公司的投资问题数学建模

公司投资问题的数学模型摘 要本文要研究的是公司在未来5年内如何利用20亿投资金额来投资使得第五年年末时所得利润最大的问题。对此，我们综合利用了线性规划、灰色预测、灵敏度分析、残差检验等方法对题中所给问题逐一解决。对于问题一：问题一是典型的线性规划问题，我们建立了在不考虑风险的情况下以第五年末最大利润为目标的单目标最优化模型。首先，每一年年初投资的金额不能大于可用投资金额，可列出第一个约束条件。其次，每一个项目在其运行期再进行投资时不能超过其投资上限，可列出第二个约束条件。第五年年末的利润即为第五年年末的本利与20亿投资金额之差，可列出目标函数。然后通过建立的最优化模型求得第五年年末的最大利润为153254.4万元。每个项目每年的投资金额见问题一求解的表二。最后对所建模型进行灵敏度分析。对于问题二：首先，对题中表二和表三所给数据利用公式（到期利润率=到期利润/投资总金额）对数据进行处理，求出其对应的利润率（见附录二）。然后利用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型分别对独立投资和同时投资两种方案的到期利润率进行预测。再以负利润率的期望作为衡量风险损失率的指标，即风险损失率等于负利润率的期望，最后得到到期利润率和风险损失率的预测值（预测结果见问题二的求解）。对于问题三：在前两问的基础上，考虑同时投资时项目间的相互影响，利用问题二中所求得的到期利润率建立以第五年年末最大利润为目标的单目标最优化模型。最后求得第五年年末的最大利润为248511.3万元。每个项目每年的投资金额见问题三求解的表二。对于问题四：问题四考虑了投资风险，利用问题二中得到的风险损失率，在问题三的基础上，建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。最后求得最大利润为267314.3万元。每个项目每年的投资金额见问题四求解的表一。对于问题五：问题五同样考虑了投资风险，多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资，贷款的钱用于其它项目的投资，类比问题四，建立多目标优化模型，通过LINGO软件包求得，当风险度a为0.13时，得到最大利润为277858.3万元。每个项目每年的投资金额见问题五求解的表一。关键词：线性规划、灵敏度分析、灰色预测、残差检验、1.问题重述1.1问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.2需要解决的问题问题一:根据附录一表1实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末 所得利润最大？问题二:公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数 据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互 影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见附录一表2。同时对项 目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年 数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见附录一表3。 (注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目) 试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影 响下的投资的到期利润率、风险损失率。 问题三:未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。对投资项目1，公 司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万， 则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投 资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的 投资上限见附录一表4。在问题三的背景下，根据问题二预测结果， 确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 问题四:考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资 若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度 量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 问题五:为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的 收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何 对5年的投资进行决策?2.模型的假设假设一：题目所给的数据是真实可靠的。假设二：没有交易费、投资费等开支。假设三：在投资的五年时间内市场发展基本上是稳定的。假设四：公司的经济发展对投资无较大影响。假设五：投资期间社会政策无较大变化。假设六：假设每一年银行与公司只有贷款或存款中的一种业务。假设七：贷款利率和存款利率稳定。假设八：第五年年末，银行与公司终结存款或贷款业务。3.