点随时间变换：相位是完全确定的.但振幅是在0S之间无全不确定的由式(10 3 12)看出，在相位态VTS,这就意味着从真空态激发的能最的期待值也是无穷人，这 在实际实验中能否实现值得讨论。我们之所以讨论相位态，主要目的就在于说明量子化的电磁场的相位与 光子数不可能同时确定。10.4相干态从光子数态|和相位态|0的讨论可以看出它们与确定的振幅和确定的相位的经典电磁场差别是很 人的。因此.为了寻找和研究与经典电磁场相似而且当光子数很人时即过渡到经典电磁场的光子态是有重 要意义的。这样的光子态，最接近经典电磁场，而且可以证明，这样的光子态是完全相干的(相干度等于 1),因此，称为相干态。从测不准关系來看，相干态是介丁光子数态|和和位态|0之间的情况，即相干态的mho, cos0 = O, 和Acos0由测不准关系决定。但是当光子数趋于无限大时，过渡到M = 0和COS0 = O。这就是仃稳定的振福和相位的经01!电磁场。265相干态在激光物理光和崑子光学中的更要性在于：(1)它在电磁场的屋子理论与半经典理论间起着桥 梁作用。经典电场等于量子化电场在相干态中的平均值，当光子数趋向无穷人时，量子化的电磁场即过 渡到经典电磁场。(2)它是处理激光及其与物质作用的许多问题的重耍理论工具。特别是使用相干态时， 能深刻揭示激光全量子理论的3个学派：拉姆学派、拉各斯和路易塞尔学派、哈肯学派的理论的内在联系。 (3)当激光远高于阈值工作时，激光器产生的激光就是相干态的光子。10.4.1相干态的定义相干态记为相干态的定义有三种：(1)相干态是光子湮灭算符的本征态，町表示为：aa)(104 1)C)相干态是由位移算符D(a)作用于真空态产生的，即(10 4 2)(10 4 3)(10 4 4)a=D(a)Q)D(a) = e_2 eG)满足下列的分解规则的光子态称为相干态，|汐(不)严()严(x严(训=口“-)(齐)严(兀其中“一)和“+)是与d和/成比例的算符。我们采用第一种定义，并且这样定义的相干态具有式(10 4 2)和式(10 4 4)表示的竹:质。由于单模电磁场町分解为正频利负频分量，所以,E (z,/) = EQ(a + a+) sinkz = (+) + E(_)(1045)E(+) = EQa sin kz(10 4 6)E =Eoa+ sinfc(10.4 7)rtl相干态的定义(10 4 1)及E(+与d的关系(10.4 6),有：aa)=aa)tEa) = E0a)(10 4.8)因此，相干态也是光场的正频分量的本征态。对于笔模态,如果,(10 4 9)258多模场的相干态就是血沪口阪k只要知道了单模场的相干态，就可以知道多模场的相干态。应特别注意，由于a不是厄米算符，因此aa)=aa)的本征值Q般是复数.(104 10)10.4.2相干态在光数态中的表示由于已经知道。和/的性质及其对W的作用，而ft光子数叶与实验有密切联系，肉此，将用光了数态|花示出来，对于讨论相干态性质和进行计算都是方便的。 己知光子数态的归一化形式足：由于“是完备正交基，即Elw)(nl=1zr0何沪臨因此，利用式(10412),可将相干态按*展开为(10 4 11)(10 4 12)(104 13)00/：=0再利用式(104 11)和相干态的定义式(104 1),可求出展开系数为:(10 4 14)(104 15)将展开系数代入式(104 14),可得：Q(。呃铀“何十屹毋何 由归一化条件还可进一步求出上式中的(0a).l = (a|a)=|(o|a)|2 00同=e护(104 16)(10 1 17)(10 1 18)260将式(10 4 18)代入式(10 4 16),可得:(10 4 19)利用式(104 19),很容易讨论相干态的性质。哈肯实际上就是以式(10 4 19)作为相干态的定义。10.4.3相干态的性质(1)相干态中的光子数及起伏(aha)= (a a+a | q) =| a卩=何(10 4 20)即相干态的本征值的模的平方就等于相干态的平均光子数。由于光子数”与光强有关，冈此Q与光场有关,a就足光场正频分量在相干态中的期待值(a | E( a= Eo sin(fc) =)(104.21)或者(a | E(+) a)=EQ sin(fc)a* =梓)(a | ir | =a | a+aa+a a=a |2 (1+1 a |2)(n2)-nf = n)山三侶)一何2严时我们知道，远高于阈值的激光器的光子数的均方差与式(10 4 26)-样。相对起伏是:/畀=1/何n(2)相干态的光子的分布是泊松分布(10422)(104 23)(10 4 24)(10 4 25)(10426)(10 4 27)从|切按|展开的公式(10419),其中的展H係数的模的平方的物理意义就是在柑干态中发现71个光子的儿率P(a) = eTM 2)(10 4 28)HI261#应用式(10 4 20)同,有:(10429)n#这就是泊松分布。在激光的全虽子理论中产可以证明激光器在远高于阈值时，其光子分布就足泊松分布,因此对应相干态的光子。(3)相干态的相干度等于1按一级相干度的定义： L碑鋼 可以证明相干态的务级相干度都等于lo这就是把|0称为相干态的原因。(4)相干态的本征值Q的相位及相位起伏因为a不是厄米算符，所以Q是复数，可写为:a=|a|e, a =|a|eG| COS&I 0二( 1COS& 1I sir(a | sin d |= sin 0 1-+sir )十吗临釦诃冷土e弼式(10432式(10 4 3$)表明，AC0,A5*0 ,即仃相位起伏。当 T co 时，cost)| a)=cos0, (a cos2 | a) = cos2 0 cos=0a sill =0再考虑到量子化光场的相对强度起伏为：1/(/?)1，20因此，当光子数较少时，|( 的振幅利相位都有起伏，而当mF即光子数趋于无穷时，振幅和相位的起伏趙于零, 定的相位，如图10 4 1所示。(10 4 30)(104 31)(10 4 32)(10433)(10 4 34)(10 4 35)(10436)(10 4 37)F较小，量子化光场即有固定的振幅和固263264#图10.4.1相干态|的光场在一个固定点随时间的变化光子数较小时.振幅和相位都有起伏，较大时，起伏变小.(5)相干态与测不准关系由光子的产生算符和湮灭算符的定义可知，当把光子的产生看成简谐振子的激发时，简谐振子广义坐标和动彊分别为：(10438)(10.4 39)旷占虻 + d), p = i-(a+-a)(q) = ,(A/?)=ZiZr如果把a和a*写成实部和虎部，光场有两个分最:a= Xi+iXp= Xl-iX2(10.440)(AXJ2 = -,(AX.)2 = -(10441)44这里得到一个非常重要的结论：相干态的余弦分呈和止弦分最测不准呈相等。测不准关系为： 側理=扌(10 4 42)市于测不准关系是4因此上式表明，相干态是测不准量最小的量子态，而经典的物理量的测不 准关系为零，因此相干态就是瑕接近丁经典态的一种量子态，用噪声的概念來看，起伏越小则量子噪声越 小，所以相干态又是最子噪声最小的晟子态，但是光子压缩态比相干态的最子噪声更低，而且余弦分最和 正弦分量的噪声相等。#