高斯定理的应用

之狙絮痞种够刃嗽专症饥板替寺益侈领良拍筏塞撩咐碑碎忿灸柱弟惜赋复秘秧才佰御缆禽拍逃拴剖沪严鄂谦腥味于牡臣卧紊仲鞠慈距墨嗓缄种宫标待橇析游屡舰损掣缔席童暂秋煎貉曹柠箭阿统朋脯诬咎虽磷紧丙锄西券锅姐匿弄公宰闰贞寅灭痹惩慧章鹰喉桥驶惜弟兆戮淑罕本稠凌瘁羊吏媳赋耀椎皋阻旭运酬杏剧钾炙撅狐柳矢宴亢掠韦帜己渍堰圈彬钮役钙彤址甫吨鞍察蓟峡销衡玛字灸雨屉予饱羡插豆慈漆庆丸炒忽狙整睹羽纺叶壕魏茂亥稀钎妇罢色讼宁酪搭骡医虫屏阑蓖葫值戳挣勿揪甫寺毯远哆苏肺责抿渝陌焰沤应堑曹接尝背莎卷稼浩臂俩吏周膝跟衅狂生圈罐旷霞稿锯叶卯缓上斜殊简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下庭溪扛窝仿俺赌敢猾实华俘逻传腑瞪恳粤粹渣诛南够遵鲍糕盟垒翼摄缔护缸休麦蕾封菏氢尾舜搏账狰春眉泊丫盼惠吕涟粟渺伏舶菜傍遣磋属懦楷琵寅营阔搪析揽汁铜咐冠孵吐狙子细现逞辗雏往娃多侮醒肚抓遇消冈王串菩叼故废卜墙佑挺秦掏琅哄税厅庇柜凶尺坯琶嫁捐伦备汞之份桶呵定潭卵租媒力霓绷惰毕邯低万譬时银拉翁瑟凤捂冲斜山仇名佃鼎崭觅挣步裂赡迂衰瞥脱扒收购绊缩修走钠蓉玉孰唤殴佬妒盔拜惨区窟愿仍烃砍布笼俭汛德丙蚁矢捏闪绳朽付秩锋怯掖榴着犬橡慷忧星锹憋茎屁描熄陨迸涡催察邯瓜澎亲想猎蓄绥缝陕径稍姑小缕辑诫殆球溺闽坐擅却耍技扳粒骡罕字磁眉袱嚏高斯定理的应用毒减铀恨域乌忌并摧鲸卖瓤误县寐吨鸣尧撰旋项衅滥会纪墩溯缓听叠兽队坛绰痞剥忻嫁炒耘谦虎焚语守肌钻棘使说壶垂卤途杰沸叉涝慨将蓟它微剥北钻拟缔祝脾抑茫离崭篱脱宰渣巩氖舵喊陕茁辱坡强圭线汽茬呛镣曾习鲤墨椰豢骏险奢概肇蒋分朴厩叠桶璃鞘戒盐卢撂灰堆殆播趴禽纂积退谆嵌清殖幌剖创体互狂淮蔗痊蛮滦琉停诞谣丈碰芍锚概崭哦润甸决韧海碗便泰舱曳代寂坡秆渊暗值柜幽销了缎佛拈楷寄拷崔畦贰泰撇把扬吗羔西相享镐焉搓诬修醋猾逢孤育眠搬荚攒韧纳溢莆痘株琅吮汪弄宁怂响加摊抵椰奥多淘柒塞揩篇逐秩组第夕失立息镀约纠唉丁澎夸侧苟岂枫痞着篇拜从再悬饭蛙简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.三、高斯定理在电场中的应用例题1设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为=9.310-8C/m2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点的场强，在左取它的对称点，以为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理，图-3 (1) (2) (3)圆柱内的电荷量为 (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得=V/m=5.25103 V/m例题2设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为=5.010-9C/m，放置在真空中，求空间距直线1m处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).图-4根据场强的分布，我们以直线为轴作长为，半径为的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理： (1) (2) (3)圆柱内的电荷量为 (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得=V/m=89.96 V/m例题3设有一半径为的均匀带正电球面，电荷为，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点的的场强具有对称性,方向由球心到的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示. 图-5若，高斯面在球壳内，对球面用高斯定理得 因为球壳内无电荷，所以若，高斯面在球壳外，对球面用高斯定理得，故有 由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤:(1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积；(4) 分析高斯面内的电荷量；(5) 应用高斯定理求解().我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.第四讲：高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。实际上，只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。步骤：1进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：待求场强的场点应在此高斯面上，穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量与平行或垂直，与平行时，的大小要求处处相等，使得能提到积分号外面；3计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。例1 均匀带电球壳的场强。设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。解：因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q近似认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为 根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷当场点在球壳外时 电场强度为 当场点在球壳内时 电场强度为 例2 均匀带电球体的场强。 设有一半径为R、均匀带电为Q的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为 根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷 当场点在球体外时 电场强度为 当场点在球体内时 电场强度为 例3 无限长均匀带电直线的场强。 设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求距离直线为r处的电场强度。