符号的说明符号符号说明uij第j年第i个项目的投资金额ri问题一中第i个项目的预计到期利润率Qj第j年年初可用用于投资的金额Q第五年年末的本利问题一第i个项目在运行期的投资上限问题三、四中第i个项目在运行期的投资上限qij第i个项目第j年的风险损失率cj第j年存入银行的金额ej第j年在银行存款的金额mj第j年银行存款利率nj第j年贷款利率4.问题分析 此题研究的是公司在未来五年内有八个项目可供投资的条件下如何来安排每年的投资使得第五年年末时能获取最大利益的问题。 针对问题一:要得到第五年年末的最大利润，则要建立一个以最大利润为目标的单目标最优化模型。对于约束条件的确定，首先，题目已给出每个项目每年的投资上限，因此每个项目每年投资金额不能大于此上限。其次，由于每一年年末的本利可用于下一年投资，因此要计算出每一年年初可用于投资的金额Qi，而这一年的投资金额不能大于可用于投资的金额。对于目标函数的建立，由于第五年年末的利润即为第五年年末的本利与20亿投资金额之差，据此即可建立以第五年年末的最大利润为目标的目标函数。 针对问题二:由于实际投资中，同时投资的项目之间会有相互影响，因此要根据所给数据来预测独立投资和项目之间相互影响下同时投资的到期利润率和风险损失率。我们采用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型，对五年的利润率进行预测并对预测值进行检验和残差修正。再根据预测的五年内的利润率和前20年的利润率，用公式（风险损失率=利润率的期望）来预测未来五年的风险损失率。最终得到到期利润率和风险损失率的预测值。针对问题三:在不考虑投资风险的情况下，若项目1投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。在模型一的基础上，通过问题二得出的到期利润率以及问题三中所要求的条件，对目标函数和约束条件进行改造，建立模型三。针对问题四:前三问都是不考虑投资风险，问题四是在考虑投资风险的情况下，由于投资每个项目都存在风险，因此以投资风险最大的一个风险作为总风险。利用问题二中得到的风险损失率，在问题三的基础上，建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。并对模型进行简化，转化为以第五年年末最大利润率为目标的单目标优化模型。针对问题五：问题五同样考虑了投资风险，多加了向银行贷款存款这一条件，把银行存款当做投资，贷款的钱用于其它项目的投资，类比问题四，建立多目标优化模型，然后通过LINGO软件包求最大利润。5. 数据分析定义1 运行期指从投资开始到回收本利的这段时间。定义2 到期利润率指到期利润与投资本金的商。定义3 风险损失率等于到期损失率的期望。 5.1问题五中银行历年贷款利率调 整时 间利率（%）贷款时间六个月至一年（含一年）调 整时 间利率（%）贷款时间六个月至一年（含一年）1991.04.218.642007.03.186.391993.05.159.362007.05.196.571993.07.1110.982007.07.216.841995.01.0110.982007.08.227.021995.07.0112.062007.09.157.291996.05.0110.982007.12.217.471996.08.2310.082008.09.167.201997.10.238.642008.10.096.931998.03.257.922008.10.306.661998.07.016.932008.11.275.581998.12.076.392008.12.235.311999.06.105.582010.10.195.562002.02.215.312010.12.265.812004.10.295.582011.02.096.062006.04.285.852011.04.066.312006.08.196.122011.07.076.56 6. 问题一的解答6.1模型一的建立6.1.1确定目标函数 对于目标函数的建立，首先通过每一年年初可用于投资的金额来分类讨论如下表一。 表一：每年年初可用于投资的金额 （单位：万元）每年年初可用于投资的金额第一年第二年第三年第四年第五年第五年年末的本利为:第五年年末所得利润即:综上所述，得到问题一的目标函数为： 6.1.2确定约束条件 每个项目在运行期间进行投资时要小于其投资上限，并且每年年初的投资金额要满足小于等于每年年初可用于投资的金额，其中，各个投资项目的投资上限是在任一项目的运行期（指从投资开始到回收本利的这段时间）间公司对该项目投资金额不能超过该项目的投资上限，每年可用投资金额等于上一年可用投资金额减去上一年的总投资再加上上一年年末个项目回收的本利，因此得到问题一的约束条件如下： 6.1.3综上所述，得到问题一的最优化模型 目标函数： 6.2模型一的求解根据以上建立的模型，利用LINGO软件包求得每一年每个项目的投资金额、如下表二，每年年初的投资总金额如下表三，每年年初的可用投资金额如下表四： 表二 ：每年每个项目的投资金额 （单位：万元）项目投资金额年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一6000045544.44600006000060000项目二3000030000300003000030000项目三4000000400000项目四30000025254.444745.5560项目五3755.556026244.4400项目六200000000项目七040000000项目八003000000 表三：每年年初的投资总金额 （单位：万元）年份第一年第二年第三年第四年第五年年初投资总金额163755.556105544.44171498.8817745.55690000 表四：每年年初可用金额 （单位：万元）年份第一年第二年第三年第四年第五年每年年初可用金额200000115544.4171498.9134745.6131373.1在第五年年末，得到的本利P为35325.44万元。