大学物理：光的衍射

一、光的衍射现象及其分类一、光的衍射现象及其分类光的衍射光的衍射 缝较大时，光是直线传播的缝较大时，光是直线传播的缝很小时，衍射现象明显缝很小时，衍射现象明显阴阴影影屏幕屏幕屏幕屏幕 光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进，这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。前进，这种偏离直线传播的现象称为光的衍射现象。1.1.光的衍射现象光的衍射现象衍射现象2.2.衍射的分类衍射的分类 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 夫琅和费衍射夫琅和费衍射 光源和显示屏离光源和显示屏离障碍物的距离为有障碍物的距离为有限远。限远。 光源和显示屏光源和显示屏离障碍物的距离离障碍物的距离为无限远。为无限远。光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏SBAES光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏BAES二二 惠更斯惠更斯 菲涅尔原理菲涅尔原理dSredS：波阵面上面元：波阵面上面元 ( (子波波源子波波源) )惠更斯惠更斯 菲涅尔指出菲涅尔指出自点光源发出的波阵面自点光源发出的波阵面S上每上每一面元都可视为一新的点光源，由它发出次级波（又称一面元都可视为一新的点光源，由它发出次级波（又称子波）。子波）。从同一波阵面上各点从同一波阵面上各点( (面元）所发出的子波，经面元）所发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，相互叠加，发生干涉。传播而在空间某点相遇时，相互叠加，发生干涉。： 时刻波阵面时刻波阵面 tS*Po( )cos 2KtrECdsrTP点处的光矢量大小取决于波阵面点处的光矢量大小取决于波阵面S上所有面元发出上所有面元发出的子波在该点的相干叠加，其表达式为为的子波在该点的相干叠加，其表达式为为应用惠更斯应用惠更斯-菲涅尔原理理论上可以计算各个点处的菲涅尔原理理论上可以计算各个点处的衍射强度，一般情况下使用上式积分计算极其复杂。衍射强度，一般情况下使用上式积分计算极其复杂。处理实际问题时，通常使用菲涅尔半波带法。处理实际问题时，通常使用菲涅尔半波带法。单缝衍射实验装置单缝衍射实验装置三、三、 夫琅和费单缝衍射夫琅和费单缝衍射222 2asin 菲涅耳半波带法：菲涅耳半波带法： 作若干作若干垂直于垂直于 束光、间距为入射光束光、间距为入射光波长一半的平行平面，如图所波长一半的平行平面，如图所示，这些平行平面把缝处的波示，这些平行平面把缝处的波阵面阵面AB 分成面积相等的若干分成面积相等的若干个带，称为个带，称为菲涅耳半波带。菲涅耳半波带。ABC衍射角：衍射角：由于衍射光的方向由于衍射光的方向各异，设某衍射光与透镜的主各异，设某衍射光与透镜的主光轴的夹角为光轴的夹角为 ，称该衍射光，称该衍射光的的衍射角衍射角。将衍射光按将衍射光按 分组研究：分组研究：a 亮纹亮纹23 sinaAC两相邻波带上任何两个对应点发出的光在两相邻波带上任何两个对应点发出的光在P 点的光程点的光程差总是差总是 /2/2 ，相位差总是，相位差总是 ，它们相互干涉抵消，它们相互干涉抵消 。B2ACaxfP 暗纹暗纹24 sinaAC.C.ABaxf2.P. 结论结论：分成偶数个半波带时为暗纹。：分成偶数个半波带时为暗纹。 分成奇数个半波带时为明纹。分成奇数个半波带时为明纹。sin(1,2,)sin(21)(1,2,)2akkakk 暗纹明纹sin0a中央明纹B2ACaxfP 条纹特点：条纹特点：(1)(1)以中央明纹为中心，对称分布的明暗相间的平行直以中央明纹为中心，对称分布的明暗相间的平行直条纹，中央明纹宽度为其它明纹宽度的两倍。条纹，中央明纹宽度为其它明纹宽度的两倍。(2)(2)中央明纹集中了透过狭缝的绝大部分能量，各级明中央明纹集中了透过狭缝的绝大部分能量，各级明纹亮度随级数增大而减小。纹亮度随级数增大而减小。 (1)(1)光强分布光强分布 当当 角增加时，半波带数目增加，每个半波带角增加时，半波带数目增加，每个半波带的面积减小，所占的能量减少，即光强变小。的面积减小，所占的能量减少，即光强变小。当当 角角增加时光强的极增加时光强的极大值为什么迅速衰减？大值为什么迅速衰减？