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第九章解第九章解 析析 几几 何何第第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系课时直线与圆、圆与圆的位置关系 1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3初步了解用代数方法处理几何问题的思想 请注意 直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长 1直线与圆的位置关系 (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr 相交相切相离 2求直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算 |C1C2|_r1r2C1与C2相离； |C1C2|_r1r2C1与C2外切； |r1r2|_|C1C2|0)上，则以P为切点的切线方程为 .x0 xy0yr2 1(2015衡水调研卷)若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)与圆x2y21的关系为() A在圆上B在圆外 C在圆内 D以上都有可能 答案B 答案D 3两圆x2y22y0与x2y240的位置关系是() A相交 B内切 C外切 D内含 答案B 解析两圆方程可化为x2(y1)21，x2y24.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r11，r22. |O1O2|1r2r1. 4若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m() A21 B19 C9 D11 答案C 5直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_ 例1m为何值时，直线2xym0与圆x2y25. (1)无公共点； (2)截得的弦长为2； (3)交点处两条半径互相垂直 【思路】(1)无公共点即相离，用圆心到直线的距离dr判断； (2)充分利用直角三角形； (3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形题型一题型一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 (2)如图，由平面几何垂径定理知 (3)如图，由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形 探究1(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系 (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法 (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1k21.(1)若点M(a，b)是圆x2y2r2内异于圆心的一点，则直线axbyr2与圆的交点个数为() A0B1 C2 D需要讨论确定思考题思考题1【答案】A 【答案】D 例2过点P(1，3)作圆C：(x4)2(y2)29的两条切线，切点分别为A，B，求： (1)切线方程； (2)直线AB的方程； (3)线段AB的长度题型二题型二 直线与圆的相切问题直线与圆的相切问题 探究2(1)过圆外一点的圆的切线方程一定有两条，一定不要出现遗漏现象特别是当求出的斜率只有一个，结合图形知识，当斜率不存在时，不在题设的范围之内，但其也满足条件，也是圆的一条切线 (2)本题的难点在于建立切线长与圆的半径、点P到圆心的距离之间的关系，解决此类问题应画出草图，根据平面几何中圆的有关性质进行求解方法一体现了解析几何的基本方法坐标法，将问题转化为函数的最值求解；方法二体现了平面几何中有关结论和定理的应用，更为简捷(1)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()思考题思考题2【答案】C (2)从直线l：xy1上一点P向圆C：x2y24x4y70引切线，则切线长的最小值为_ 【思路】根据圆的切线长、半径、点P到圆心的连线构成直角三角形表示出切线长，可以设出点的坐标，将其转化为函数的最值求解；也可根据平面几何的知识将其转化为圆心到直线上的点的距离的最小值，直接求解 【思路】(1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系题型三题型三 弦长、中点问题弦长、中点问题 【答案】(1)3x4y200或x0(2)x2y22x11y300 探究3在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)若OAOB(O为原点)，则可转化为x1x2y1y20，再结合根与系数的关系等代入方程简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(1)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得弦的长度为4，则实数a的值是() A2 B4 C6 D8思考题思考题3【答案】B (2)已知点P(a，b)(ab0)是圆O：x2y2r2(r0)内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为axbyr2，则() Am与n重合且n与圆O相离 Bmn且n与圆O相离 Cmn且n与圆O相交 Dmn且n与圆O相离【答案】D 题型四题型四 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 探究4(1)圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系 (2)若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到 (3)若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦(1)若 O：x2y25与 O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_ 【解析】由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.思考题思考题4【答案】4 (2)已知圆M：x2y22mx2mym20与圆N：x2y22x2y0交于A，B两点，且这两点平分圆N的周长，求圆M的方程 【解析】两圆的公共弦所在直线方程为(22m)x(22m)ym20， A，B两点平分圆N的周长， 圆N的圆心(1，1)在公共弦上 把点(1，1)的坐标代入公共弦方程，解得m2， 所求圆的方程为x2y24x4y40. 【答案】x2y24x4y40 1有关直线和圆的位置关系，一般用圆心到直线的距离与半径的大小来确定数形结合法是解决直线与圆位置关系的重要方法 2当直线和圆相切时，求切线方程一般用圆心到直线的距离等于半径，求切线段的长一般用切线段、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；直线与圆相交时，弦长的计算用弦心距、半径及弦长一半构成的直角三角形 3求经过已知点的切线方程时，要分清点在圆外还是在圆上，并且要注意切线斜率不存在的情况 4分类讨论及数形结合的思想在本节中有广泛的应用，在分类讨论时，应做到不重不漏 1若点P(x0，y0)是圆x2y24内任意一点，当点P在圆内运动时，直线x0 xy0y4与圆的位置关系是() A相交B相切 C相交或者相切 D相离 答案D 2(2015浙江温州十校联合体期末)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22x20的位置关系是() A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 答案C 解析圆C：x2y22x20，配方，得(x1)2y23，圆心(1,0)，直线ykx1恒过M(0，1)，而(01)2(1)23，即M点在圆内，所以直线ykx1与圆x2y22x20相交 3(2013山东理)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为() A2xy30 B2xy30 C4xy30 D4xy30 答案A 故直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30，故选A. 另解：易知PACB四点共圆，其方程为(x1)(x3)(y0)(y1)0，即x2y24xy30. 又已知圆为x2y22x0， 切点弦方程为2xy30，选A. 4设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_ 答案1,1 解析由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1,0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1 5已知圆O：x2y24，求过点P(2,4)与圆O相切的切线的方程 答案3x4y100或x2
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