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第七章不等式7.1不等关系与不等式内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析易错警示系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识自主学习1.两个实数比较大小的方法b传递性ab，bc可加性ab可乘性注意c的符号2.不等式的基本性质bcacbcacbcacb0 (nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0 (nN，n2)acbdanbnacbd答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)abac2bc2.()思考辨析答案考点自测2 2解析答案由不等式的性质可推出恒成立.答案答案解析解析令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab.ax3(2)5，by2(3)5，axby.因此不恒成立.又ax6，by6，axby.因此也不恒成立.2.下列四个结论，正确的是_.ab，cbd；ab0，cdbd；答案3.若a，bR，若a|b|0 a3b30a2b20 ab0解析解析由a|b|0知，a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0成立.解析答案4.下列各组代数式的关系正确的是_.x25x62x25x9；(x3)21时，x3x2x1；x2y212(xy1).解析答案解析解析2x25x9(x25x6)x230，即x25x62x25x9.(x2)(x4)(x3)2x26x8(x26x9)10，即(x2)(x4)1时，x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)0，即x3x2x1.x2y212(xy1)(x22x1)(y22y1)1(x1)2(y1)210，即x2y212(xy1).答案答案解析答案解析解析0a0，b10，a2b2b0，a2b2a，cba.cba题型一比较两个数(式)的大小解析答案解析答案思维升华所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减.因为e34f(4)f(5)，即cba.答案答案cbn恒成立.答案答案mn(2)若a1816，b1618，则a与b的大小关系为_.18160,16180，18161618.即ab.ab解析答案解析解析由cba且ac0知c0.由bc得abac一定成立.例例2已知a，b，c满足cba，且acac c(ba)0cb20题型二不等式的性质解析答案思维升华思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.跟踪训练2解析答案解析解析方法一a0b，cd0，ad0，ad0ba，ab0，cdd0，a(c)(b)(d)，解析答案故正确.cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确.ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确.方法二取特殊值.答案答案3题型三不等式性质的应用解析答案思维升华解析解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；解析答案思维升华答案答案若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，思维升华思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(1)若ab0，则下列不等式一定成立的是_.解析解析 (特值法)取a2，b1，逐个检验，可知，均不正确；跟踪训练3|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|b1，c0，给出下列三个结论：其中所有正确结论的序号是_.解析答案构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确.答案答案 返回易错警示系列典例典例设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.易错分析解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大.易错警示系列7.不等式变形中扩大变量范围致误温馨提醒解析答案返回易错分析解析解析方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.温馨提醒解析答案f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.温馨提醒解析答案确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案答案5,10温馨提醒温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围.(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.返回思想方法感悟提高方法与技巧3.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一.比差法的主要步骤：作差变形判断正负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商.4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.方法与技巧1.abacbc或abacbanbn对于正数a、b才成立.5.注意不等式性质中“”与“”的区别，如：6.比商法比较大小时，要注意两式的符号.失误与防范返回练出高分解析解析取特殊值法，由xyz1，可取x4，y3，z2，分别代入解析答案AB解析答案a2b2 abb2ab|ab|a2b2，abb2，ab0，|a|b|ab|.解析答案4.设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是_.解析答案答案答案解析解析当a0时，a20，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故错.解析答案6.已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_.解析解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.MN解析答案解析解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则zyx解析答案解析答案解析解析ab0，bcad0，ab0，正确.故都正确.答案答案9.设xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小.解解(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy).xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy).解析答案10.甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解析答案t甲t乙，当且仅当v1v2时“”成立.由实际情况知v1v2，t甲t乙.乙先到教室.解解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，11.已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是_.解析答案解析解析当c0时，可知不正确；当cb3且ab0且b0，当a0且ba1不成立，则实数a的取值范围是_.解析解析不妨将命题否定，转化为：若对任意的x，有axa1恒成立，则a0；当x1时，则aR.因此对任意的x，a0，再对a的取值进行否定，可得实数a的取值范围为a0.(，0)(0，)解析答案解得x20，y73.x不是整数，20 x21.93xy94. (93,94)解析答案解析答案因此只有正确.答案答案解析解析因为0ab5时，y1y2；当ny2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠.返回
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