完整版高等数学第九章课外习题

与z轴正方向成锐角，则此向量与 y轴正向的夹角余弦为（）第九章习题3y2)sin 丄是(xy1. lim (xxy(A)；(B)1； (C)0；(D)振荡地不存在2. u(A)4yx 1 ; (B)x1；(C)zz -, pyxin y；(d) xVlnyxzyx，则x3.设w f(x,y)g(x) h(x,y)，其中f,g,h均为可微函数，则=() x(A) f ghx；(B) fx g hx；(C) fx ghx；(D) fx g f ghx4.设zf(x,y),xyy，其中f,是可微函数，则虫=(dx(A fx1；(B)fxfy；（c）fx1 y ；(d)fxfy1y1 y1 y5.设zln x22y，则dz | (1,1)=()(A) dx dy ； (B) -(dx dy) ； (C) d： dy ；( )。2x y6若 ez xy z，则一z =()yx(A) xe z ； (B) x 1 e z ； (C) z； (D) 1 eze 17.曲线 xsin2t, y sin t, zcost 在相应于 t的点处一个切线向量4(A)1 ; ( B) 1 ； (C)2 22 ；( D)2&曲面z x2 y2在点（1,2,5）处的切平面方程为（）（A）2x 4y z 11 ；（B） 2x 4y z 5 ； （C） 2x 4y z 15 ；（D） 2x 4y z 52 2uur9函数u 3x y 2y 4x 6z在原点沿OA （2,3,1）的方向导数为（）(A)814 ；（ B）14 ；（ C）86 ；（ D）10设u 2xy z2，则u在点(2,1,1)处的方向导数的最大值为()(A) 2、. 6 ; ( B) 4; ( C) 2、2 ; (D 242X11 若 f (x, y) x ( y 1)arcsin ，贝U fx(2,1) =y12.函数z . 1 In(xy)的定义域为13 .设 z exy ta，则一x y1z14. 设z1，其中f u可导，则二f x -yx15. 设zyx，而y (x)是可导的正值函数，则 dz dx-J 16. 设 ze3x 2y，而 x cost , y t2,贝U =dt17设 z f(u) , u xy 上,f(u)可导，则一xy218.设 u xy，贝U du 伯.已知 u exy xsin(2y 1),则 du 20. 设函数 u (xy)z，贝V du(1,2,1) 21. 设 z f x2 y2,exy，则 dz =22. 已知z z(x, y)是由x y z ez0所确定，则 工=xx23. 设 x x(y, z)由方程 arctan(xez) yez 1 确定，则一 z24. 由方程xyz .x2 y2 z2、2所确定的函数z z x, y在点1,0, 1处的全微分dz 1,0,125设 z32xz y 0 确定了 z z(x, y)，则 dz(0,1, 1 =26.曲线x 2t, y sint,z cos3t在0,0,1处切线的方程为 27 曲线 x et cost yet si nt z 2et在相应于t = 0点处的切线方程228.曲线y2上点1, 1,1处的法平面方程是x29.曲线y y(x)由方程组z z(x)222xyz222xyza6所确定，则此曲线在点4#(2,1,1)处的切线方程为30. 曲面x2 2y2 3z212在点1,2,1处的切平面方程为 31. 曲面z arctan在点P(1,1)处的切平面方程为x432. 曲面X2 2y2 3z221，在点(1, 2,2)处的法线方程为 33. 曲面z ez2xy 3在点1,2,0处的切平面与平面 2x 4y 3z 1的相互关系为34. 已知曲面z 4 x2 y2上的点P处的切平面平行于平面2x 2y z 10,则点P的坐标是35 设(1, 1,2)是曲面z f(x,y)上一点，若fx(1, 1)3，在任一点 (x, y)有xfx(x, y) yfy(x, y) f (x, y)，则曲面在这一点的切平面方程是36. 曲面ax by cz f (x2 y2 z2)在点M(Xo,y,zo)处的法向量是37. u zarctang在点A 1,0,1处沿点A指向点B 3, 2,2方向的方向导数为38. 函数u xyz在点M (5,1,2)处沿点(5,1,2)到点9,4,14的方向的方向导数为39. 设 u In Jx2 y2 z2，贝U grad u 40. u x2 2y2 3z2 xy 4x 2y 4z在点 A(1,2,3)处的梯度是41. 若函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y在点(i ,1)取得极值，贝帰数a x y742.