2017届吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）（解析版）

2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A0BiC2iDi2已知集合A=x|x2x+4x+12，B=x|2x18，则A（RB）=（）Ax|x4Bx|x4Cx|x2Dx|x2或x43已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A1，+）B（1，+）C，+）DR4下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A图1B图2C图3D图45公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图若运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：1.732，sin150.2588，sin7.50.1305）（）A48B36C30D246将函数f（x）=cos2xsin2x的图象向左平移个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数F（x）是奇函数，最小值是B函数F（x）是偶函数，最小值是C函数F（x）是奇函数，最小值是2D函数F（x）是偶函数，最小值是27某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD8二项式（）10的展开式中，项的系数是（）ABC15D159据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X（单位：万）服从正态分布XN（6，0.82），则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）（P（|X|）=0.6826，P（|X|2）=0.9544，P（|X|3）=0.9974）A0.6826B0.9544C0.9974D0.341310球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2，ACBC，则球O的表面积是（）A81B9CD11设F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是（）A xy=0Bxy=0Cx2y=0D2xy=012已知函数f（x）=k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A（，eB0，eC（，e）D0，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知实数x，y满足条件，则z=y2x的最小值为 14若非零向量满足|=2|=|+|，则向量与夹角的余弦值为 15已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB=b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD= 16有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”请问张老师的生日是 三、解答题：本大题共5小题，共48分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n18某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表： 贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月 频数 20 40 20 10 10以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率（）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；（）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1底面ABCD，E为B1D的中点（）证明：平面ACE平面ABCD；（）若二面角DAEC为60，AA1=AB=1，求三棱锥CAED的体积20如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足=，直线AQ与BP的交点在椭圆E： +=1（ab0）上（）求椭圆E的方程；（）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值21已知函数f（x）=x2eax（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）在（1）条件下，求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（）设函数g（x）=2ex，求证：当a=1，对x（0，1），g（x）xf（x）2恒成立选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2（1+3sin2）=4，曲线C2：（为参数）（）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（）极坐标系中两点A（1，0），B（2，0+）都在曲线C1上，求+的值选修4-5：不等式选讲23（）已知函数f（x）=|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）5的解集为x|x2或x3，求a的值；（） 已知实数a，b，cR+，且a+b+c=m，求证： +2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A0BiC2iDi【考点】A1：虚数单位i及其性质【分析】直接利用虚数单位i的性质运算【解答】解：由i2=1可知，i+i2+i3+i4=i1i+1=0故选：A2已知集合A=x|x2x+4x+12，B=x|2x18，则A（RB）=（）Ax|x4Bx|x4Cx|x2Dx|x2或x4【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】先化简集合A，B，再求A（RB）【解答】解：由A=x|x2或x4，B=x|x4，故A（RB）=x|x2或x4x|x4=x|x4故选：B3已知函数f（x）=，则函数f（x）的值域为（）A1，+）B（1，+）C，+）DR【考点】5B：分段函数的应用；3O：函数的图象【分析】画出分段函数的图象，然后判断函数的值域即可【解答】解：根据分段函数f（x）=，的图象可知，该函数的值域为（1，+）故选：B4下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A图1B图2C图3D图4【考点】CE：模拟方法估计概率【分析】据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，可得结论【解答】解：据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A5公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图若运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：1.732，sin150.2588，sin7.50.1305）（）A48B36C30D24【考点】EF：程序框图【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60=，不满足条件S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的值为24故选：D6将函数f（x）=cos2xsin2x的图象向左平移个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法正确的是（）A函数F（x）是奇函数，最小值是B函数F（x）是偶函数，最小值是C函数F（x）是奇函数，最小值是2D函数F（x）是偶函数，最小值是2【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性以及最值，得出结论【解答】解：将函数f（x）=cos2xsin2x=cos（2x+）的图象向左平移个单位后得到函数F（x）=cos2（x+）+=cos（2x+）=sin2x的图象，故函数F（x）是奇函数，且它的最小值为，故选：A7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，得到几何体的表面积【解答】解：由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图PABC，再求得该几何体的表面积为：故选D8二项式（）10的展开式中，项的系数是（）ABC15D15【考点】DC：二项式定理的应用【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含项的系数【解答】解：二项式（）10的展开式的通项共公式为Tr+1=（1）r22r10，令=，求得r=3，可得展开式中含项的系数是24=，故选：B9据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X（单位：万）服从正态分布XN（6，0.82），则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）（P（|X|）=0.6826，P（|X|2）=0.9544，P（|X|3）=0.9974）A0.6826B0.9544C0.9974D0.3413【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的对称性得出答案【解答】解：随机变量X服从正态分布XN（6，0.82），=6，=0.8，P（5.2X6.8）=0.6826，P（6x6.8）=P（5.2X6.8）=0.3413故选D10球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2，ACBC，则球O的表面积是（）A81B9CD【考点】LG：球的体积和表面积【分析】求出截面圆的半径，根据已知中球心到平面ABC的距离，利用直角三角形求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案【解答】解：由题可知AB为ABC的直径，令球的半径为R，则，可得，则球的表面积为S=4R2=9故选B11设F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是（）A