Ia25 a23 a25 a23 0 sin 中央明纹两侧第一级中央明纹两侧第一级暗纹之间的区域，称做暗纹之间的区域，称做零级（或中央）明条纹零级（或中央）明条纹宽度宽度(2)(2)中央明纹宽度中央明纹宽度a Ia25 a23 a25 a23 0 sina 条纹宽度：条纹宽度：所测条纹的相邻两条纹位置中心间的所测条纹的相邻两条纹位置中心间的距离，定义为该条纹的距离，定义为该条纹的线宽度线宽度；这两条相邻条纹衍；这两条相邻条纹衍射角的差，定义为该条纹的射角的差，定义为该条纹的角宽度角宽度( (张角张角) )。ax1f 0 x),k( 2111(), ()fxaa一 级 暗 纹 坐 标一 级 暗 纹 角 度)(afxx中中央央明明纹纹的的线线宽宽度度 2210 )(a中中央央明明纹纹的的角角宽宽度度 2210 atgasina fxa暗暗纹纹 k 明明纹纹212 )k( (3)(3) 其它衍射条纹的线宽度其它衍射条纹的线宽度条纹在屏上的位置条纹在屏上的位置:af)k(xk212 afkxk 暗纹中心暗纹中心明纹中心明纹中心),k( 21即其它各级明纹的宽度为中央明纹宽度的即其它各级明纹的宽度为中央明纹宽度的一半；一半；各级暗纹也如此；角宽度也有此规律。各级暗纹也如此；角宽度也有此规律。afkxk af)k(xk 11 afxxxkkk 1求求k 级明纹宽度级明纹宽度: 条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明纹，其两侧各级都为彩色光做光源，中央为白色明纹，其两侧各级都为彩色明纹。该衍射图样称为明纹。该衍射图样称为衍射光谱衍射光谱。a/f)k(x212 明纹中心明纹中心afxk 例题2例例1 单色光垂直照射宽度为单色光垂直照射宽度为a = 2.010-4 m 的单缝，的单缝，缝后放置一焦距为缝后放置一焦距为f = 0.40 m 的透镜，如果测得光屏的透镜，如果测得光屏上第三级明纹的位置上第三级明纹的位置x = 4.2 10-3 m ，求波长。，求波长。解：解：m.fxa)k(fxa710367227212 双重因素四四 光栅衍射光栅衍射2.2.光栅分两类：光栅分两类：用于透射光衍射的用于透射光衍射的透射光栅透射光栅; ;用于反射用于反射光衍射的光衍射的反射光栅反射光栅。 在一平面玻璃上等间距刻上等宽在一平面玻璃上等间距刻上等宽的刻痕的刻痕, ,制成的光栅叫制成的光栅叫平面光栅平面光栅。（一）（一） 光栅光栅 光栅常数光栅常数1.1.定义：定义：平行排列在一起的许多等间距、等宽度平行排列在一起的许多等间距、等宽度的狭缝组成的光学元件叫的狭缝组成的光学元件叫光栅光栅。 若干平行的狭缝所分割的波阵面具有相同的面积。各狭缝上若干平行的狭缝所分割的波阵面具有相同的面积。各狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件。的子波波源一一对应，且满足相干条件。相邻狭缝对应点在衍射角相邻狭缝对应点在衍射角 方向上的光程差满足：方向上的光程差满足：(a+b)sin = k k= 0, 1, 2, 3 则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，条纹就越则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，条纹就越明亮。明亮。上式称为光栅方程上式称为光栅方程。（二）光栅衍射分析（二）光栅衍射分析 abxf0屏屏 ab+ ()absin +相邻两缝光相邻两缝光线的光程差线的光程差多缝干涉明条纹也称为多缝干涉明条纹也称为主极大明纹。主极大明纹。1 光栅衍射条纹是以中央明纹为中心，两侧对称光栅衍射条纹是以中央明纹为中心，两侧对称分布的直条纹。分布的直条纹。2 2 光栅明纹亮度高，当光栅明纹亮度高，当N很大时，明条纹之间为很大时，明条纹之间为一暗区一暗区讨论：2sin2sin0NAA0AA0AR2N多缝干涉明条纹也称为多缝干涉明条纹也称为主极大明纹。主极大明纹。1 光栅衍射条纹是以中央明纹为中心，两侧对称光栅衍射条纹是以中央明纹为中心，两侧对称分布的直条纹。分布的直条纹。2 2 光栅明纹亮度高，当光栅明纹亮度高，当N很大时，明条纹之间为很大时，明条纹之间为一暗区一暗区讨论：（1）若（N个矢量同方向）2k2, 1, 0k0NAA 0A0A0A0A0A0A（2）若kN2,3 ,2 , 2, 1NNNkk但（N个矢量构成一闭合图形）0A主极大主极大极小极小即在两个主极大之间即在两个主极大之间有有N-1个极小个极小（3）在N-1个极小之间必有有N-2个次级大N(a+b)sin = k 多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大光强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大主极大缺级。缺级。