判断点P（1,0）是否函数z x2 xy y2 2x y的极值点1设uzxy ，则(3,2,2)(A) 4l n3 ； (B) 8ln3 ； (C) 3241n3 ； (D) 1621 n32上的对应P点2.若曲线 x t cost , y t 1 , z 1 sint 在 0 t（A）2；（B）；（C）43 ；（ D）arccos处的切线向量与三个坐标轴正向的夹角相等，则P点对应的t值为（）(A) 0;(B) ;(C) 2;(D)223.曲线 x si nt , y cos t , xsi nt cost在对应于t那点处的切线与xoy面的夹角是（）4函数z x3 y3 3x2 3y2的极小值点是（）7.设zf (xy-），其中f可导,xx2z8.设f u,v二阶偏导数连续，z2ex sin y, x y ，求(A) (0,0)；(B) (2,2); (C) (0,2) ; (D) (2,0)5.设 f x, y2x y g x y ,右 f x,0 x，则 f x, y =6.由曲线223x 2y 12绕y轴旋转一周得到的旋转曲面在点z 0（0, J3, J2）处指向外侧的单位法向量为22z9.设z xf (2x,) , f具有二阶连续的偏导数，求 xx y10.设 zf (x y ,xy) , f有二阶连续偏导，求11.已知w f (2x y,xy),2f有二阶连续偏导，求wx y12.,有连续二阶导数，z1 y ax y ax 1y axdt,y ax22证明：一z a2 zxy0.13设 uyf()yxg(丄)，其中f,g二阶连续可导，求x2u2x2u2y14.设 f (u,v)可微，f (x 2y 3z,xyz) 0确定了 z z(x, y)，求二,一zx y15. 设方程F(xy,y 乙xz) 0确定z z(x, y)，其中F可微，求z.x y16. 设(x乙y z) 0确定z z(x, y)，其中(u,v)可微，求一z .x y217. 若ez xy 乙求-z, z-x x y18设由 xyz In yz 2 确定 z f x, y，求 zy 01 , z 0,1 .19. 设z z x, y是由x2 y2 z2 xf(f)确定的隐函数，f可微，求一.20. 设函数z z(x, y)是由ex 2y sin(x z) 0所确定，求dz.21 设z f x, y是由方程z y x xez x y所确定，求d乙22. 设函数z z(x, y)由z f (x y z)所确定，f可导，f 1求dz.X y23. z z(x,y)由z g(,)确定，g(u,v)具有连续偏导数，求dz.z z24. 设u e3xyz,其中z z x, y是由方程2x y 3ez xyz 0所确定的隐函数，求ux 1,1,0 .2x y 3z0，且与三个坐标面所围立体的体积为28.平面AxBy2是曲面z 2x3y2在点6 .1 1 5 (,)处的切平2 2 4x2t25.求曲线ysin t(0 t 2 )平行于平面y z 1的切线方程zcost26.求曲线2 x2yz26 ,在点M。1, 2,1处的切线与法平面方程xyz 027.在第一卦限内求曲面z xy上一点，使过该点的切平面垂直于平面9面，求29.设平面3x2y1与曲面x2z2 xz处的切平面垂直，求30 .设方程xyz2确定了 zz(x, y),求曲面z(x, y)在点 1,0,1处的法线方程.27的切平面，求此31.过直线 10x 2y 2z 27作曲面 3x2 y2 z2x y z 0切平面的方程.32 证明：曲面xyz 1上任一点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体 体积为常数33. 证明：锥面z x2y23的所有切平面都通过锥面的顶点34. 证明：曲面f 乞厘，0的切平面总通过一定点(其中f u,vz c z c可微分，a, b,c均为常数).35. 设M(xo，y,z)是曲面z xf(y)上任一点，试证明在这点处曲面的法x线垂直于向径0M，其中f u,v是可导函数.36. 设曲面方程为z ax f (by cz)(a 0、b、c都是常数)，f (u)可微.证明该曲面的任一切平面都与一常向量A (-, c,b)平行.a37. 设曲面方程为F(z ax, z by) 0, ( a,b为正常数)。F(u,v)具有一阶连续偏导数，且FuFv0。试证通过此曲面上任一点处的法线恒垂直于一常向量A (b,a,ab).uun38. 求函数u ax2 by2 cz2在点1,1,1处沿向量OP方向的方向导数，并说明它是否为该函数在该点处的方向导数的最大值.39. 