三节两个重要极限

第三节第三节 两个重要极限两个重要极限0sinlim1xxx 一一、 第第一一个个重重要要极极限限xy01xsin xx1 0.5 0.05 0.01 0.001 0.841470.958850.999580.999980.99999980sinlim1xxx 于是得到于是得到第一个重要极限：第一个重要极限： 0lim1sinxxx 或或sin ( )lim1( )u xu x 例例1: 1: 求下列极限求下列极限0sin51 limxxx（）1 55 2sin(36)2 lim2xxx （ ）2sin3(2)lim33(2)xxx 1 33 00sin5sin5limlim55xxxxxx 解解：2sin3(2)lim2xxx 解解：原原式式 00,xxxu x 推推广广形形式式：如如果果或或时时，则则 2393 limsin3xxx （ ） 333limsin3xxxx 解解：原原式式 3316 24sin(4)(4)lim28xxxx 41sin(4)lim2(4)xxxx 111426 4sin(4)lim(2)(4)xxxx 解解：原原式式 33lim3sin3xxxx 0sin35 limsin2xxx（ ）32 2limsinxxx(6)(6)2sinlim22xxx2 0sin333limsin222xxxxxxx 解解：原原式式2sinlim1xxx 解解：原原式式04328 limsin2xxx （ ） 0432432limsin2432xxxxx 解解：原原式式 33182402 03limsin2432xxxx 0tan27 limxxx（ ）0sin2cos2limxxxx 解解：原原式式0sin2limcos2xxxx 212cos0 0sin22lim2cos2xxxx 023limsin22432xxxx1()lim(1( )u xu xe 120lim(12 )xxxe 例例如如：1lim(1)xxex 130lim(13 )xxxe 00,xxxu x 推推广广形形式式1 1：如如果果或或时时，则则二二、第第二二个个重重要要极极限限的的标标准准形形式式：10lim(1)xxxe22lim(1)xxex 31lim(1)3xxex 例例2: 2: 求下列极限求下列极限101lim(13 )xxx （）3130lim (13 )xxx 3130lim(13 )xxx 302lim(12 )xxx （ ）1620lim(12 )xxx 解解： 原原式式= =1( 3)30lim(13 )xxx 解解： 原原式式= =3e 61620lim(12 )xxxe= =( 4)22lim(1)xxx 解解：原原式式4422lim(1)xxex 22(3)lim(1)xxx 32()21lim(1)2xxx 解解：原原式式332221lim(1)2xxex 31(4)lim(1)2xxx 612(6)lim(1)3xxx 32() (61)232lim(1)3xxxxx 解解：原原式式2() (61)3322lim (1)3xxxxx 2 643ee 253(5)lim(1)xxx 3(25)33lim(1)xxxxx 解解：原原式式33(25)lim(25)lim6xxxxxx 因因为为6e 所所以以原原式式3(25)33lim (1)xxxxx lim(1( )v xAu xe 3例例 ： 求求下下列列极极限限1301lim(14 )xxx （） 00,xxxu x 推推广广形形式式2 2：如如果果或或时时，且且00144lim4lim333xxxxxx 因因为为43e 所所以以原原式式 limu x v xA 则：则：1402lim(12 )xxx （ ）12e 原原式式33(3)lim(1)xxx 9e 原原式式9111(4)lim(1)3xxx 011lim242xxx 解解：3lim39xxx 解解：19119lim(911)lim3333xxxxxx 解解：3e 原原式式432(5)lim()xxxx 8e 原原式式23(6)lim()31xxxx 2lim(43)8xxx 12lim2313xxx 23e 原原式式432lim(1)xxx 解解： 原原式式231 1lim()31xxxx 解解： 原原式式21lim(1)31xxx 32(7)lim()1xxxx 