一元二次方程教材分析

1一元二次方程教材分析二零一零年九月2一元二次方程教材分析一.本章主要内容分析本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（配 方法、公式法、因式分解法），运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解_ 一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习作好准备.数学建模思想的教学在本章得到进- 一步渗透和巩固.课时安排：22.1一兀二次方程2课时22.2降次一一解兀二次方程7课时*22.2.4一元二次方程根与系数的关系1课时22.3实际冋题与，兀二次方程3课时三、本章知识结构图四、教学重难点小结2课时322.1教学重点：一元二次方程及有关概念的理解教学难点：准确的化为一元二次方程的一般式学法点拨：理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次 数为2。对一元二次方程理解时，一定注意“aM0”这一条件。把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母-去括号-移项-合并同类项。注意：当a是负值时，一般转化为正数；2多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如：x20, x210,3x2x 0。会用“代入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。易错点：1）判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数不为“0”.如：下列关于x的方程中，是一元二次方程的有 _。2axbx c 0 x2-50 x2x2x 30 x22x302）注意本单元在学习概念时，注意联系实际，加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念。女口：已知关于x的方程（m-n）x2+mx+n=0你认为：1当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？2当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？3）没有化成一般形式，混淆a、b、c.22.2降次-解一元二次方程直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法， 解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程一一降次。本单元首先通过简 单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程； 然后讨论比较复杂的一 元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理 并掌握其具体方法；以配方法为基础4推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系， 多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见， 体会数学思想方法的作用， 逐步养 成主动探究和应用的习惯。教学重点 ：一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。教学难点 ：选择合适的解法。课时安排 ：本单元是本章的重点，书中安排是5课时，可以适当的增加课时 或利用加课时间，我在本次分析时按8课时分析的。（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过 此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教 学时，计划由浅入深的安排一下类型题：1x2=a （a0）2bx2=a （a、b同号，0）3（x-b）2=a （a0）4m（x-b）2=a （a、m同号,m0）5m（nx-b）2=a （a、m同号,m、n0）（2）配方法（2课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且 在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学 中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这 种思想对培养学生的数学能力影响很大。 教学中对配方法及化归思想应充分重 视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。第一课时：安排a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数 一半的平方。注意：如x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。第二课时：安排a1的情况，总结出配方法的步骤：1方程两边除以二次项系数，把方程化为二次项系数为1的类型；2方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；直接开 平方；5写出结果。（3）公式法（2课时）由配方法引出求根公式。推导求根公式时，特别给出条件“当b24ac0时” 教学中应当使学生认识到这一条件是根据（x ）2非负而产生的，如果b2-4ac2av0,就有（x ）2v0.这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定b24ac0. 2a得出求根公式后，可知方程axNbx+c=O（a工0）根是由系数a、b、c所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了b24ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：有两个不等的实数根；有两个相等的实数根；合称为有实数根，没有实数根，但不能说没有根， 这时方程的根是虚根。教学时总结出公式法解题的一般步骤：1化为一般式；2指出a、b、c,带符号；3写出求根公式；4代入求解。