设 u f (r),r x2 y2 z2，其中 f 可微，求 gradu .40. 在椭球面2x2 2y2 z2 1上求一点，使函数f x, y, zx2 y2 z2在该点沿方向I 1, 1,0的方向导数最大，并求出最大值.41 求函数 f (x, y) e2x(x y22y)的极值.1 2 242. 求a, b的值，使积分I (a bx x ) dx的值最小.043. 分解已知正数a为n个正数之和，使它们的平方和最小.、Xy44设 f (sin ,COS 丄)(1 COSx)(1 cosy)，求 f(x,y)在单位圆内的 2 2最大值和最小值.45求函数z x2 y2在柱面(x . 2)2 (y 2 )2 4上的最大值和 最小值.46.求函数z x2 2y2 3在闭区域x2 y2 2上的最大最小值.47在过点(2,1,1)的所有平面中，哪一个与三坐标面在第一卦限内围成的立 体体积最小？48求椭圆x2 4y2 4上一点，使之到直线2x 3y 6 0的距离最短.49 求内接于椭圆x2 3y2 12且底边平行于长轴，并且有最大面积的等 腰三角形，求出它的最大面积.50求内接于半径为a的半球且有最大体积的长方体.51 在平面z 4x 2y 10与曲面x2 y2125的交线上，求竖坐标取最大值和最小值的点.52.求曲面. X + .、y +、. z =1的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大，并写出切平面方程.C组1 函数 z f x, y有丄x22y，且 f x,x21 .则 f x, y()y(A) 1 x2y y22x4; (B)12 2x y y2x4 ；2 2(C) 1 x yy2 2x4 ; (D)12 2x y y2x4x2y2 xy2 02 设函数f (x, y)42 ,x y则在(0, 0)点处()0 ,x2y2 0(A)连续，偏导数存在；(B)连续，偏导数不存在;(C)不连续，偏导数存在；(D)不连续，偏导数不存在3设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0)3 , fy(0,Q)1 , 则( )(A) dz(0,0) 3dx dy ;(B) 曲面 z f(x, y)在点(0,0, f (0,0)的法向量为(3, 1, 1)；z f (x, y)(C) 曲线在点(0,0, f (0,0)的切向量为(1,0, 3)；y 0(D) 曲线 Zf(x,y)在点(0,0, f(0,0)的切向量为(3, 0, 1).y 04.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续f (x, y) xy2 2 2(x y )1,11则()(A)点(0,0)不是f (x,y)的极值点；(B)点(0,0)是f (x, y)的极大值点；(C)点(0,0)是f (x, y)的极小值点；(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否 为f (x, y)的极值点.f(1,1) 1 ， fx(1,1) 2 ，5.设函数z f (x,y)在点(1,1)处可微，且 fy(1,1) 3，又(x) f(x, f (x, x)，求 a 3(x)dx x 16.设函数f(u)具有二阶连续导数，zf (excos y)满足2z2x2z (4z excosy)e2x，若 f()，f()，求 f (u)的表y达式.y 1)0确定，求7. 已知函数 z z(x, y)由方程(x2 y2)z In z 2(x z z(x, y)的极值8. 已知函数 f (x, y) x y xy，曲线 C : x2y2 xy 3，求 f(x, y)在曲线C上的最大方向导数9. 设z y3 y2 2 xy x21( x y)，试证：当2时,函数Z有一个且仅有一个极值；又若0，则该极值必为极大值.10若函数f(x,y)对任意正实数t满足f (tx, ty) tn f(x,y)，则称f (x, y) 为n次齐次函数设f (x,y)是可微函数，证明f (x, y)为n次齐次函数的充 分必要条件为yS nf (x, y).xyD组1. 已知函数 f (x,y)满足 fxy (x, y) 2(y 1)ex，fx (x,0) (x 1)ex，2f (0, y) y 2y，求 f (x, y)的极值.n n2. 用多种方法证明：n 1, x 0, y 0时成立仝 y(x y)n.2 2第九章习题解答A组1. C，2.C，3.D，4.B，5.A，6.C，7.A，&B，9.B，10.A，11.1，12(x, y) 0 xy e，13.exy sec:2xx 13cost 2t2y ln y xy (x)， 16. e (4t18. y2xy 1dx 2yJ Inxdy, 19. (yey20. 