得到的最大利润即为第五年年末总的本利与20亿本金之差。综上所述，在第五年年末得到的最大利润为153254.4万元。6.3模型一的结果分析、验证6.3.1灵敏度检验对于问题一中建模的模型，影响最终利润的因素为：1.预计到期利润率、2.投资金额、3.各投资项目的投资上限。分别独立改变这三个因素的值来确定其对模型的灵敏度，从而反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。反之，通过改变各参数的值，又可反映和检验模型一的实际合理性。 （1）预计到期利润率。问题一的目标函数是总利润最大，而当投资总金额和投资上限一定时，总利润就是与各项目的到期利润率相关。当利润率越大，获得的利润也相应越大。总而言之，在不考虑风险的情况下，到期利润与到期利润率成正比关系。 （2）投资资金。 利润随投资资金改变的变化 （单位：万元）投资资金资金改变量总利润利润改变量165000-35000138648.4-14606170000-30000141721.9-11532.5175000-25000144772.6-8481.8180000-20000147686.7-5567.7185000-15000150371.7-2882.7190000-10000151439.6-1814.8195000-5000152347.0-907.42000000153254.402050005000154160.7906.321000010000154700.01445.621500015000154700.01445.622000020000154700.01445.622500025000154700.01445.623000030000154700.01445.623500035000154700.01445.6 根据以上图表分析可知，随着投资资金的增大，总利润也增大，但超过21亿后，虽然投资资金充足，但总利润保持不变，不再随投资资金的变化变化。达到一个饱和稳定状态。最大容许投资为21亿，此时可获得的最大总利润为15.47亿。在18.5亿之前，可获得的最大总利润随投资增加很快，故建议投资不低于18.5亿。 （3）各投资项目的投资上限。 利润随投资上限改变的变化 (单位：万元）改变量利润改变量项目项目一项目二项目三项目四项目五项目六项目七项目八-20000-8554.4-9554.4-8554.4-9354.4-7558.0-8592.5-14554.4-9558.0-15000-6054.4-6804.4-6054.4-6654.4 -5665.1 -6444.4 -10554.4 -7165.1-10000-3554.4-4054.4 -3554.4-3954.4-3772.3-4296.3-6554.4-4772.3-5000-1754.4-2023.8-1685.1-1892.5-1879.6 -2148.1-3093.7-2379.6 00000000050001757.5 2023.91685.21892.61879.7 2148.23092.6 2379.7100003514.94047.83370.43785.23759.3 4296.36185.24759.3 150005272.3 6071.75055.65677.8 5638.96442.0 9277.87138.9200006445.97647.36740.87570.47518.68584.912370.49518.6 根据以上图表分析可知，项目的投资上限对总利润影响力由大到小依次为：项目七、项目八、项目六、项目二、项目四、项目五、项目三、项目一。7.问题二的解答7.1模型二的建立 我们利用灰色系统理论中的GM（1,1）预测模型分别对独立投资和项目间相互影响下投资的到期利润率预测，再利用利润率的期望作为衡量风险损失率的指标，建立了模型二。7.1.1确定预测模型 设时间序列共有n个观测值。对做一次累加生成列： 这样生成的数据列有较强的规律性，可对变化过程做较长时间的描述，但是本题中，如单独投资时第五、六、七、八列中存在负数，在进行累加时会出现正负抵消这种信息损失的问题，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚至被削弱。对于这种情形，我们将数列中的值都取其绝对值，然后进行预测，预测后取消绝对值时存在正负号问题，对此，我们指定定值0，并认为数列中小于0的点为具有异常值的点，然后对异常值出现的时间进行灾变预测，根据灾变预测对所得的结果赋正负号。建立微分方程模型，记为GM（1，1）模型，其中称为发展灰数，称为内生控制灰数。 设，利用最小二乘法求解可得：其中 求以上解微分方程即可得预测模型为：根据上述方法建立利润率和风险损失率的发展预测模型。利用题中所给数据，按照上述的步骤可得GM（1，1）模型为： 解上式得则可初步预测第一个投资项目的相应的利润率，如下表一。