（4）因式分解法（1课时）:教科书中所用的因式分解法包括提公因式和公式法，这与以前学过的因式分解方法是一致的。对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。（5）习题课（1课时）选择适当的方法解一元二次方程。22.2.4一元二次方程根与系数的关系（1课时）:本节内容为选学内容，进一步 加深对一元二次方程及其根的认识。利用一元二次方程根与系数的关系，可以灵 活地解决许多问题，建议讲授本节内容为以后的学习做准备。但是在难度上要有所控制。学法点拨：公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，当方程符合ax2=c（a、c同号，a6工0）时，可用直接开平方法解方程。7解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。对于一元二次方程的一般形式axbx+c=O(a工0),当b2-4ac0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。配方法要先配方再降次；“配方法” 不仅应用在一元二次方程中， 注意配 方在其他方面的应用 。因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分 别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法 应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。易错点(1)用因式分解法没有注意方程是否写成A*B=0形式。如，解方程(x-1)(x-3)=8,误解为x1=1, x2=3.(2)用公式法解方程时， 没有化为一般式， 造成符号错误或混淆a、b、c。女口，解方程X24X=2，误认为a=1,b=4,c=2.(3)丢根。如，解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),只解得x=3.22.3实际问题与一元二次方程结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本 节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。 体现了数学 建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。教学重点 ：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。教学难点 ：在探究过程中正确地建立一元二次方程。突破难点的关键 ：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出 可以作为列方程依据的主要相等关系。学法点拨：列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。具体过程：(1)审题，找等量关系；关键注意单位8(2)设未知数；-（3）列方程；（4）解方程；（5）检验； - 注意是否符合实际意义（6）写出答案；（7）答话。增长率问题常用公式a（1x）2b ,a为原数，b为增长或降低后的数（即 现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。易错点1审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；2解方程后未经检验就盲目作答。3检查方程两根是否符合实际意义， 尤其当两根都是正数的情况。 如教材P46： 探究2问题中，方程两根都是正数， 但他们并不都适合问题的解。 必须根据它们 的值的大小来确定哪个合乎实际。 这种取舍更多的要考虑问题的实际意义， 教学 中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。五本章在中考中的权重分析、考点要求从教材结构看，在六册初中教材29章当中， 一元二次方程大约占总课 时的3%，也就意味着 在满分150分的中考试卷中，一元二次方程的权重只 能在4分左右。但是一元二次方程在初中数学中仍占有重要的地位， 因为它和二 次函数的联系非常密切.这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方， 是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例.考试中不仅基 础题会考查， 更重要的是后面的综合题也会重点考查， 一般以函数等知识为背景 进行综合考查，因此教师、同学们应对这部分内容予以高度重视.中考中对于一元二次方程的要求主要包括一元二次方程的概念，会用配方 法、公式法、因式分解法解一元二次方程， 以及用一元二次方程的知识解决实际 问题。中考中对于这部分的考查形式多样， 注重学生对于方程思想、 转化思想等 思想方法的考查，对于学生分析问题和解决问题的能力要求也比较高。附1：9近三年广州市中考题1.(2008 广州、第 5 题、3 分)、方程x(x 2)0的根是()10Ax 2Bx 0C % 0, x22Dx-i 0, x22【答案】：C22. (2010 广东广州，第 19 题，10 分)已知关于 x 的一元二次方程ax bx 10(a0)有【分析】本题需要综合运用分式和一元二次方程根的判别式来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度.【答案】解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，= b 4ac 0，即 b24a 0 .ab2ab2ab2ab2(a 2)2b242a4a 4b24 a24a b22ab23. (2009 年第 25 题，14 分)px q(p 0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交5于点C(0,1),ABC的面积为.4(1) 求该二次函数的关系式；(2) 过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点， 求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形两个相等的实数根，求ab2(a 2)2b2-的值。