kasindkaksinadkk2ad23ad6, 4, 2k9, 6, 3k缺级条件缺级条件如如缺级缺级缺级缺级, 3 , 2 , 1 kkdsin3.缺级条件分析4.4.光栅衍射图样光栅衍射图样 因此，光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝因此，光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布限制的结果。衍射光强分布限制的结果。多缝干涉多缝干涉I单单缝衍射缝衍射光栅衍射光栅衍射光栅光谱 对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大对同级明纹，波长较长的光波衍射角较大。 白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。白光或复色光入射，高级次光谱会相互重叠。例例 1 光栅在光栅在2.54cm 中有中有15000 条缝，测得第一级明条缝，测得第一级明纹的衍射角为纹的衍射角为 =1340 。 (1) 求光波波长；求光波波长；(2) 最最多能看到第几级条纹。多能看到第几级条纹。解：解：424422 .sin)ba(k)(maxmaxmax m.sin)ba(.ba)(721099315000105421 )ba(kmax 例题例题2 2 光栅每厘米光栅每厘米30003000条，条，且且 ，以，以 垂直入射，垂直入射，求能观测得多少条纹求能观测得多少条纹banm546 ()sinabk2 , 1 , 0k解：解：2 k6.2abk当当 ， 最大，最大，但但 即即 有缺级存在有缺级存在ab2abakk 26, 4, 2 k即即 ， 缺级缺级能观测到能观测到7 7条明纹条明纹(-5,-3,-1,0,1,3,5)(-5,-3,-1,0,1,3,5)6 k理论上有理论上有1313条明条条明条取取例例 3 由紫光由紫光1 = 400nm 和红光和红光2 = 750nm 组成的平组成的平行光垂直照射在光栅上，光栅常数为行光垂直照射在光栅上，光栅常数为 0.001cm ，透，透镜焦距为镜焦距为2.0m ，试计算，试计算: (1) 第二级光谱中紫光与第二级光谱中紫光与红光间的距离；红光间的距离；(2) 第二级紫光与第三级紫光间的第二级紫光与第三级紫光间的距离。距离。解：解：级级光光谱谱有有部部分分重重叠叠。说说明明第第二二级级光光谱谱与与第第三三,xx kfx)ba( 由由m.)(bafxxx)(1402122 紫紫红红紫紫红红 m.)(bafxxx)(08023223 紫紫紫紫紫紫 补充补充：X射线在晶体中的衍射射线在晶体中的衍射 X 射线射线1895年德国的伦琴发现年德国的伦琴发现X射线。射线。原子内壳层电子跃原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射迁产生的一种辐射和高速电子和高速电子在靶上骤然减速时在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为伴随的辐射，称为X 射线。射线。(W.C.Rontgen , 18451923)其特点是：其特点是：# 在电磁场中不发生偏转。在电磁场中不发生偏转。# 穿透力强穿透力强# 波长较短的电磁波，波长较短的电磁波， 范围在范围在0.001nm10nm之间。之间。 X 射线晶体衍射射线晶体衍射 天然晶体可以看作是光栅常量天然晶体可以看作是光栅常量很小的空间三维衍射光栅很小的空间三维衍射光栅。BCP铅版铅版天然天然晶体晶体乳胶板乳胶板乳胶板上在形成对称分布的乳胶板上在形成对称分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑。若干衍射斑点，称为劳厄斑。1912年劳厄的实验装置，如图：年劳厄的实验装置，如图：1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究研究X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。 布喇格公式布喇格公式123dX射线以掠射角射线以掠射角射射到一组晶面上，晶到一组晶面上，晶面间距为面间距为d，来自不，来自不同晶面的同晶面的“反射线反射线”为为1和和2。它们的光。它们的光程差为：程差为：kdsin2 当当 时各层面上的反射光相干加强，时各层面上的反射光相干加强， 形成亮点，为形成亮点，为 k 级干涉主极大。该式称级干涉主极大。该式称布喇格公式布喇格公式。因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各各不相同所以，不相同所以，劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。