表一：独立投资时项目一的预测利润率与观测值得比较年份1986198719881989199019911992199319941995观测值0.15950.16750.15160.14830.15470.17270.13040.21350.08580.1509预测值0.15950.15630.15560.15480.15400.15330.15260.15180.15110.1503年份1996199719981999200020012002200320042005观测值0.13480.14720.18430.10370.14450.18170.14700.10390.19080.1308预测值0.14960.14890.14820.14750.14670.14600.14530.14460.14390.1432根据以上模型，类比独立投资时对项目1的利润率预测，对其他项目分别在独立投资方案和同时投资方案下的利润率进行预测，结果见附录二。再利用独立投资和同时投资两种方案下得出的利润率预测值求出的利润率预测值和风险损失率的计算公式对风险损失率进行预测。7.1.3综上所述，得到问题二的预测模型 风险损失率预测:7.2模型二的求解 根据以上建立的预测模型，利用MATLAB软件包求得五年内在独立投资和同时投资两种方案下的利润率和风险损失率预测值如下表二、表三、表四、表五。表二：各投资方案独自投资时在五年内到期利润率的预测值年份1234567820060.1425 0.22920.3284 0.4173 0.7697 1.3856 14.9217 3.465520070.1418 0.2386 0.3261 0.43560.74001.4321-15.98463.597620080.1411 0.2484 0.3238 0.4548 0.7115 -1.4801 17.1233 -3.734820090.1405 0.2586 0.3216 0.4747 0.6841 1.5297 18.3431 3.877120100.1398 0.2691 0.3193 0.49560.6577 1.5810 -19.6497 4.0250表三：同时投资时在五年内到期利润率的预测值年份34565682006 0.6147 0.4195 0.9343 1.10581.1842 0.7451 1.277420070.63290.4185 1.0279 1.11181.2317 0.7345 1.243620080.6518 0.4174 1.13331.1281 1.2812 0.7243 1.210720090.6712 0.4164 1.2488 1.15461.3327 0.7144 1.178620100.6912 0.4154 1.37551.1913 1.3662 0.7050 1.1474表四：独自投资时在五年内风险损失率的预测值年份12345678200600000.86430.83815.77591.3993200700000.86430.83815.77591.3993200800000.86430.83815.77591.3993200900000.86430.83815.77591.3993201000000.86430.83815.77591.3993 表五：同时投资时在五年内的风险损失率的预测值年份34565682006000.86530.84510.87020.85121.40352007000.86530.84510.87020.85121.40352008000.86530.84510.87020.85121.40352009000.86530.84510.87020.85121.40352010000.86530.84510.87020.85121.40357.3模型二的结果分析、验证、修正、结果表示 （1）对于预测值进行检验按照预测模型计算，并将累减生成，然后计算原始序列与原始序列预测值的绝对误差序列及相对误差序列，有关结果见表六表六年份k198600.15950.15950.15950.159500198710.16750.32700.31580.15630.01110.0665198820.15160.47850.47140.15560.00400.0263198930.14830.62680.62620.15480.00650.0440199040.15470.78150.78020.15400.00060.0040199150.17270.95410.93350.15330.01940.1122199260.13041.08461.08610.15260.02210.1696199370.21351.29811.23790.15180.06170.2889199480.08581.38381.38900.15110.06530.3616199590.15091.53471.53930.15030.00050.00361996100.13481.66951.68890.14960.01490.11021997110.14721.81671.83780.14890.00170.01171998120.18432.00101.98600.14820.03610.19611999130.10372.10472.13350.14750.04370.42192000140.14452.24922.28020.14670.00220.01552001150.18172.43092.42620.14600.03570.19642001160.14702.57792.57150.14530.00170.01142003170.10392.68182.71620.14460.04070.39212004180.19082.87262.86010.14390.04690.24572005190.13083.00333.00330.14320.01250.0953结论：相对误差绝大部分都符合精度要求。 8.问题三的解答8.1模型三的建立8.1.1确定目标函数 问题三中，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。