4由于这个方程有两个相等的实数根，因此2b 4a 0，可得出 a、b 之间的关系,然后将ab2(a 2)2b2-化简后，用含4b 的代数式表示a，即可求出这个分式的值.如图 13,二次函数y x2x11ACBD为直角梯形？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由.x12T抛物线y x2px q过点C（0,1）, 102P 0 q. q 1 .2d-y x px 1.T抛物线y x2px q与x轴交于A、B两点,二x1,x2是方程x2px 10的两个实根.求p的值给出以下两种方法：5 X12【答案】25.本小题主要考查二次函数、解直角三角形、础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念.解： （1）设点A（Xi,O）,BgO），一元二次方程（韦达定理或求根公式）满分 14 分.等基X2方法1:由韦达定理得：X-|X2p,x1x21.TABC的面积为OCgAB54即-2(X2XJx13、225(X2X1)4(X2X1)2(X2X1)2(X2X1)24X1X225425(p)244X1X2,14解得 p- p所求二次函数的关系式为方法 2:由求根公式得XiAB x2x:P2424/ ABC的面积为15-OCgAB5,.1.254即-254Xi)解得2543- P所求二次函数的关系式为2(2)令X3X 1 0，解得Xi3X212，X2，B(2,0).在RtAOC中,AC2AO2OC212在RtBOC中,BC2BO2OC22212 AB 2215225252AC2BC2 5AB2.44ACB 90 ABC是直角三角形.二RtABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点.RtABC的外接圆的半径r2垂线与ABC的外接圆有公共点，Xo24Xo8XO5 o.5解得X)或xoXo- Xo5，此时点D的坐标为-,32 2 2而AD2AE2ED245BC2，因此当ADBC时在抛物线yX2器1上存在(3)假设在二次函数y-x 1的图象上存在点2D，使得四边形ACBD是直角梯形.若AD/BC,设点D的坐标为Xo,1，Xo过D作DE丄x轴，垂足为E，如图 1 所示. 求点D的坐标给出以下两种方法：方法 1：在RtAED中，tan DAEDEAEX2|xo1X。2在RtBOC中，tan CBOOC1OB2/DAECBO,-tan DAE tan CBO.2Xo1Xo3XX165 3点D5,3，使得四边形DACB是直角梯形.2 2方法 2：在RtAED与RtABOC中,二RtAEDsRtBOC.DEDAEAE2XoXoOCOB-Xo1212CBO,以下同方法 1.若AC/BD设点D的坐标为X0，2Xo32XoXo过D作DF丄x轴，垂足为F，如图 2 所示.在RtDFB中，tan DBFDEFBX2|X12X在RtCOA中，tan CAOOCOA二tanDBFDBFCAO,tan CAO.2Xo32Xo2Xo2x：Xo10 0.解得Xo5、 或Xo2.2Xo02，此时D点的坐标为此时BDAC，因此当AC/BD时，在抛物线1上存在点5,9,使2得四边形DACB是直角梯形.17x23x 1上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点25 35D的坐标为22或2，附2：部分地区近年中考题选知识点 1、一元二次方程的概念例 1:（ 2009 山西）请你写出一个有一根为1 的一元二次方程：_答案：答案不唯一，如x21例 2：（2009 威海）若关于x的2兀二次方程x （k 3）x k 0的一个根是2，则另-个根是答案：1知识点12、解一元二次方程例 3：（2009 武汉）解方程:2x3x 10.答案：解：Q a 1,b3, c1,b24ac ( 3)24 1(1) 13,3133X1,X22.2例 4: （2009 山西）解方程:2x2x 30答案：解：移项得x22x 3,配方，得2x 14 x 12, x-i1,X23.（注：此题还可用公式法，分解因式法求解）知识点 3、根的判别式例 5： （2007 芜湖）已知关于 x 的一元二次方程x2m 2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m1B.mv 2C.m0D.mv0答案：A综上所述，在抛物线181解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为一xm.根据题意，得21x 2 g(x 4)288.2解这个方程，得X120（不合题意，舍去）,X228.知识点 4、一元二次方程与二次函数例 6: （2007 南昌）已知二次函数y关于x的一元二次方程X 2x m答案：x-i1，x23；2x 2x m的部分图象如图所示，则0的解为_ .知识点 5、一元二次方程的应用例 7: （2008 河北） 某县为发展教育事业， 加强了对教育经费的投入, 元，预计 2009 年投入 5 000 万元.设教育经费的年平均增长率为2007年投入3 000万x，根据题意，下面所列方程正确的是()2A.3 000(1 x) 5 000C.3 000(1 X%)25 0002B.3 000 x5 000D.3 000(1 x) 3 000(1 x)25000答案：A例& （2008 南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留 1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?答案：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm.根据题意，得（x 2）g2x 4）288.解这个方程，得为10（不合题意，舍去），X214.所以x 14,2x 2 14 28.答：当矩形温室的长为刖侧空地蔬菜种植区域28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m2.19所以1 1x 28,x282 214.答: 当矩形温室的长为 28m,宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m2