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东北育才学校教案课题课题学习猜想证明 拓广 课时 第一课时知识与能力探索 “任意给定一个正方形、矩形，是否存在另一个正方形、矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”的议题.教学目过程与方法经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。在问题解决的过程中综合运用所学知识， 体会知识之间的内在联系， 形成对数标 学的整体性认识。在探究过程中， 感受由特殊到一般、 形数结合的思想方法， 体会证明的必要性。情感态度与 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。价值观积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流 .。启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等重点 探索倍增正方形和倍增矩形难点 式、函数、相似等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法方法 探究、猜想、讨论 教具 多媒体课件教学过程教师活动学生活动设计意图一、新课引入：世界三大几何难题： 1.化圆为方 求作一正方形使其面积等学生观看问题， 可 引发同学们学习兴趣。于一已知圆？圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个以进行适当讨论。正方形和已知圆等面积呢？2. .三等分任意角。对于某些角如 900 、1800 三等分并不难,但是否所有角都可以三等分呢？例如 600, 若能三等分则可以做出200 的角 ,那么正 18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600/18=200 ）。3.倍立方 求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。用示范的例子，引导同二、讲授新课：学们进行本节学习。（一）活动探究一：任意给定一个正方形 ,是否存在另一个正方学 生 根 据问题进形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍 ?行回答。1. 教师给出特例表格：已知正方形 所求正方形 所求正方形边长周长 发散同学思维，感受本面积同 学们根 据 老师节知识内容。 2. 通过表格得到特殊结论。布置任务，进行反3. 得出猜想： 不存在一个正方形它的周长和面积是已知馈回答。正方形周长和面积的 2 倍。3. 同学们分组，用不同方法证明结论，并展示成果。不让同学们思维模式固4.鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、 合作定，知道学习数学是思与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归维的体验。纳和总结得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题5. 鼓励同学们对相应结论进行拓广， 如推广到其他图形同学们自由发挥， 正三角形、正五边形 课后留作思考。（二）活动探究二：任意给定一个矩形 , 是否存在另一自 由畅想 可 能 情个矩形 , 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的 2倍?况。1. 鼓励同学们按照上诉研究方法进行研究， 教师和同学一起给出表格：已知矩形 所求矩形 所求矩形长 2分组学习研究成果，让宽 1同 学们根 据 上 面 学生充分参与课堂，体周长6所学， 得到学习方验学习的乐趣。面积2法，进行学习。2. 教师可以进行一些方法的介绍，如：从周长是 12 出发, 看面积是否是 4; 如果设所求矩形的长为x, 那么它宽为6-x, 其面积为x(6-x). 根据题意 , 得 x(6-x)=4. 如果这个方程有解 ,则说明这样的矩形存在 ，同学们分组进行探究，得到猜想：存在一个矩形它的周长和面积同 学们进行 充 分是已知矩形周长和面积的二倍。的讨论、验证。3. 同学们分组进行猜想的证明 . 并进行展示。4. 教师可以进行一般性证明，如：如果矩形的长和宽分别为m和 n, 那么其周长和面积分别为2(m+n)和 mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和 2mn.得到方程，让同学们从单一的知识进行证明 同 学进行 学习成层面，升华、拓展到让5. 鼓励同学们再次充分讨论，得到不同证明方法。果展示。 同学们真正感受探索一6.发散同学思维，进行拓广。些问题的方法。（三）本节小结：1. 方程、函数、相似这些都是帮助我们解决问题的好方法，我们要学会综合选择和处理。2. 函数来自现实生活 , 函数是描述现实世界变化规律的回顾全节内容，深思自重要数学模型 .己所学。3. 生活中我们能够发现很多问题都能用数学方法或者数学思想来解决，我们经历猜想验证 拓广，能够更同学进行小结。好地解决问题和体验数学的魅力。课题学习：猜想证明 拓广（一）活动探究一 （二）活动探究二板书设计附录：关于本节课的一些说明猜想、证明与拓广 是义务教育课程标准实验教科书数学 北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题 图形“倍增” ，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识， 体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。相似形是否存在“倍增”图形正方形是否存在“倍增”正方形正 方 形 不 存 在“倍增”正方形 .小组讨论：1. 一 元 二 次 方矩 形 是 否 存 在 教师引导，给出示程；“倍增”矩形（由 范2. 分式方程；特 殊长方 形 开3. 二元一次方程始）组；4. 函数图像解法类似方法 得出结论 多种证明方法.长方形是否存其他图形（如菱在“减半”问 形）是否存在 “倍题，“三倍” 问 增”问题？题？ 主体体现：猜想证明 拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题” ，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学” ，感悟处理问题的策略和方法；（2）知识储备方面 :：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想启发诱导，数学证明分组讨论，合理拓广”为主的教学方法为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化；（5）评价方面：于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验，让同学在战士的过程中更有收获！
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