设 对于目标函数的建立，首先通过每一年年初可用于投资的金额来分类讨论如下表一。 表一：每年年初可用于投资的金额 （单位：万元）每年年初可用于投资的金额第一年第二年第三年第四年第五年第五年年末的本利为： 第五年年末所得利润即:综上所述，得到问题一的目标函数为： 8.1.2确定约束条件 每个项目在运行期间进行投资时要小于其投资上限，并且每年年初的投资金额要满足小于等于每年年初可用于投资的金额，因此得到模型三的约束条件如下： 8.1.3综上所述，得到问题三的最优化模型 目标函数： 8.2模型三的求解 由以上建立的模型求得第五年年末最大利润率为248511.3万元。 每年每个项目的投资金额如下表二： 表二 ：每年每个项目的投资金额 （单位：万元）项目投资金额年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一6000058486.87600006000060000项目二6000060000600006000060000项目三3500003500000项目四0300000300000项目五003000000项目六040000000项目七00000项目八00000 9.问题四的解答9.1模型四的建立9.1.1确定目标函数 由于问题四考虑了投资风险，因此，首先建立以总风险最小和第五年年末利润最大为目标的多目标优化模型。确定的目标函数如下： 其中，如下： 然后对模型进行简化在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成单目标的线性规划。简化模型的目标函数如下： 9.1.2确定约束条件 9.1.3综上所述，得到问题四简化后的单目标最优化模型 9.2模型四的求解由以上模型求得第五年年末最大利润为267314.3万元。每年每个项目的投资金额如下表一： 表一：每年每个项目的投资金额 （单位：万元）项目投资金额年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一6000060000600006000060000项目二6000060000 60000 60000 60000 项目三35000 0 35000 00项目四030000 030000 0项目五7000 023000 00项目六031022.55 000项目七00000项目八000009.3模型四的结果分析由计算结果及下图可得以下结论:1.风险大，收益也大。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即，冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。3.下图曲线上的人一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。4.在a=0.13附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快；在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资a*=0.13,y*=267314.3 10.问题五的解答10.1模型五的建立10.1.1确定目标函数 对于问题五，我们建立了以第五年年末最大利润为目标的单目标最优化模型，所确定的目标函数为： 10.1.2确定约束条件 10.1.3综上所述，得到问题五的多目标最优化模型 目标函数为： 10.2模型五的求解由查得的银行历年贷款存款年利率进行灰色预测得到今后五年的贷款存款年利率为：第一年第二年第三年第四年第五年贷款年利率0.05940.05850.05770.05700.0563存款年利率0.05250.04750.04750.03250.0325由以上模型求得第五年年末最大利润为277858.3万元。每年每个项目的投资金额如下表一： 表一：每年每个项目的投资金额 （单位：万元）项目投资金额年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一6000060000600006000060000项目二6000060000600006000060000项目三3500003500000项目四0300000300000项目五300000000项目六031022.55000项目七00000项目八00000银行存款0012397.45102526.4279877.9银行贷款022520.5500011.模型的模型的评价、改进及推广11.1模型评价优点：（1）问题一中我们对模型进行了灵敏度分析，一方面反映各个因素对模型结果影响的显著性水平。另一方面，通过改变各参数的值，又反映和检验模型一的实际合理性。 （2）在求解问题的时候，把问题归结为线性规划问题，考虑因素多，比较符合实际。对列出的表达式通过LINGO软件编程进行计算，过程严谨，结果精确。 （3）我们采用改进的灰色预测模型，使预测结果更精确，模型的实用性更强。 （4）模型的适应性好，能解决类似的投资最大化收益问题。 （5）在做灵敏度分析和结果分析时，我们都用MATLAB软件包画出了分析结果，更直观地反映了分析结果。缺点：在建模过程中，我们没有考虑市场和人为等因素的影响，对结果有一定的影响。11.2模型改进（1） 对于模型二，可以利用神经网络模型进行预测，可以对时间更长的进 行预测，有推广的意义。（2） 我们只对问题一进行了灵敏度分析，由于下面几问得到的也是估计值 或预测值，可以对其他几问也进行灵敏度分析。11.3模型推广 多项目的组合投资问题在现实生活中有着广泛的应用前景。