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楚水实验学校高一数学备课组数列的应用数列的应用2等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项求和求和a n + 1 a n = dqaann 1a n = a 1 + ( n 1 ) da n = a 1 q n 1 ( a 1 , q0 )naaSnn 21dnnna2)1(1 111)1 (1111qqqaaqqaqnaSnnn2) a n = a m + ( n m )d2) a n = a m q n m知识回顾：知识回顾：就是将数学就是将数学结论转译成结论转译成实际问题的实际问题的结论。结论。就是对实际问题就是对实际问题的结论作出回答的结论作出回答实际问题实际问题数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解抽象概括抽象概括推理演算推理演算还原说明还原说明应以审题应以审题(即明确题意即明确题意)开始，通开始，通过分析和抽象找出题设与结论过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学的数学关系，建立合理的数学模型。模型。 求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：示意图表示为：答答采用数学方法，采用数学方法，解决数学模型所解决数学模型所表达的数学问题。表达的数学问题。增长率问题的一般公式：一般地，在增长率问题中，原一般地，在增长率问题中，原产值的基础数为产值的基础数为a,平均增长率平均增长率为为r，则对于时间，则对于时间x的总产值的总产值y满满足：足：y =a(1+ r)x某工厂2004年的月产值按同一数值按同一数值增长，一季度产值为20万元，半年总产值为60万元，则2004年全年总产值为 万元.变题：变题：若将条件中“按同一数值增长按同一数值增长”改为“按同一增长率增长按同一增长率增长”，则结论如何？200 解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 ,na其中,30000, 1 .1%101,50001nSqa.300001 . 111 . 115000n即.6 .11 .1n两边取常用对数，得 6 . 1lg1 . 1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(年)答：约5年可以使总销售量量达到30000台某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机5000台，如果台，如果平均平均每年每年的销售量比上一年的销售量的销售量比上一年的销售量增加增加10%，那么从，那么从今起，大约几年可使总销售量达到今起，大约几年可使总销售量达到30000台台(结结果保留到个位果保留到个位)？某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机5000台，如果台，如果平均平均每年每年的销售量比上一年的销售量的销售量比上一年的销售量增加增加10%，那么从，那么从今起，大约几年可使总销售量达到今起，大约几年可使总销售量达到30000台台(结结果保留到个位果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：121 . 151 . 151 . 155n例例2、某种卷筒卫生纸饶在盘上，空盘时盘、某种卷筒卫生纸饶在盘上，空盘时盘芯直芯直40mm,满盘时直径满盘时直径120mm.已知卫生纸已知卫生纸的厚度为的厚度为0.1mm,问满盘时卫生纸的总长度问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米大约是多少米(精确到精确到1m)?解解:将绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心将绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆圆, 答：满盘时卫生纸的总长度大约为答：满盘时卫生纸的总长度大约为100m. 则由内向外各圈的半径组成首项为则由内向外各圈的半径组成首项为20.05,公公差为差为0.1的等差数列的等差数列(各圈的半径为该层纸的中心各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离）线至盘芯中心的距离）设圈数为设圈数为n,则则59.95=20.05+(n-1)0.1,所以所以n=400. 又由内向外各圈的周长组成首项为又由内向外各圈的周长组成首项为40.1,公差为公差为0.,项数为项数为400的等差数列的等差数列则所有项的为则所有项的为:40040.1+0.5400(400-1)0.2=32000(mm）（m) 一种产品的年产量原来是一种产品的年产量原来是 a 件，在今后件，在今后 m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增年内，计划使年产量平均每年比上一年增加加p% ，写出年产量随经过年数变化的函数，写出年产量随经过年数变化的函数关系式关系式解解:设经过设经过 x 年后年产量为年后年产量为 y 件件. 根据题意，得：根据题意，得：xpay%)1 ( (0 xm，且，且xN)2、有、有200根相同的圆钢，将其中一些堆放成纵断面为根相同的圆钢，将其中一些堆放成纵断面为三角形的垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余三角形的垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的圆钢有的圆钢有_根。根。3、某种细胞开始时有、某种细胞开始时有2个，个，1小时后分裂成小时后分裂成4个并死个并死去去1个，个，2小时后分裂成小时后分裂成6个并死去个并死去1个，个，3个小时后个小时后分裂成分裂成10个并死去个并死去1个，个，按这种规律进行下，按这种规律进行下去，去，6小时后细胞的存活数是小时后细胞的存活数是_a1=3an=2an-1-14、某房地产开发公司原计划每年比、某房地产开发公司原计划每年比上年多建相同数量的住宅楼，三年共上年多建相同数量的住宅楼，三年共建住宅数建住宅数15栋，随房改政策出台及经栋，随房改政策出台及经济发展需要，实际上这连续三年分别济发展需要，实际上这连续三年分别比原来计划多建住宅楼比原来计划多建住宅楼1栋、栋、3栋和栋和9栋，结果使这三年建住宅楼的数量每栋，结果使这三年建住宅楼的数量每年比上一年增长的百分率恰好相同，年比上一年增长的百分率恰好相同，则该房地产公司原计划第一年建住宅则该房地产公司原计划第一年建住宅楼的栋数为楼的栋数为 ( )A.5 B.15 C.7 D.3 _A.PG.P问题问题1、按复利计算利息的一种储蓄，、按复利计算利息的一种储蓄，本金为本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，设本利和，设本利和为为y,存期为存期为x，写出本利和，写出本利和y随随x变化变化的函数式。