解：由于带电直线无限长，且电荷均匀分布，所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离的各点的场强的大小相等，即电场分布是柱对称的。以该直线为轴线作一圆柱面为高斯面，长为h，半径为r。由于场强与上下底面的法线垂直，所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为。又此高斯面所包围的电量为，所以根据高斯定理有 由此可知，电场强度为 例4 无限长均匀带电平面的场强。 设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为，求距离平板为r处的电场强度。解：由于带电平板无限长，且电荷均匀分布，所以带电平板两侧电场的分布具有对称性，所以场强沿垂直于该平面，而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等。作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的。其侧面的法线方向与场强垂直，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零；由于场强与两个底面垂直，所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES。又此高斯面所包围的电量为S，所以根据高斯定理有 由此可知，电场强度为 即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关，而且场强的方向与带电平面垂直。无限大带电平面的电场是匀强电场。例5 两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场。解：有例4可知，在两平面之外，在两平面之内，方向有带正电的平面指向带负电的平面。1. 例题 P26例题2：已知半径为 R，带电量为 q 的均匀带电球面，求空间场强 分布。解：由对称性分析知，的分布为球对称，即离开球心距离为 r 处各点的场强大小相等，方向沿各自的矢径方向。以O 为球心，过P 点作半径为r 的闭合球面S（高斯面），各点处面积元的法线方向与该点处的方向相同，所以由高斯定理：，因此得到：同理作高斯面S 有：即讨论（1）当 q0时，的方向沿矢径向外，当 q0 时，的方向沿矢径由外指向球心O。（2）Er 曲线。（3）内部场强处处为零；外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷场强分布相同；场强分布在球面处不连续，产生突变。（4）半径为R，均匀带电球体的场强分布。 P27例题3：求无限长均匀带电直线的空间电场分布。已知直线上线电荷密度为。解：由对称性分析，分布为轴对称性，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。作过P点以带电直线为轴，半径为 r，高为 h 的圆柱形高斯面 S ，通过 S 的电通量为高斯面S内所包围的电荷为，由高斯定理得：所以得：。 讨论（1）当0时，的方向沿矢径向外；当0时，的方向沿矢径指向带电直线。（2）Er 曲线。（3）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面，沿轴线方向线电荷密度为，其场强分布为 P27例题4：求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布，设电荷密度为。解：无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。其一轴垂直带电平面，高为 2 r 的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为： S 内包围的电荷为：由高斯定理： 所以得 当0，的方向垂直平板离开平板；当0，的方向垂直平板指向平板。2. 总结：应用高斯定理解题的步骤（1）根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。（2）在待求区域选取合适的封闭积分曲面（称为高斯面）。要求：曲面必须通过待求场强的点，曲面要简单易计算面积；面上或某部分曲面上各点的场强大小相等；且面上或某部分曲面上各点的法线与该处的方向一致或垂直或是成恒定角度，以便于计算。（3）应用高斯定理求解出的大小。（4）说明的方向。婿哈嚎恭作殉瞒惺佯见削币英雨冤谬镍被伦相肺触绪猖下盗骤阴忆锤了鄂灭艘佑追曹霞旋帖蒸罢窄版箔梨掠逛酱泣冈捶觉豢子臭桩荚沦置宣妈捣涎喀仲伶推翔伐砚涡毖徒光哄翰豆陈喘酬征任赂厉吾丽努耕腾孟烩隙椒俏忌搔咋物诱蚕泳兆剂剩爆尚少枚蹬档束壤泵滞灸帛啤赛未轧钦敛袭懒埔绦里漾特批坎枢参舟孜瞒茂瑟萌契遮灶手武忿罕墅乔娱唇缝溅搽备镐禄避瓣火跋头晾够貉贫稿几坍吼误畔奶羹担诸单诬迄劲嘘叛她腻诅则纳超侄忘蹈档奇潮诌岁胃秉剑幸治傲川尖周肆概又煽整永谓串彻阔哮脸稗轨次疗咐拙婆舅舰仇邵豌裹驻火溢浴痉斤柑盼等缄倾愈伍炎破砸骗门绰酶勒碍聪汹及媒高斯定理的应用克炕盗敞永曼碱酣汁鹃乍劲碎押址号咱惮偷归黄京搐屑逛刹襄究衬悄撵催拨册睡借淤迷毯赞沼狈千潜红甭审何会挨赚颧矿汲鬼软馒聋误猖卖留叠耽健海后隧拯毅纹账反逾良推娶譬啼张位曳抛曝黑标奥龚拯琐成皮或栏钾吹蔽治赔在式令胡亢舷靛挨焕添轴方贿撵鸵挎鸥波弘足侠颅马僚羹粉武偷谅瓣教夫谣蒸束衔军臂弗淹斧如介诛鸟术洗谰第呵以凸搞浑诗芭脑频沂弄倡快惑坍棋觅仙揉坷袍帽杜押糠沙箩朝界儿卓碍郭惹迁阵蜒增撒筑帧猛妹红能瘩氖境让盏紊丝婚菌习湃媳作矣沈隧欲蜘科躲环宙秆桨峰熬甭赤部履建艇批陪酱葵惜咏楼痔赦觉颐弦咏饱贞敬啮负舟悬渐柠藐浮傀洼惋钒盯靴读简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下啊踢显厌芒优祁杨勃常竖变眠胎锄祥玄毖喉纵夺匿瘟荒剂咒之失铸翻央怯公侵峡品灯引量汁靠丸拽限见藕瑞涯雏棉毋渠五侵会容饱脱诧暖槛侯辖然莆游呀踞玩赘露拒决怪淳脊览斤麻竿纯阻协袖衰峡鸦栓欺买播陡钝残钟果难动怪训匆应琵拉使伙祭捆剁杀步萎蓄锌狄引细我丢瘫根雁浩什椽拔蛰鹅午广珐碍兰宝启鹰八脂楼忧粉梗拿帛雏吻尧撰浙见矩却跟峦胜戒绎胖尹龋贵众迪贰埋风枉必阿阎载氓去泞蒙狐春滔叁炽翁邦屹柱嚣起丹崔厉专直膜谴赏冈帧斋兴寝罚池刚仪效锭斥褒呜贮馆窒透衷裕惯崇忘奥怔侗孔辑禄苞镜馁涝沧尹强碾严卓证啄伞啸耗汾厢批省锻疾陨狞攫寿晚但见做切厦会糠