我们所建立的 模型除了应用于多项目的投资外，还可以应用于多项目的生产问题、资源的调 度问题。 12. 参考文献1赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008.2戴明强，李卫军，杨鹏，数学模型及其应用，北京：科学出版社，2007.3薛定宇，陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版 社，2008.4Frank R. Giordano，Maurice D. Weir，William P. Fox，数学建模，北京：机械 工业出版社，2005.13.附录附录一：题中所给数据表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（万元）6000030000400003000030000200004000030000表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润1117911139211687488146470314192451996投资额42374996560355975231418168305018到期利润5719643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-62910770-24878-57862000投资额68797396551656237471550131744210到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572002投资额36607741431543797120613136615393到期利润5381527115514944616641164239-115382003投资额4486475638715529580755763029到期利润4668621022204653956178118192004投资额7280731264717760到期利润13891319206032272005投资额30825083到期利润403787 表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润102626861442263466782542-31451987投资额5070792974805463748054634830到期利润2188355830092935-386115120132701988投资额6665751359784558597845584501到期利润327232224431440047941884-33561989投资额6333674940347392403473924092到期利润20502778344447330021549108201990投资额5148538462206068622060685270到期利润15132533601-6448-852-4651-15931991投资额5973729469166276691662766335到期利润2733354210300921720610559572831992投资额4449558658126577581265775848到期利润3005244831810874750-179140001993投资额4268541455894472558944723570到期利润201526095168-29303170-235144601994投资额5474647350736345507363453044到期利润17822969-981241373041909070651995投资额6859670753774783537747836355到期利润3701263666955237952029105101996投资额5603559752314181523141815018到期利润35811809952844-26716334129701997投资额4877384474344222743442225960到期利润15101724-1248984-42993307101701998投资额5460368179367745793677453861到期利润399614507717280380626753100501999投资额5697570138987216389872164218到期利润320424887598-4722-96814900-22942000投资额5516562374715501747155014210到期利润145421997518932165802131100602001投资额6255692565986043659860437988到期利润325826468671-655111460-4521-80392002投资额4315437971206131712061315393到期利润266119842029203004379103544562003投资额3871552958075576580755763029到期利润180024437424863912680511221542004投资额64717760到期利润304736822005投资额到期利润表4. 各投资项目的投资上限项目12345678上限（万元）6000060000350003000030000400003000030000附录二：问题二中前20年单独投资，各项目的利润率及各项目20年内的平均利润率的观测值及预测值 观测值年份项目1234567819860.15950.02190.31070.1581-1.82791.85273.23791.799919870.16750.02380.43590.19410.6743-0.21202.10001