如果存入本金的函数式。如果存入本金10000元，元，每期利率每期利率2.25%，试计算，试计算5期后本利期后本利和是多少？和是多少？解：解：1期后：期后：y = a(1+r)2期后：期后： y = a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2 x期后：期后：y =a(1+r)x 当当a=10000,r=0.0225,x=5时，时， y=10000(1+0.0225)5 11176.811176.8某公司投资某公司投资100万元，有两种获利可供万元，有两种获利可供选择，一种是年利率选择，一种是年利率10%，按单利计，按单利计算，算，5年后收回本金和利息；另一种是年后收回本金和利息；另一种是年利率年利率9%，按复利计算，按复利计算，5年后收回年后收回本金和利息，问哪种选择对该公司更本金和利息，问哪种选择对该公司更有利？有利？一个水池有若干出水相同的水龙头，一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的个水龙头放水时间的5倍，问最后倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,xn,1)(24121nxxxn x1+x2+xn=24n;即即n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48, 又又xn=5x1 , xn=40.即最后一个水龙头放水时间是即最后一个水龙头放水时间是40分钟。分钟。由已知由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1, xn为等差数列，又每个水龙头每分钟为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是放水时间是1/(24n), 某林场原有森林木材量为某林场原有森林木材量为a，木材，木材以每年以每年25%的增长速度增长，而的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为每年要砍伐的木材量为r,为使经过为使经过20年木材存量翻两番，求每年的年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量最大砍伐量x（取（取lg2=0.3)依题意：依题意：a 1.25204x(11.2520)=4a,又设又设y=1.2520lgy=20lg1.25=20(13lg2)=2 y=100,即即1.2520=100 x=8a/33.答：每年的最大砍伐量为答：每年的最大砍伐量为8a/33.解解: 第一年存量：第一年存量：1.25ax;第二年存量：第二年存量：1.25(1.25ax)x =a 1.252x(1+1.25); 第三年存量：第三年存量：1.25 a 1.252x(1+1.25)x =a 1.253x(1+1.25+1.252);第第20年末存量：年末存量： a 1.2520 x(1+1.25+1.252+1.2519) =a 1.25204x(11.2520) 例例:某人从某人从2003年起年起,每年每年1月月1日到日到银行新存入银行新存入a元元(一年定期一年定期),若年利率为若年利率为r保持不变保持不变,且每年到期存款均自动且每年到期存款均自动 转为转为新新 的一年定期的一年定期,到到2007年年1月月1日将所有日将所有的存款及利息的存款及利息全部取回全部取回,他可取回的钱他可取回的钱数为多少元数为多少元?每年利息按复利计算（即每年利息按复利计算（即上年利息要计入下年本金）。上年利息要计入下年本金）。解解:2003年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为: a2004年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为: a(1+r) +a+a2006年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为: a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a 2007年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为: a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)2007年可取钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)rrra111114rrra)1 (152005年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为: a(1+r)2+a(1+r) 某人购买安居工程集资房某人购买安居工程集资房92m2，单价为，单价为1000元元/m2，一次性，一次性国家财政补贴国家财政补贴28800元，单位补贴元，单位补贴14400元，余款由个人负担，元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期一年，等额付款，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期一年，等额付款，计签购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，计签购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付共付10次，次，10年后付清，如果按年利率年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元，计算结果精确到百元， 1.07591.921 ，1.075102.065， 1.075112.221)分期付款中的有关计算
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