2dx dy 21n 2dz，21. 2xf11 - f x -xexy tang，14.f； x J，15.y3sint)，17. (x ；)f (xy W)，sin(2/ 1)dx x&y 2xcos(孕 1)dy，yexy f2 dx2yf1 xexy f2 dy，22. 吕，23. X y(1 x2e2z), 24. dx dy, 25. ；(2dx dy), 26汀 ，27罕器第,28. 2x y 4z 7 0,29二 岁邙 或2xzy| 5,30.x 4y 3z 12 0,31.x y 2z 20,32. x 1笃琴,33.垂直，34.1,1,2 , 35. 3x y z 0, 36.(a 2亦(运 yf z2),b2yf(x0y0z2), c2z)f(x0y0z；), 37. j , 38. 9 , 39.(x,y,z), 40. (0,11,14) , 41.5 , 42.是.B组1. (C),由-U xy ln x z yz 1 代入.y2. (D),由 1 si nt 1 cost 解.3. (B),切向量(cost, sin2t,cos2t)t ( 1,0,1),与(0,0,1)夹角-,互余角为-.4234.（ B）,代入 ACB236(x 1)(y1）分别检验.5.令 y0 得 g (x)x, f x, y2x y 2y.6.曲面为3x2 2y23z212 0 , n(6x,4y,6z)(0, 3, 2)(0,4 3,6 2),单位化并取“朝上（第三个分量为正）的那个 15 (0 ,2, 3).2z(y P，xy(1y1占)f (y 2)(x)f .xx8.xex sin yf1f2zxxxe cosyfi e sinye cosyf“f12 ex cosyf219. 2 yf2 ,y4yf2i2y3f22 .yf2 , Zxyf24xyfii2 x2y2 f2ixyf2211.先求出-wy2w2wx yy x10. Zx 2xfif 1 xf2,再得2 f11f2 (2x12.zay) fi2xyf22.axaxax2z1 222 xa2yaxay axz1yaxyaxy22z2y12yaxy ax证.13.uyufgg，-fxxyxy ax ay21 a222y ax ay ax ;12y axyax ,12y axy ax ,代入得fg ,y2x1fy2y g3gx2 2u x x x 122 f 2 f 3 f gy y y y x14.4 (xfu yzf z3fu xyf y,(其中u3fu xyfx 2y 3zxyz)15 Fx yFi ZF3, Fy xFi F2,FzF2 XF3,FxfZyR ZF3F2 XF3FZxF| F2F2 XF316.F(x,y,z)(xFxFyFz1.17.18.zy0,12zzye11ez 2x 0,y入等式xz1 xy - zxzz xy - yzx xyx1 z xz y zz x?21xy -z19.令 F x2 y2 z2 xfg)1yzx2x f f2zx.Fz 2z20.（注意本题和题21、22分别用了三种不同解法）设 F (x, y, z)ex 2y sin(x z)， Fx ex 2y sin(x z) ex2ycos(x z)，x 2yFy 2esin(x z)，Fzex 2y cos(x z)，x(1 tan(x z)，z 2ta n(xz)dz(1tan(x z)dx 2ta n(x z)dy.21.zxe22.z x y11 x ez x y?1 xez xxe两边微分得dzf d(xdzz x y1 x ez x yxedx dy .z)即 dz(dx dydz),dxdy.23.解法一：令 F (x, y, z) zgW)z zx-,vz1Fx_gu, Fyz1_gv,z1Fz 12(xguzygv), dz解法二：两边对zguzx 2z (xgu ygv)zgv(xgu ygv)(gudx gvdy).x偏导得z.xguzxzx2zgv孚，解出z两边对x偏导得zyguXZy2zgvz yzy半，解出zJ ，代入z (xgu ygv)dz zxdxzydy.解法三：dz gu d(-) gv zd(f)g24.ux3e3x3xyz e yZx3e zx，3ezZx yz25.切向量Tzdx xdzxyz 0，点(1,1,0)处的边 Zxgvzdy2z2x y 3ez1 故 Ux 1,1,0空，解出dz.xyz 0 得(2,cost, si nt。)