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第六节对数与对数函数第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用考考 纲纲 要要 求求1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用的作用2理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点数图象通过的特殊点3知道对数函数是重要的函数模型知道对数函数是重要的函数模型4了解指数函数了解指数函数yax与对数函数与对数函数ylogax互为反函数互为反函数(a0，a1)课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、对数一、对数 1对数定义：如果对数定义：如果abN(a0，a1)，那么幂指数，那么幂指数b叫做以叫做以a为底为底N的对数，记作的对数，记作logaNb.其中其中a叫做底数，叫做底数，N 叫做真数叫做真数2指数式与对数式的互化：指数式与对数式的互化：abNlogaNb.3对数的运算法则对数的运算法则如果如果a0，a1，M0，N0，有，有(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)loga logaMlogaN；(3)logaMnnlogaM.MN5常用对数与自然对数：以常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用对为底的对数，叫做常用对数数log10 x记作记作lg x；以无理数；以无理数e为底的对数叫做自然对数，为底的对数叫做自然对数，logex记作记作ln x，其中，其中e2.718.二、对数函数的定义、图象与性质二、对数函数的定义、图象与性质1定义：形如定义：形如ylogax(a0且且a1)的函数叫做对数函的函数叫做对数函数其中数其中x是自变量，其定义域是是自变量，其定义域是(0，)，值域是，值域是(，)2对数函数的图象和性质，可以归纳于下表：对数函数的图象和性质，可以归纳于下表：名称名称对数函数对数函数函数式函数式ylogax (a0且且a1)底数底数a的分类的分类a10a1，则，则y0；若；若x1，则，则y0；若；若0 x1，则，则y1，则，则y0；若；若x1，则，则y0；若；若0 x0基础自测基础自测1(2012安徽卷安徽卷)log29log34()A. B. C2 D41412A ，1)(1， B( ，1)(1， )C2，1)(1,2D(2，1)(1,2)2222解析：解析：log (x21)0,0 x211,1x22， x1或或10时，时，f(x)log2x，则满足不等式，则满足不等式f(x)0的的x的取值范围是的取值范围是_(1,0)(1，)4(2011四川卷四川卷)计算：计算： _.1210012考考 点点 探探 究究考点一考点一对数运算对数运算【例【例1】计算：计算：(lg 2)2lg 2lg 50lg 25；(2)(log32log92)(log43log83)； 点评点评：这是一组很基本的对数运算的训练题，虽然在考：这是一组很基本的对数运算的训练题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧习数式变换的各种技巧变式探究变式探究1(2012杭州西湖高级中学测试杭州西湖高级中学测试)化简：化简：log3 lg 252lg 2eln 2_.考点二考点二对数恒等式、换底公式的应用对数恒等式、换底公式的应用【例【例2】计算：计算：(1)log89log2732；(2)(log2125log425log85)(log52log254log1258)变式探究变式探究考点三考点三对数函数的图象特征、单调性的运用对数函数的图象特征、单调性的运用【例【例3】设设alog54，b 2，clog45，则，则a，b，c的大小关系是的大小关系是()AacbBbcaCabc Dba0时都是增函数，时都是增函数，所以所以0log53log541，又因为，又因为0(log53)2log531，所，所以以bac.故选故选D.答案：答案：D点评：点评：比较对数值的大小时，通常利用比较对数值的大小时，通常利用0,1进行，本题也可进行，本题也可以利用对数函数的图象来进行比较以利用对数函数的图象来进行比较5log 3变式探究变式探究3(2012英德一中模拟英德一中模拟)设设alog23，blog43，c0.5，则，则()Acba BbcaCbac Dcabc.故选故选A.