9e原原式式314(8)lim()43xxxx 3lim391xxx 39lim(31)434xxx 94e 原原式式33133lim()lim(1)11xxxxxxx 解解： 原原式式31433lim()43xxxx 解解： 原原式式313lim(1)43xxx 0ln(1)(1)limxxx 10ln lim (1)ln1xxxe0ln(13 )(2)limxxx 10lim ln(1)xxx 130ln lim (13 )ln3xxxe 01limln(1)xxx 解解： 原原式式01limln(13 )xxx解解： 原原式式10limln(13 )xxx4例例 ： 求求下下列列极极限限( )( ), ( )lim1( )u xu x v xv x 设设为为无无穷穷小小量量，并并且且，则则称称( )( )( ) ( )u xv xu xv x与与为为等等价价无无穷穷小小量量，记记。0sinlim1,0sinxxxxxx 例例如如：则则时时，；1 1、等等价价无无穷穷小小量量：0 0三三、利利用用等等价价无无穷穷小小量量代代换换计计算算型型极极限限0 00ln(1)lim1,0ln(1) xxxxxx 则则时时，(1)0sin;xxx时时, ,0112 12xxxx 例例如如：时时, ,2、常常用用的的等等价价无无穷穷小小量量：(2)0tan;xxx时时, ,(3)0ln(1) ;xxx 时时, ,(4)01 ;xxex 时时, ,2(5)0.2xxaxaa 时时, ,042 2 24xxxx 时时, ,(1)( )0sin ( ) ( ) ;u xu xu x时时, ,(1)0sin2xx例例如如：时时, ,等等价价无无穷穷小小量量推推广广形形式式：(2)( )0tan ( ) ( ) ;u xu xu x时时, ,(3)( )0ln(1( ) ( ) ;u xu xu x 时时, ,( )(4)( )01 ( ) ;u xu xeu x 时时, ,2( )(5)( )0( ).2u xu xau xaa 时时, ,(2)1sin(1)xx 时时, , 2x1x 2(3)2sin(4)xx 时时, ,0131xx ( (9 9) )时时, ,2(4)0sinxx时时, ,2(5)sinxx 时时, ,3(6)01xxe 时时, ,(8)3tan(3)xx 时时, ,(10)0432xx 时时, ,(7)0ln(13 )xx 时时, ,3;x 3;x2;x2;x24;x 3 ;x 332 12xx 332 24xx 030、利利用用等等价价无无穷穷小小量量计计算算型型极极限限： limlimu xxv xv x 001limlimsin333xxxxxx例例如如：22111tan(1)1(1)(1)limlimlim2111xxxxxxxxxx( ), ( )( ) ( )u x v xu xx 设设为为无无穷穷小小量量，并并且且，则则例例5: 5: 求下列极限求下列极限0sin41limsin3xxx（ ）21sin(1)(2)lim23xxxx 211lim23xxxx 解解：原原式式222tan(4)3lim28xxxx （ ）2224lim28xxxx 解解： 原原式式= =044lim33xxx 解解： 原原式式2(2)(2)42lim(4)(2)63xxxxx= =111lim(1)(3)4xxxx 0sin24limln(13 )xxx （ ）201(5)limln(14 )xxex 021lim42xxx 解解：原原式式01216limsin3xxx （ ）00212 1limlim333xxxxxx 解解： 原原式式= =022lim33xxx 解解： 原原式式09437limtan6xxx （ ）20118limsin2xxxx （ ）2220012 12limlim224xxxxxxx 解解： 原原式式= =004212 33limlim669xxxxxx 解解： 原原式式( )( ), ( )lim0( )u xu x v xv x 设设为为无无穷穷小小量量，并并且且，则则称称( )( )u xv x为为高高阶阶无无穷穷小小量量。20 xxx例例如如：时时，为为的的高高阶阶无无穷穷小小量量；4 4、高高阶阶无无穷穷小小量量：200limlim0 xxxxx0 xxx时时， 为为的的高高阶阶无无穷穷小小量量00limlim0 xxxxx