I求二面角的余弦值

高考题中的翻折试题（20）（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF. （I）求二面角的余弦值； （II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与重合，求线段FM的长.解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故， ，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设,因为翻折后，与重合，所以，而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。（2012年高考（湖北理）如图1,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将折起,使(如图2所示). ()当的长为多少时,三棱锥的体积最大;()当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.DABCACDB图2图1ME.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析: ()解法1:在如图1所示的中,设,则. 由,知,为等腰直角三角形,所以. 由折起前知,折起后(如图2),且, 所以平面.又,所以.于是 , 当且仅当,即时,等号成立, 故当,即时, 三棱锥的体积最大. 解法2: 同解法1,得. 令,由,且,解得. 当时,;当时,. 所以当时,取得最大值. 故当时, 三棱锥的体积最大. ()解法1:以为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系. 由()知,当三棱锥的体积最大时,. 于是可得, 且. 设,则. 因为等价于,即 ,故,. 所以当(即是的靠近点的一个四等分点)时,. 21世纪教育网设平面的一个法向量为,由 及, 得 可取. 设与平面所成角的大小为,则由,可得 ,即. 故与平面所成角的大小为 解法2:由()知,当三棱锥的体积最大时,. 如图b,取的中点,连结,则. 由()知平面,所以平面. 如图c,延长至P点使得,连,则四边形为正方形, 所以. 取的中点,连结,又为的中点,则, 所以. 因为平面,又面,所以. 又,所以面. 又面,所以. 因为当且仅当,而点F是唯一的,所以点是唯一的. 即当(即是的靠近点的一个四等分点),. 连接,由计算得, 所以与是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图d所示,取的中点,连接, 则平面.在平面中,过点作于, 则平面.故是与平面所成的角. 在中,易得,所以是正三角形, 故,即与平面所成角的大小为 （2012年高考（北京理）如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2. (1)求证:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大. 解:(1), 平面, 又平面, 又, 平面 (2)如图建系,则, , 设平面法向量为,则 又 与平面所成角的大小 (3)设线段上存在点,设点坐标为,则则, 设平面法向量为,则 假设平面与平面垂直,则, 不存在线段上存在点,使平面与平面垂直 （2012年高考（安徽理）平面图形如图4所示,其中是矩形,.现将该平面图形分别沿和折叠,使与所在平面都与平面垂直,再分别连接,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.()证明:; ()求的长;()求二面角的余弦值. 【解析】(I)取的中点为点,连接 则,面面面 同理:面 得:共面 又面 ()延长到,使 得: ,面面面面 ()是二面角的平面角 在中, 在中, 得:二面角的余弦值为. （2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（）解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。（2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形中，。为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点。（）求证：平面；（）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值。解析：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。 ()证明：取AD的中点G，连结GF，CE，由条件易知FGCD，FG=CD.BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BFEG因为平面，BF平面所以 BF/平面（）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,连CE因为在BCE中，可得CE=a,在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD,可知AM平面BCD,AMCE.取AE的中点N，连线NM、NF，所以NFDE,NFAM.因为DE交AM于M,所以NF平面ADE,则FMN为直线FM与平面ADE新成角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,则cos=.所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.29.（2009宁夏海南卷文） 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （A） （B） （C）三棱锥的体积为定值 （D）【答案】D【解析】可证故A正确，由平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D.2.（2009浙江卷理）如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 . 7.（2009安徽卷理）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。 相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。解析32.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，