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新编人教版精品教学资料24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本预习课本 P106107，思考并完成以下问题思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？新知初探新知初探1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量已知两个非零向量，向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与与 b 的夹角为的夹角为.数量积数量积两个向量的数量积等于它们两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和对应坐标的乘积的和，即，即 abx1x2y1y2向量垂直向量垂直abx1x2y1y20点睛点睛记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和对应相乘计算和”2与向量的模、夹角相关的三个重要公式与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设向量的模：设 a(x，y)，则，则|a| x2y2.(2)两点间的距离公式：若两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则|AB| x1x2 2 y1y2 2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量向量的夹角公式：设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与与 b 的夹角为的夹角为，则则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.小试身手小试身手1判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则 abx1x2y1y20.()(3)若两个非零向量的夹角若两个非零向量的夹角满足满足 cos 0，则两向量的夹角，则两向量的夹角一定是钝角一定是钝角()答案：答案：(1)(2)(3)2已知已知 a(3,4)，b(5,2)，则，则 ab 的值是的值是()A23B7C23D7答案：答案：D3已知向量已知向量 a(x5,3)，b(2，x)，且，且 ab，则由，则由 x 的值构成的集合是的值构成的集合是()A2,3B1,6C2D6答案：答案：C4已知已知 a(1， 3)，b(2,0)，则，则|ab|_.答案：答案：2平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算 典例典例 (1)(全国卷全国卷)向量向量 a(1，1)，b(1,2)，则，则(2ab)a()A1B0C1D2(2)(广东高考广东高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，已知四边形已知四边形 ABCD 是平行四边形是平行四边形，AB(1，2)，AD(2,1)，则，则ADAC()A5B4C3D2解析解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由由ACABAD(1，2)(2,1)(3，1)，得，得ADAC(2,1)(3，1)5.答案答案(1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算原式展开，再依据已知计算 活学活用活学活用 已知向量已知向量 a 与与 b 同向，同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量求向量 a 的坐标；的坐标；(2)若若 c(2，1)，求，求(bc)a.解：解：(1)因为因为 a 与与 b 同向，又同向，又 b(1,2)，所以所以 ab(，2)又又 ab10，所以，所以 12210，解得，解得20.因为因为2 符合符合 a 与与 b 同向的条件，所以同向的条件，所以 a(2,4)(2)因为因为 bc122(1)0，所以所以(bc)a0a0.向量的模的问题向量的模的问题 典例典例 (1)设设 x，yR，向量向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且且 ac，bc，则则|ab|()A. 5B. 10C2 5D10(2)已知点已知点 A(1，2)，若向量，若向量AB与与 a(2,3)同向，同向，|AB|2 13，则点，则点 B 的坐标是的坐标是_解析解析(1)由由ac，bc2x40，2y40 x2，y2.a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)|ab| 10.(2)由题意可设由题意可设ABa(0)，AB(2，3)又又|AB|2 13，(2)2(3)2(2 13)2，解得，解得2 或或2(舍去舍去)AB(4,6)又又 A(1，2)，B(5,4)答案答案(1)B(2)(5,4)求向量的模的两种基本策略求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：字母表示下的运算：利用利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：坐标表示下的运算：若若 a(x，y)，则，则 aaa2|a|2x2y2，于是有，于是有|a| x2y2. 活学活用活学活用 1已知向量已知向量 a(cos ，sin )，向量，向量 b( 3，0)，则，则|2ab|的最大值为的最大值为_解析：解析：2ab(2cos 3，2sin )，|2ab| 2cos 3 2 2sin 2 4cos24 3cos 34sin2 74 3cos ，当且仅当当且仅当 cos 1 时，时，|2ab|取最大值取最大值 2 3.答案：答案：2 32已知平面向量已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若，若 ca(ab)b，则，则|c|_.解析解析： a(2,4)， b(1,2)， ab2(1)426， ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c| 82 8 28 2.答案：答案：8 2向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题 典例典例 (1)已知已知 a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数，则实数_.(2)已知已知 a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c 与与 d 的夹角为的夹角为4，则实数则实数 k 的的值为值为_解析解析(1)a(3,2)，b(1,2)，ab(3，22)又又(ab)b，(ab)b0，即即(3)(1)2(22)0，解得解得15.