，T (0,1,1)，切点为(y)和2z 2(5,丄22， 切线方程为x y2 2z -2 和22 2 22 252T2xyz222 .22 22 226.切线:x 1 y12 z 1 0 1 ，法平面 xz 0 .可用和题23类似的三种方法求解(求三个行列式、二式对x求导、.式求全微分).27.设(xo，yo，xyo)为所求点，切平面的法向量为n (y,x, 1),但n (2,1,3)，得 2yo Xo 3 0 ,切平面方程为 yo(x Xo) Xo(y y)(z xoyo) 0 ,切平面在三坐标轴上的截距为：xo, yo, xo yo，切平面与33，得第一卦限中三坐标面所围立体的体积 V-x曲面上的点为(1,1,1)和(2,1) yo，解 2yo2 xo6x2yo 128解：二x4x,二6y，故法向量为(4x.6y, 1)(2,2,4)(2,3, 1)，于y是，切平面为2(x，故0，即2x 3y z |，因429. n (2xz,2y,2z x)竺密2 2;,2, 2)，2)30.记 F (x, y, z) xyzF-yz xxzyi 22 2 ，xyzxy2( 2, 2, 2)_22(1, 2,1)，所求法线方程为6x2yz得2yz0，从而切点(x0,y,Z0)(3,1,1)或10 2(3,17,17)，切平面为 9x yz 27 0 或 9x17y17z 270.3 2.任取切点(x, y,z)，xyz1，切平面yz(Xx)xz(Y y) xy(Z z) 0,截距为X *3*3x,Y3*3y,Z33z，四面体体积为yzxzxy切平面为从31.设10x 2y 2z270(x y z)V 6X33. zxyr，zyyr，锥面上任一点(x0, y0 ,z0)的切平面方程为xo)y。x0y0(yyo)(z zo) 0，即xx(zo3)(z3)0,顶点0,0,3适合上面方程，故得证.34.切平面的法向量x(z面丄f1 (X x)z cy)y b产f2)，切平 (z c)厂f2(Z z) 0，点 (z c)ac)2(X,Y,Z) (a,b,适合方程，故得证35.法向量为n (f (如)yX)XoyoXouuir1) , OM(Xo,yo,Zo)，uuu VVVn OM xof( 0) yof( 0) yf( 0)XoXo题34的特例，都是空间锥面)36.令 F (x, y, z) ax f (by cz) z n (a, bf， cf 1)， nA b bcf 上任一点处的切平面与常向量A平行.Zo0，即 卩 nuuuOM (注意本题是Xo,任一点处的法bcf向量是所以曲面37.设 G(x, y, z) F (z ax,z by),O,F u,v有一阶连续u111-(2a,2b,2c) (, ,r)gradj 2b.2(a b c)3，该点处方向导数的最大值为39.ufr(r )-f (r)x?xxrurzgraduu . if(r) f (r)，zzrx丄f(r)丄f(r)，y y ru .u1rj k f (r) (x,y,z) f (r).yzrrGzFuFv.曲面法向量 n ( aFu, bFv,Fu Fv),n AabFuabFv ab(FuFv)O,所以nA.(注：本题和题36实为冋一类型，-般地有“曲面:Faxby,cxbz O上任一点处的切平面则aFuGx，Gy都与某常向量平行，其中a, b,c为常数，a2 b2 c2的偏导数.”这是柱面的特征.)38. gradu (2ax,2by,2cz)|(1,1,1) (2a,2b,2c)，4O.设点为P(x,y,z)，gradf (2x,2 y,2z)，当射线方向与梯度方向一致时方2x 2y 2z向导数能取最大值，故T0，得 P(-, -,0),此时2 2 2 2 22x2 2y2 z21gradf (1, 1,0)，最大方向导数gradf 运.f 2x241. e (2x 2y x4y 1)，2xe (2y 2),2fe2x(4x 4y2 8y 4),xf e2x(4y 4), y x2f1.12e2x，得驻点为(丄，1), A 2e 0 , B 0 ,2C2e，1ACb2 1B20，故有极小值f(,1)e2.2 2221d42.I -a ab a ， Ia2ab，I ba -，唯一驻点523a3b2a1为所求.23nnnn43.即求ux2在 xi a下的最小值.令fx2( xi a),i 1i 1i 1i 1na解 fxi0，xia，得 xi , i 1,2, L , n .ii 1n44.令 u.x sin ,v2ycod，则 f (u,v)22 24(1 u )(1 v )，fu0, fv0，得Uv 0，令 F(u,v) 4(1u2)(1v2)(u2v21)FuFv2 2 u v10，得 u v12 所求最大值为f(0,0)4，最小值为f(45.