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第13讲 导数的意义及运算1x考纲要求考点分布考情风向标1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义，求函数yC(C为常数)，yx，yx2，y 的导数4.能利用给出的8个基本初等导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数2012年新课标卷第13题考查导数的几何意义与直线方程；2013年新课标卷第20题(1)(2)考查导数的几何意 义、单调性、极大值等；2013年大纲卷第10题考查导数切线的几何意义；2015年新课标卷第14题以三次函数为背景，考查导数切线的几何意义本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导1函数导数的定义2导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0)如果物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0)3基本初等函数的导数公式表0 x1原函数导函数f(x)Cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sinxf(x)cosxF(x)cosxf(x)_f(x)ax(a0)f(x)axlna(a0)f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x) (a0，且a1)f(x)lnxf(x)_1lnxaexsinx1x4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；u(x)v(x)u(x)v(x)的导函数 y_.x2x21已知函数 f(x)42x2，则 f(x)()CA4xB8xC82xD16x2函数 ysinxxxcosxsinxx2解析：y(sinx)xsinx(x)xcosxsinx.A4(2014 年广东)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_.5xy20解析：y5ex|x05，即斜率为 k5，所以切线的方程为 y5x2，即 5xy20.考点 1 导数的概念例 1：设 f(x)在 x0 处可导，下列式子中与 f(x0)相等的是()ABCD所以正确故选 B.答案：B【规律方法】 本题需直接变换出导数的定义式limk0f(x0k)f(x0)kf(x0)其中 k(一般用x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中 k 的一致性f(x0k)f(x0)D【互动探究】1若 f(x0)2，则 lim k02k()AA1B2C112考点 2 导数的计算例 2：(1)函数 f(x)sinxa2 的导函数 f(x)_；解析：函数f(x)sinxa2的自变量为x，a为常量，f(x) cosx.答案：cosx(2)(2015 年天津)已知函数 f(x)axlnx，x(0，)，其中a 为实数，f(x) 为 f(x) 的导函数，若 f(1) 3 ，则 a 的值为_解析：f(x)a(1lnx)，f(1)a3.答案：3(3) 已知函数 f(x) 的导函数为 f(x) ，且满足 f(x) 3x2 2xf(2)，则 f(5)_.解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2)令 x2，得 f(2)12.再令x5，得 f(5)652f(2)6.答案：6【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin的自变量为x，而f()x2sin的自变量为.【互动探究】2设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.2考点 3 曲线的几何意义例 3：(1)(2015 年新课标)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1，即切线斜率 k3a1.又f(1)a2，切点为(1，a2)切线过(2,7)，a27123a1.解得 a1.答案：1(2)(2013 年大纲)已知曲线 yx4ax21 在点(1，a2)处切线的斜率为 8，则 a()A9B6C9D6解析：y4x3 2ax ，由导数的几何意义知在点( 1 ，a2)处的切线斜率 ky|x142a8，解得 a6.答案：D(3)(2012 年新课标)曲线 yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_解析：y3lnx4，切线的斜率为 4.则切线方程为4xy30.答案：4xy30【规律方法】求曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0 处的导数f(x0)，即函数 yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). (x0)上点处的切线垂直，则的坐标为_.【互动探究】3(2015 年陕西)设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y(1,1)1x易错、易混、易漏混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例题：已知函数 f(x)ax3bx23x在 x1 处取得极值，若 过 点 A(0,16) 作 曲 线 y f(x) 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为_正解：f(x)3ax22bx3，由题意 x1 是方程 f(x)0 的根，3a2b30，3a2b30.解得a1，b0.曲线方程为 yx33x，点 A(0,16)不在曲线上答案：9xy160【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysinx 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公共点，显然直线 x1 不是切线”(2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数 yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为 P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)求曲线 yf(x)外一点 P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切线方程，其方法如下：设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)；利用斜率公式 ky0yAf(xA)建立关于 xA 的方程，解x0 xA出 xA，进而求出切线方程1导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是速度与加速度，代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等3过点求切线方程应注意该点是否为切点，特别提醒： 求“在某点处的切线方程”时，该点为切点；求“过某点的切线方程”时，该点有可能是切点，也有可能不是切点4求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如 f(x)x2sin的自变量为 x，而 f()x2sin的自变量为.
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