14第1课时角平分线

1.4 1.4 角平分线角平分线第一章 三角形的证明复习复习导入导入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂作业作业第第1 1课时课时 角平分线角平分线还记得角平分线上的点有什么性质吗还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的你是怎样得到的? 与小组同学交流。与小组同学交流。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 复习导入复习导入首页首页角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上上，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为D、E求证：求证：PD=PE证明：证明：1=2，OP=OP，PDO=PEO=90，PDO PEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)AOCB12PDE合作探究合作探究首页首页定理：角平分线上的点到这定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等.OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意上任意,PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E(已知已知)PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).AOCB12PDE你能写出上面这个定理的逆命题吗你能写出上面这个定理的逆命题吗?性质定理性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上必在这个角的平分线上这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是请举出反例。请举出反例。不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上平分线上角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。分线上。它是真命题吗它是真命题吗?如果是如果是.请你证明它。请你证明它。AOCB12PDE已知：在已知：在AOB内部有一点内部有一点P，且，且PDOA，PEOB，D、E为垂足且为垂足且PD=PE，求证：点，求证：点P在在AOB的角平分线上的角平分线上证明：证明：PDOA，PEOB， PDO= PEO=90在在RtODP和和RtOEP中中OP=OP，PD=PERtODP RtOEP(HL)1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)AOCB12PDE判定定理：判定定理： 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两且到角的两边距离相等的点边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已知已知), 且且PD=PE, 点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).AOCB12PDE你能用什么办法平分一个已知角呢？你能用什么办法平分一个已知角呢？1 1可以用量角器可以用量角器2 2使用三角尺，也可以平分一个已知角使用三角尺，也可以平分一个已知角3 3用角尺也可以平分一个已知角用角尺也可以平分一个已知角4 4用直尺和圆规平分一个已知角用直尺和圆规平分一个已知角5. 5. 用折纸的办法也可以平分一个已知角用折纸的办法也可以平分一个已知角已知已知:AOB,:AOB,如图如图. .求作求作: :射线射线OC,OC,使使AOC=BOC.AOC=BOC.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .作法作法: :1.1.在在OAOA和和OBOB上分别截上分别截取取OD,OE,OD,OE,使使OD=OE.OD=OE.2.2.分别以点分别以点D D和和E E为圆心为圆心, ,以以大于大于DE/2DE/2长为半径作弧长为半径作弧, ,两两弧在弧在 AOBAOB内交于点内交于点C.C.3.3.作射线作射线OC.OC.则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分的平分线线. .A AB BO OC CD DE E你能说明你能说明射射线线OCOC为什么为什么是是AOBAOB的平的平分线吗？分线吗？1.1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。利用尺规作出三角形三个内角的平分线。你发现了什么？你发现了什么？2. 如图如图,求作一点求作一点P,使使PC=PD,并且点并且点P到到AOB的的两边的距离相等两边的距离相等.CDABO温馨提示：温馨提示：本题综合本题综合运用线段的垂直平分运用线段的垂直平分线的性质和角平分线线的性质和角平分线的性质哦！的性质哦！1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在在这个角的平分线上这个角的平分线上.3.用尺规作角平分线用尺规作角平分线课堂小结课堂小结首页首页1.如图如图,AD,AE分别是分别是ABC中中A的内角平分线的内角平分线外角平分线外角平分线,它们有什么位置关系它们有什么位置关系?老师期望老师期望:你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.EDABCF随堂训练随堂训练首页首页2.已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.求证求证:EB=FC. 老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东西到点东西,纳纳入到自己的认知结构中去入到自己的认知结构中去. BAEDCF3.如图如图,一目标在一目标在A区区,到期公路到期公路,铁路距离相等铁路距离相等,离离公路与铁路的交叉处公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置在图上标出它的位置(比例尺比例尺 1:20 000)。A区区