令 F(x,y) x2 y2(x . 2 )2 (y , 2 )24,Fx 2x 2 (x 、2) , Fy2y 2 (yFy 0(y 2)2x y 0 和 x y 2.2 , z(0,0)0, z(2、2, 2 .2)16.所求最大值为16,最小值为0.46.x2x0，二y4y0圆柱内驻点（0,0），z（0,0）3 .令F(x,y,)x22y2 3(x2 y22），求出圆柱边界驻点（0,2）,（2,0），所以zmaxz(2,0)1 ，zminz(0,2)7.111147.解法一：设平面为ax by cz 1，满足2a b c 1, V.6 a b c 即求f (a,b,c) abc在2a b c 1的最小值.令F (a,b,c)abc(2 a b c 1)，解 Fa FbFc2a b c 1 0，得111十,十十,xyza ,b,c，所求平面为1.633633解法二：设所求平面方程为 A(x 2) B(y 1) C(z 1)0，则求出三B，c2A B CC2A B C.原问题即求13Vabc, a b c 1 的最大值.因abc （a山卢，等号当且仅当32A: B:C 1:1:1，所求平面为（x 2）abc1时成立.从而32(y1)2(z1)0,即x 2y 2z 60.48. d(x,y) |2x 3y 6| 6 电旳，令 F(x,y) d(x, y)2 2(x 4y 6)，1 2ABC 2A BC2A B C 记 a2A6AB，记aC2A B C个截距得V023.13，Fy 8 y .13，解23心一13134y2411，故所求最短距离为1 .131313，d（X2，y2）8X1X25，其中x 0，则面积貝S-2x(2y) 2x xy，且2 x3y212，令2Fx2y 2x0F(x,y, z)2xxy(x23y212)，由 Fyx6 y0得x23y212捲 3X20（舍去），由实1际问题知当x 3，y1时,S取最* 1y223y1y25549.等腰三角形关于y轴对称，设其顶点为A(0,2)，B( x,y)，C(x,y)，大值.Smax S(3, 1)9.宽为2a，3.3，50.以球心为坐标原点，半球的底面为 xoy面建立空间直角坐标系.令内接长 方体的长为2y，宽2x，高z，则体积为：V 4xyz，其中x2 y2 z2 a2Fx4yz2x0Fy4xz2y0得唯-驻点（a , a , a ）由实际意义知当长方体Fz4xy2z043 寸3 V32222xyza(x, y,z 0).令 F(x,y, z, ) 4xyz2 2 2 2x y z a ，解方程组的长为2a高为时体积最大.2551.令F(x,y, z,7)z(4x2y z 10)(x2 y2125),解Fx42x0方程组Fy22y0得驻点Fz10R(10,5,60)和 F2( 10, 5,40).故点4x2yz1002 x2y125R(10,5,60)是竖坐标取最大值的点,F2( 10, 5, 40)为最小值点.52.令 F(x,y,z) x y z 1 , Fx21xFy 21y，Fz12“z，设切点为(x, y, z)，则切平面方程为1 (X1 1x) 2y(Y y) 2,z(Z z)X Y Zx y - z1 .切平面在三坐标轴上的截距为:27设 s(x, y,z) . xyz，其中 x 7 z 1 ，令G(x,y,z) xyz (、x yGx2 ,x0Gy严2 ；F得x y0Gz2,z0-x. y、三1 z 1)，解方程组1 、 一z，驻点唯一，且实际上确存在最9大值，故所求点为最大值点切平面方程为：3x 3y 3z 1 .C组1.(A) 由一x2 2y 知 z x2y y2 h(x)，1 z(x,x2) x4 x4 h(x)， y故 h(x) 1 2x4.22(C).极限丿总不存在，而fx(O,O)fy(O,O)0存在.3. (C).偏导存在未必可微，故(A) (B)不对；空间曲线是三个一元函数x x 的参数方程y 0 ，它的切向量为(1,0, fx (0,0)即(1,0, 3).z f (x,0)4. (A).由连续函数的保号性在(0,0)的某邻域上-f 歹 腭 -2(x2y2)22xy 2(x2y2)2f (x,y) xy |(x2 y2)2，在(0,0)的任何更小的邻域11上，f (x,y)都是可正可负.