ABCD12, 3 , 2 , 1,sin2kdBDBC威廉威廉 .亨利亨利 . 布拉格（父）布拉格（父）威廉威廉 . 劳伦斯劳伦斯 . 布拉格（子）布拉格（子）1862 19421890 1971圆孔爱里五五 圆孔衍射圆孔衍射 光学仪器的分辨率光学仪器的分辨率D/.R/.sin 22161011 中央是个明亮的圆斑，称中央是个明亮的圆斑，称为为爱里斑爱里斑, ,外围是一组明暗相外围是一组明暗相间的同心圆环。间的同心圆环。爱里斑集中了衍射光能的爱里斑集中了衍射光能的83.583.5 . .D/f.fftgr 221110 式中式中D=2R 为圆孔的直径，若为圆孔的直径，若f 为透镜为透镜L2 2的焦距，则的焦距，则爱里斑的爱里斑的半径半径为：为： 平行单色光垂直平行单色光垂直入射圆孔，从圆孔发入射圆孔，从圆孔发出的衍射光经透镜会出的衍射光经透镜会聚在屏上得到衍射条聚在屏上得到衍射条纹。纹。S1L光源光源R障碍物障碍物E接收屏接收屏2Lf1第一级暗环对应的衍射角第一级暗环对应的衍射角 1 称为称为爱里斑的半角宽爱里斑的半角宽，理论计算得：，理论计算得：（一一）、）、圆孔衍射圆孔衍射 点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，所成的像不是一个点，而是一个明暗相的影响，所成的像不是一个点，而是一个明暗相间的衍射图样，间的衍射图样，中央为中央为爱里斑爱里斑。s1s2D*爱里斑爱里斑瑞利判据瑞利判据：当一个点光源的衍射图样的中央最亮处当一个点光源的衍射图样的中央最亮处刚好与另一个点光源的衍射图样的第一级暗纹相重刚好与另一个点光源的衍射图样的第一级暗纹相重合时，这两个点光源恰好能被分辨。合时，这两个点光源恰好能被分辨。能能分分辨辨不不能能分分辨辨恰恰能能分分辨辨1最小分辨角为：最小分辨角为：在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度 1 ，称为称为最小分辨角最小分辨角。该角实际为爱里斑的半角宽度。该角实际为爱里斑的半角宽度。 *s2s1D1111 22.D最小分辨角的最小分辨角的倒数倒数称为光学仪器的称为光学仪器的分辨率分辨率: :111 22.D光学仪器的光学仪器的透光孔径透光孔径例例1 1 在通常情况下，人眼瞳孔的直径约为在通常情况下，人眼瞳孔的直径约为3.0mm，问人眼的最小分辨角多大？如果纱窗上相邻两根细问人眼的最小分辨角多大？如果纱窗上相邻两根细丝之间的距离为丝之间的距离为2.0mm，问人离开纱窗多远处恰能，问人离开纱窗多远处恰能分辨清楚？设光波波长为分辨清楚？设光波波长为 = 550nm。解：解：人眼的最小分辨角为：人眼的最小分辨角为：41 222 2 100 8.radD设人离开纱窗的距离为设人离开纱窗的距离为x ,纱窗上纱窗上相邻两根细丝之间的距离为相邻两根细丝之间的距离为L ,当当恰能分辨时：恰能分辨时：9 1 .LxtgxLxmxL 如果用望远镜观察到在视场中靠得很近的四颗星星能被分辨。 若将该望远镜的物镜孔径限制得更小，则可能分辨不出这是四颗星星。01 . 0 1990 年发射的年发射的哈勃哈勃太空望远镜的凹面物镜太空望远镜的凹面物镜的直径为的直径为2.4m ，最小分最小分辨角辨角 ，在大气层，在大气层外外 615km 高空绕地运行高空绕地运行 , 可观察可观察130亿光年远的太亿光年远的太空深处空深处, 发现了发现了500 亿个亿个星系星系 . 六六 显微镜的分辨率显微镜的分辨率鉴别距离鉴别距离：显微镜能分辨的最小距离，用：显微镜能分辨的最小距离，用Z表示。表示。显微镜的鉴别距离显微镜的鉴别距离越小，分辨率越高。越小，分辨率越高。孔径角孔径角：如图所示，：如图所示， 由标本上一点发出的进入物由标本上一点发出的进入物镜最边缘光线镜最边缘光线L和进入物镜中心光线和进入物镜中心光线OA之间的夹角之间的夹角 称为孔径角。称为孔径角。数值孔径数值孔径：令：令NA = = nsin , 叫物镜的数值孔径。叫物镜的数值孔径。0.61sinZn LLAO数值孔径与数值孔径与显微镜的分辨显微镜的分辨率有密切关系，率有密切关系， 越短，越短，N A越大，越大，分辨率越高。分辨率越高。如紫外光显微镜，电子显微镜。如紫外光显微镜，电子显微镜。提高显微镜分辨率的方法：提高显微镜分辨率的方法：（1 1）增大物镜的数值孔径）增大物镜的数值孔径 在物镜和盖玻片之间充以在物镜和盖玻片之间充以n 较大的油，较大的油，如香柏油如香柏油n =1.52,=1.52,不仅使不仅使n 增大，而且孔径增大，而且孔径角角 也增大。也增大。（2 2）用短波长的光照射）用短波长的光照射 LLAO0.61sinZn