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命题角度5：恒成立与存在性问题1.已知a0，曲线f（x）=2ax2+bx+c与曲线g（x）=x2+alnx在公共点（1，f（1）处的切线相同 （）试求c-a的值； （）若f（x）g（x）+a+1恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）c-a=-1（2）a-1，0）【解析】试题分析：（I）利用列方程组，即可求得的值.（II）构造函数，将不等式恒成立问题转化为恒成立问题来解.利用导数可求得函数最大值. ()设，则，恒成立， ， 法一：由，知和在上单调递减，得在上单调递减， 又，得当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 得，由题意知，得， 所以 点睛：本题考查函数导数与切线，考查函数导数与不等式恒成立问题的求解策略.根据题目的已知条件“同一点的切线相同”也即是分成两个条件：切点相同、在切点的斜率也相同.根据这两个条件可以得到两个方程，但是一共有个参数，故无法解出个未知的参数，只能用作差的方法求得的值.2.设函数 （1）求的单调区间；（2）若为整数，且当时， 恒成立，其中为的导函数，求的最大值.【答案】（1）f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（2）2【解析】试题分析：（1）先求导数，根据a的大小讨论导函数是否变号：若a0，导函数恒非负，为单调增区间；若a0，导函数符号变化，先负后正，对应先减后增（2）分类变量得 ，再利用导数求最小值：在极小值点取最小值，根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ，化简最小值为，并确定其范围为（2,3） ，因此可得正整数的最大值.试题解析：（1）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f（x）=ex-a， 若a0，则f（x）=ex-a0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-，+）上单调递增 若a0，则当x（-，lna）时，f（x）=ex-a0；当x（lna，+）时，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增（2）由于a=1， 令，令，在单调递增， 且在上存在唯一零点，设此零点为，则当时，当时， 由，又所以的最大值为2点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3.已知函数的极小值为0.（1）求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由极小值的定义知道，只需要令，解得，且描述两侧的单调性；（2）原式子转化为在上恒成立；求导，研究导函数的正负即可，从而得到函数的单调性和最值即可。（1），令，解得，在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，由题意有，解得.（2）由（1）知不等式对任意恒成立，在上恒成立，不妨设， ，则.当时， ，故，在上单调递增，从而，不成立.当时，令，解得，若，即，当时， ， 在上为增函数，故，不合题意；若，即，当时， ， 在上为减函数，故，符合题意.综上所述， 的取值范围为.点睛：本题考查导数在研究函数极值与最值的过程中的应用；第二问恒成立求参的问题，解决方法有如下几种：第一，可以考虑参变分离，再转化为函数最值问题；第二，直接含参讨论，研究函数的单调性和最值。4.设函数 (为自然对数的底数），. （1）证明：当时， 没有零点；（2）若当时， 恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，令， ，把没有零点，可以看作函数与的图象无交点，求得直线与曲线无交点，即可得到结论. （2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围.解法二：由得，令， ，则没有零点，可以看作函数与的图象无交点， 设直线切于点，则，解得， ，代入得，又，直线与曲线无交点，即没有零点. （2）当时， ，即，即.令，则.当时， 恒成立，令，解得；令，解得， 在上单调递减，在上单调递增，.的取值范围是.点睛：本题主要考查了导数在函数问题的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用求解函数的极值与最值，以及导数的几何意义等知识点的综合运用，同时着重考查了分离参数思想和构造函数思想方法的应用，本题的解答中根据题意构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键，试题综合性强，难度较大，属于难题，平时注重总结和积累.5. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值集合.【答案】（）当时， 在上是增函数；(2)m-2【解析】试题分析：(1)首先求得函数的导函数，然后结合题意分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题转化为，结合函数的性质即可求得实数的取值集合为.试题解析：解: （） 当时，恒有，则在上是增函数；当时，当时， ，则在上是增函数；当时， ，则在上是减函数综上，当时， 在上是增函数；当时， 在上是增函数， 在上是减函数 6.已知函数.（1）若，求函数的最小值；（2）当时，若对，使得成立，求的范围.【答案】（1）当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.（2）【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的最值，对函数求导数，令得，对分类讨论，当，时，分别讨论函数在区间上的单调性，从而求出函数的最小值；（2）本问主要考查“任意”、“存在”问题的等价转化，对，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由（1）问易得到函数的最小值，然后通过对的讨论求即可.试题解析：(I)，令得.当即时，在上，递增，的最小值为.当即时，在上，为减函数，在上，为增函数. 的最小值为.当即时，在上，递减，的最小值为.综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.(II)令由题可知“对，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(I)可知，当时，.当时，当时，由得，与矛盾，舍去. 当时，由得，与矛盾，舍去.当时，由得综上，的取值范围是.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究函数的最值；3.任意、存在问题的转化；4.分类讨论思想的应用.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题对，使得成立”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.7.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，并且求 和 ，根据切线方程 ，写出切线方程；（2）令 ，首先求函数得到导数，讨论当 和 两种情况讨论函数的最大值，令最大值小于等于0，求得的值.试题解析：(1)因为，所以切线方程为，即.(2)令，所以，当时，因为，所以，所以是上的递增函数，又因为，所以关于的不等式，不能恒成立，当时， ，令，得，所以当时，；当时， ，因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为，令，则在上是减函数，因为，所以当时， ，所以整数的最小值为.【点睛】不等式恒成立求参数取值范围是高考热点，本题是当恒成立时，求参数取值范围，一般变形为恒成立，求函数的最大值小于等于0，或参变分离转化为函数最值问题.8.已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ; (2) .【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算,根据点斜式可求切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最大值，结合对任意恒成立，求出的取值范围即可.试题解析：(1)由，得，则又， .所以曲线在点处的切线方程为，即. (2)已知对任意恒成立，令当时， ， 在上单调递减，恒成立.当时，二次函数的开口方向向下，对称轴为，且，所以当时， ， ， 在上单调递减，恒成立.当时，二次函数的开口方向向上，对称轴为，所以在上单调递增，且，故存在唯一，使得，即.当时， ， ， 单调递减；当时， ， ， 单调递增.所以在上， .所以得，综上,得取值范围是.【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求得的范围的.9.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.【解析】试题分析：（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切点即可解决。（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。（3）存在成立，先变形为，从而构造函数在上的最小值.同时注意第（2）问己求对本问的应用。试题解析：（1）当时， ，切点，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为： ，即.（2），定义域为，（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值.由第（2）问，当，即时， 在上单调递减，所以，所以，因为，所以；当，即时， 在上单调递增，所以，所以；当，即时， ，因为，所以，所以，此时不存在使得成立.10.已知函数（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.（2）不等式即，令，则， 在上单调递增，而，存在实数，使得，当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增，.，画出函数和的大致图象如下，的图象是过定点的直线，由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，而，于是实数的取值范围是考点：1.利用导数研究函数极值；2.函数、导数的综合应用；3.数形结合思想方法.点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.- 15 -
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