例如取x ，y 可以验证.10105. d 3(x) 3 2(x)(x)3 2(x) f! f2(f! f2)，dxd 3,、3(x)3 1 23 (2 3) 51 .dx x 16. f (ex cosy)ex cosy， f(excosy)exsin y ,xy2兀 f (ex cosy)e xcosy f (excosy)excosy，x2 z2 f (ex cosy)e2xs in2y f (ex cosy)ex cosy. y222 (4z ex cosy)e2x 化为xyf (ex cosy)e2x 4 f (ex cosy) ex cosye2x，从而 f (u) 4f (u) u，这是一个线性非齐次微分方程，对应齐次方程的通解为f(u) C1e2xC2e 2x，#一个特解为 u，故原方程解为f (u) Ge：42xC2e2xu ,4，由 f(0)0，丄(e164u).7.对方程(x2 2:y)zInz2(xy1)2xz(x2y2)-z1z20xzx22z1z2yz(xy )20yzyz 0(舍)或xy1代入原方程呈得f (0)0解得 f(u)xz(x22z 2启xy2)2x =x，令上x2x2xe0(1)两边对x,y分别求导得,口 xz 10 ”0得解得xz 10再求导得2x-z 2 启 yz2z 2y y(x2y2)1对(2) (3)分别z2y- y(x2y2)2z2y(-)(二)2z x1、亠)y x1 z 22)()z y1 2z2z x12zz x y1 2z2z y2z2x2z498.因为f (x, y)沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模AC B20,A 0 ,所以x1为极大值点,极大值为1.gradf(x,y) (1y,1 x)，模为、(1 x)2(1 y)2 令 h (1 x)(1y)2构 造函数 F(x,y, ) (1 x)2 (1 y)2(x2 y2xy 3)2(1x)(2xy)02(1y)(2yx)0得到MXhl),M?( 1,1) , M 3(2, 1), M(1,2),x2 y2 xy 3因h(MJ 8 , h(M2)0 , MM3)9 , h(M4)9，所以方向导数最大值为.92 19. Zy 3y 2 y 2 x, zx 2 y 2 x，令 zx 0,Zy 0 ,消去 x得 3 y2 2(2)y 0，解得：y 0 或 y (2),3Zxx2,Zxy2,Zyy6y 2 ，当 y 0时，ACB24(2),当y 时，AC B2 4(2).在r2的条件下，以上二式中必有且仅有一式大于零，这说明函数Z有且仅有一个极值.因为A 2 ，当0时，此极值必为极大值.10. 必要性.f(tx,ty) tnf(x,y)的两端对 t 求导，有 xf1(tx,ty) yf2(tx,ty)ntn 1 f (x,y)，令 t 1 即为 x f(x,y) y f(x, y) nf(x,y). xy充分性.即要证 t n f (tx,ty) f (x,y)，记 g(t) t n f (tx,ty)，则有g (t) nt n 1f (tx,ty) t nxfdtx,ty)yf2(tx,ty)t n 1txf!(tx,ty) tyf2(tx,ty) nf (tx,ty) 0.从而 g(t) g(1) f (x, y)，即 f (tx,ty) tnf (x,y).1. 由 fxy(x,y) 2(y 1)ex得fx(x, y) (y 1)2ex(x)2X2f (x,y) (y 1)2ex (t)dt C，由 f(O,y) y2 2y 得再由fxx (y，C1，即 f (x, y)2 x(y 1) e0 (t)dt 1，1)ex 得ex(x) (x1)ex，得(x) xex ，x ttddt01 (y 1)2ex(x 1)exxcxe 0解得x 0, y1，x 0(x 1)ex， fxy 2(y1)ex，f yy2ex得再由 fx (x,0) (x故(y 1)2 c y2 2y2 x1) ef(x,y) (y 1)2ex(y 1)2exy 2(y 1)e31A 10,B0,C2. AC B20 ,所以点(0, 1)为极小值点，极小值为 f(0, 1)1.nn2.证法一：(条件极值)令x y a，则问题转化为求函数-一匕在条件2x y a下的极值.由拉格朗日函数L(x,y,)(x y a)，a解得x y 2为唯一驻点.由于所求最小值一定存在，因此，这个驻点必是n n最小值点于是-一/(a)n2 2证法二：(用函数的单调性)令t -，问题成为：证明对任何t 0，xf(t)1 tn0.事实上，易知f (t)n ,n 1 t2因此，f(t)是单调递增，从而f(t) f(0)0.证法三：(用曲线的凸性)设g(x) xn，则显然g(x)是0,)上的凸函数,nn从而满足 g(Xyy) 2 g(x) g(y)，即 X 2证法四：(数学归纳法)显然当n 1,2时不等式成立假设当n k时不等式已证，则当n k 1时，注意到(x y)(xk yk)0，就有1-.从而不等式对一切自然数成立