(2)cakb(2k,1k)，dab(1,0)，由由 cos422得得 2k 1 1k 0 2k 2 1k 2 120222，(2k)2(k1)2，k32.答案答案(1)15(2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积积 ab 以及以及|a|b|， 再再由由 cos ab|a|b|求出求出 cos ， 也可由坐标表示也可由坐标表示 cos x1x2y1y2x21y21x22y22直接求出直接求出 cos .由三角函数值由三角函数值 cos 求角求角时，应注意角时，应注意角的取值范围是的取值范围是 0.(2)由于由于 0，利用，利用 cos ab|a|b|来判断角来判断角时，要注意时，要注意 cos 0 也有两种情况：一是也有两种情况：一是为锐角，二是为锐角，二是0. 活学活用活学活用 已知平面向量已知平面向量 a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且，且 ab，ac.(1)求求 b 与与 c；(2)若若 m2ab，nac，求向量，求向量 m，n 的夹角的大小的夹角的大小解：解：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设设 m，n 的夹角为的夹角为，则则 cos mn|m|n|37 4 1 3 2 4 272122525 222.0，34，即即 m，n 的夹角为的夹角为34.求解平面向量的数量积求解平面向量的数量积 典例典例 已知点已知点 A， B， C 满足满足|AB|3， |BC|4， | CA|5， 求求ABBCBC CA CAAB的值的值解解法一法一定义法定义法如图，根据题意可得如图，根据题意可得ABC 为直角三角形，且为直角三角形，且 B2，cos A35，cos C45，ABBCBC CA CAABBC CA CAAB45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A2045153525.法二法二坐标法坐标法如图，建立平面直角坐标系，如图，建立平面直角坐标系，则则 A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)AB(3,0)，BC(0,4)， CA(3，4)ABBC30040，BC CA034(4)16， CAAB3(3)(4)09.ABBCBC CA CAAB016925.法三法三转化法转化法|AB|3，|BC|4，|AC|5，ABBC，ABBC0，ABBCBC CA CAAB CA(ABBC) CAAC|AC|225.求平面向量数量积常用的三个方法求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式定义法：利用定义式 ab|a|b|cos 求解；求解；(2)坐标法：利用坐标式坐标法：利用坐标式 abx1x2y1y2解题；解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算式进行化简，然后进行计算 活学活用活学活用 如果正方形如果正方形 OABC 的边长为的边长为 1，点，点 D，E 分别为分别为 AB，BC 的中点，那么的中点，那么 cosDOE 的的值为值为_解析：法一：解析：法一：以以 O 为坐标原点，为坐标原点，OA，OC 所在的直线分别为所在的直线分别为 x 轴，轴，y 轴建立平面直轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD1，12 ，OE12，1.故故 cosDOEODOE|OD|OE|112121525245.法二法二：OD OAAD OA12OC，OEOC CEOC12 OA，|OD|52，|OE|52，ODOE12 OA212OC21，cosDOEODOE|OD|OE|45.答案：答案：45层级一层级一学业水平达标学业水平达标1已知向量已知向量 a(0，2 3)，b(1， 3)，则向量，则向量 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为()A. 3B3C 3D3解析：解析：选选 D向量向量 a 在在 b 方向上的投影为方向上的投影为ab|b|623.选选 D.2设设 xR，向量，向量 a(x,1)，b(1，2)，且，且 ab，则，则|ab|()A. 5B. 10C2 5D10解析：解析：选选 B由由 ab 得得 ab0，x11(2)0，即，即 x2，ab(3，1)，|ab| 32 1 2 10.3已知向量已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则，则 k()A12B6C6D12解析解析：选选 D2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由由 a(2ab)0，得得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得，解得 k12.4a，b 为平面向量为平面向量，已知已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则则 a，b 夹角的余弦值等于夹角的余弦值等于()A865B865C1665D1665解析：解析：选选 C设设 b(x，y)，则，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以，所以8x3，6y18，解得解得x5，y12，故故 b(5,12)，所以，所以 cosa，bab|a|b|1665.5已知已知 A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则，则ABC 的形状是的形状是()A直角三角形直角三角形B锐角三角形锐角三角形C钝角三角形钝角三角形D等边三角形等边三角形解析：解析：选选 A由题设知由题设知AB(8，4)，AC(2,4)，BC(6,8)，ABAC28(4)40，即，即ABAC.BAC90，故故ABC 是直角三角形是直角三角形6设向量设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若若(ac)b，则，则|a|_.解析：解析：ac(3,3m)，由，由(ac)b，可得，可得(ac)b0，即，即 3(m1)3m0，解得，解得 m12，则，则 a(1，1)，故，故|a| 2.答案：答案： 27已知向量已知向量 a(1， 3)，2ab(1， 3)，a 与与 2ab 的夹角为的夹角为，则，则_.解析：解析：a(1， 3)，2ab(1， 3)，|a|2，|2ab|2，a(2ab)2，cos a 2ab |a|2ab|12，3.答案：答案：38已知向量已知向量 a( 3，1)，b 是不平行于是不平行于 x 轴的单位向量轴的单位向量，且且 ab 3，则向量则向量 b 的坐标的坐标为为_解析：解析：设设 b(x，y)(y0)，则依题意有，则依题意有x2y21，3xy 3，解得解得x12，y32，故故 b12，32 .