答案：答案：A12考点四考点四求与对数函数有关的函数的定义域、值域求与对数函数有关的函数的定义域、值域【例【例4】求函数求函数ylog (1x)(x3)的定义域与值域的定义域与值域思路点拨思路点拨：这是与对数函数有关的复合函数，可以利用对数：这是与对数函数有关的复合函数，可以利用对数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，由对数函数的定义函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，由对数函数的定义域可得关于域可得关于x的不等式，对于求形式较为复杂的函数的值域则可的不等式，对于求形式较为复杂的函数的值域则可以考虑利用换元法以考虑利用换元法解析：解析：由由(1x)(x3)0得得(x1)(x3)0，即即3x1，所以所以ylog (1x)(x3)的定义域是的定义域是x|3x1设设t(1x)(x3)x22x3(x1)24，由由3x1，得，得 00且且x1.故选故选D. (2)若要函数的值域为若要函数的值域为R，则其真数，则其真数f(x)x23kxk25必必需取到所有正实数，故该二次三项式的判别式需取到所有正实数，故该二次三项式的判别式9k24(k25)0，即，即k24，解得，解得k2或或k2.xx221log考点五考点五利用对数函数的单调性解决对数方程、不等式问题利用对数函数的单调性解决对数方程、不等式问题【例【例5】解答下列问题：解答下列问题：(1)(2011锦州市一模锦州市一模)设设0a1，函数，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使，则使f(x)0的的x的取值范围是的取值范围是()A(，0) B(0，)C(，loga3) D(loga3，)(2)方程方程log4(3x1)log4(x1)log4(3x)的根是的根是_思路点拨：思路点拨：(1)将不等式两边化为同底的对数，再利用对数将不等式两边化为同底的对数，再利用对数的单调性去解；的单调性去解；(2)对数方程去掉对数符号，转化为整式方程求对数方程去掉对数符号，转化为整式方程求解，但要注意检验解，但要注意检验解析：解析： (1)f(x)0loga(a2x2ax2)0loga(a2x2ax2)loga1，因为，因为0a1，即，即(ax)22ax14(ax1)24ax12或或ax13或或ax1(舍舍去去)，因此，因此x0.(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求所有实数求所有实数a，使，使e1f(x)e2对对x1，e恒成立恒成立(注：注：e为自然对数的底数为自然对数的底数)变式探究变式探究6已知已知f(x)logax，g(x)2loga(2xt2)(a0，a1，tR)(1)当当t4，x1,2，且，且F(x)g(x)f(x)有最小值有最小值2时，求时，求a的值；的值；(2)当当0a0且且a1，真数，真数N0.3对于对数运算，要注意避免出现下列的错误：对于对数运算，要注意避免出现下列的错误：(1)logaxylogaxlogay；(2)loga(xy)logaxlogay；(3)loga 等等4对数函数值也受到底数对数函数值也受到底数a大小变化的影响，因此解题时大小变化的影响，因此解题时常对底数常对底数a按按0a1进行分类讨论进行分类讨论5对数值的大小比较：对数值的大小比较：(1)化同底后利用函数的单调性；化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；作差或作商法；(3)利用中间量利用中间量(0或或1)；(4)化同真数后利用图象比化同真数后利用图象比较较.xyaalog xlog y感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012大纲全国卷大纲全国卷)已知已知xln ，ylog52，ze ，则，则()Axyz BzxyCzyx Dyz0，解得，解得a3(a2舍去舍去)， a 3 3 .答案：答案：2cos32cos32cos318182(2012淮安市模拟淮安市模拟) 已知函数已知函数f(x)loga(x1)(a1)，若函数，若函数yg(x)图象上任意一点图象上任意一点P关于原点对称点关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数的轨迹恰好是函数f(x)的图象的图象(1)写出函数写出函数g(x)的解析式；的解析式；(2)当当x0,1)时，总有时，总有f(x)g(x)m成立，求成立，求m的取值范围的取值范围解析：解析：(1)设设P(x，y)为为g(x)图象上任意一点，图象上任意一点，则则Q(x，y)是点是点P关于原点的对称点，关于原点的对称点，Q(x，y)在在f(x)的图象上，的图象上，yloga(x1)，即即yg(x)loga(1x)(a1)(2)f(x)g(x)m，即，即loga m.设设F(x)loga ，x0,1)，由题意知，只要由题意知，只要F(x)minm即可即可F(x)在在0,1)上是增函数，上是增函数，F(x)minF(0)0.m0即为所求即为所求xx11xx11
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