答案：答案：12，329已知平面向量已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若若 ab，求，求 x 的值；的值；(2)若若 ab，求，求|ab|.解：解：(1)若若 ab，则则 ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即即 x22x30，解得，解得 x1 或或 x3.(2)若若 ab，则，则 1(x)x(2x3)0，即即 x(2x4)0，解得，解得 x0 或或 x2.当当 x0 时，时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当当 x2 时，时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab| 4162 5.综上，综上，|ab|2 或或 2 5.10在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知点中，已知点 A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)(1)求求ABAC及及|ABAC|；(2)设实数设实数 t 满足满足(ABtOC)OC，求，求 t 的值的值解：解：(1)AB(3，1)，AC(1，5)，ABAC31(1)(5)2.ABAC(2，6)，|ABAC| 4362 10.(2)ABtOC(32t，1t)，OC(2，1)，且，且(ABtOC)OC，(ABtOC)OC0，(32t)2(1t)(1)0，t1.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1设向量设向量 a(1,0)，b12，12 ，则下列结论中正确的是，则下列结论中正确的是()A|a|b|Bab22Cab 与与 b 垂直垂直Dab解析解析：选选 C由题意知由题意知|a| 12021，|b|12212222，ab11201212，(ab)bab|b|212120，故，故 ab 与与 b 垂直垂直2已知向量已知向量 OA(2,2)， OB(4,1)，在，在 x 轴上有一点轴上有一点 P，使，使AP BP有最小值，则有最小值，则点点 P 的坐标是的坐标是()A(3,0)B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析：解析：选选 C设设 P(x,0)，则，则AP(x2，2)， BP(x4，1)，AP BP(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当故当 x3 时，时，AP BP最小，此时点最小，此时点 P 的坐标为的坐标为(3,0)3若若 a(x,2)，b(3,5)，且，且 a 与与 b 的夹角是钝角，则实数的夹角是钝角，则实数 x 的取值范围是的取值范围是()A.，103B.，103C.103，D.103，解析解析：选选 Cx 应满足应满足(x,2)(3,5)0 且且 a，b 不共线不共线，解得解得 x103，且且 x65，x103.4已知已知 OA(3,1)， OB(0,5)，且，且AC OB，BCAB(O 为坐标原点为坐标原点)，则，则点点 C 的坐标是的坐标是()A.3，294B.3，294C.3，294D.3，294解析：解析：选选 B设设 C(x，y)，则，则OC(x，y)又又 OA(3,1)，ACOC OA(x3，y1)AC OB，5(x3)0(y1)0，x3. OB(0,5)，BCOC OB(x，y5)，AB OB OA(3,4)BCAB，3x4(y5)0，y294，C 点的坐标是点的坐标是3，294 .5 平面向量平面向量 a(1,2)， b(4,2)， cmab(mR)， 且且 c 与与 a 的夹角等于的夹角等于 c 与与 b 的夹角的夹角，则则 m_.解析：解析：因为向量因为向量 a(1,2)，b(4,2)，所以，所以 cmab(m4,2m2)，所以，所以 acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为因为 c 与与 a 的夹角等于的夹角等于 c 与与 b 的夹角，所以的夹角，所以ca|c|a|cb|c|b|，即，即ac|a|bc|b|，所以，所以5m858m202 5，解得解得 m2.答案：答案：26 已知正方形已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 1， 点点 E 是是 AB 边上的动点边上的动点， 则则DE CB的值为的值为_；DEDC的最大值为的最大值为_解析：解析：以以D为坐标原点为坐标原点， 建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示则则 D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设设 E(1，a)(0a1)所以所以DE CB(1，a)(1,0)1，DEDC(1，a)(0,1)a1，故故DEDC的最大值为的最大值为 1.答案：答案：117已知已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中 a(1,2)(1)若若|c|2 5，且，且 ca，求，求 c 的坐标；的坐标；(2)若若|b|52，且，且 a2b 与与 2ab 垂直，求垂直，求 a 与与 b 的夹角的夹角.解：解：(1)设设 c(x，y)，|c|2 5， x2y22 5，x2y220.由由 ca 和和|c|2 5，可得可得1y2x0，x2y220，解得解得x2，y4，或或x2，y4.故故 c(2,4)或或 c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即即 2a23ab2b20，253ab2540，整理得，整理得 ab52，cos ab|a|b|1.又又0，.8已知已知 OA(4,0)， OB(2,2 3)，OC(1) OA OB(2)(1)求求 OA OB及及 OA在在 OB上的投影；上的投影；(2)证明证明 A，B，C 三点共线，且当三点共线，且当ABBC时，求时，求的值；的值；(3)求求|OC|的最小值的最小值解：解：(1) OA OB8，设，设 OA与与 OB的夹角为的夹角为，则，则 cos OA OB| OA| OB|84412， OA在在 OB上的投影为上的投影为| OA|cos 4122.(2)AB OB OA(2,2 3)，BCOC OB(1) OA(1) OB(1)AB，所以，所以 A，B，C 三点共线三点共线当当ABBC时，时，11，所以，所以2.(3)|OC|2(1)22 OA2(1) OA OB22OB16216161612212，当当12时，时，|OC|取到最小值，为取到最小值，为 2 3.
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