xy=0Bxy=0Cx2y=0D2xy=0【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|PF2|=2a，求出PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有PF1F2=30，由余弦定理，可得，cos30=则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b=a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A12已知函数f（x）=k（+lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）A（，eB0，eC（，e）D0，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根【解答】解：函数f（x）=k（+lnx），函数f（x）的定义域是（0，+）f（x）=k（+）=x=2是函数f（x）的唯一一个极值点x=2是导函数f（x）=0的唯一根exkx=0在（0，+）无变号零点，令g（x）=exkxg（x）=exkk0时，g（x）0恒成立g（x）在（0，+）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解k0时，g（x）=0有解为：x=lnk0xlnk时，g（x）0，g（x）单调递减lnkx时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）的最小值为g（lnk）=kklnkkklnk0ke，由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，ke故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知实数x，y满足条件，则z=y2x的最小值为2【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由z=y2x，则y=2x+z作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时m最大，当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，得，即B（1，0），此时z=02=2，即z=y2x的最小值2，给答案为：214若非零向量满足|=2|=|+|，则向量与夹角的余弦值为【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】设向量与夹角为，0，由题意两个向量的数量积的运算及其几何意义，求得cos的值【解答】解：设向量与夹角为，0，由题意|=2|=|+|，可得|2=4=|2+|2+2，即2+|2=0，即22|cos=|b|2，故，故答案为：15已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB=b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=【考点】HP：正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得，结合sinB0，可得sinA=，可求A的值，由余弦定理可得a，根据角分线定理可求BD的值【解答】解：2asinB=b，由正弦定理可得，sinB0，可得sinA=，由A为锐角，可得，b=2，c=3，由余弦定理可得a2=b2+c22bcosA=4+92=7，可得：a=，根据角分线定理可知，故答案为：16有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”请问张老师的生日是8月4日【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，再排除2个日期，由此能求出结果【解答】解：根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为8月4日故答案为：8月4日三、解答题：本大题共5小题，共48分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令Cn=设数列cn的前n项和Tn，求T2n【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）则n为奇数，cn=“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S2=10，a52b2=a3得，解得an=3+2（n1）=2n+1，（）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n1T2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=18某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表： 贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月 频数 20 40 20 10 10以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率（）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；（）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；5D：函数模型的选择与应用【分析】（）求出每人选择贷款期限为12个月的概率，然后利用独立重复试验概率的乘法求解3人中恰有2人选择此贷款的概率（）求出享受补贴200元的概率为，享受补贴300元的概率为，享受补贴400元的概率为，即随机变量X的分布列，然后求解期望即可【解答】（本小题满分12分）解：（）由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为，所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为（）由题意知，享受补贴200元的概率为，享受补贴300元的概率为，享受补贴400元的概率为，即随机变量X的分布列为X200300400P，w=600300=180000元所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1底面ABCD，E为B1D的中点（）证明：平面ACE平面ABCD；（）若二面角DAEC为60，AA1=AB=1，求三棱锥CAED的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，则EFBB1，从而EF平面ABCD，由此能证明平面ACE平面ABCD（）以F为坐标原点，以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥CADE的体积【解答】证明：（）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，因为E为B1D中点，F为BD中点，所以EFBB1，因为BB1平面ABCD，所以EF平面ABCD，又因为EF在平面ACE内，所以平面ACE平面ABCD解：（）由于四边形ABCD是菱形，所以以F为坐标原点，分别以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设FA=a，FD=b，有a2+b2=1，A（a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0），设平面ADE的法向量为，平面ACE的法向量为，由题意知，解得所以菱形ABCD为正方形，所以三棱锥CADE的体积20如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足=，直线AQ与BP的交点在椭圆E： +=1（ab0）上（）求椭圆E的方程；（）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（）由题可知，整理即可求得椭圆E的方程；（）由，则梯形面积=，t=2+x0，2t4，根据函数的单调性即可求得梯形ORMN面积的最大值【解答】解：（）设AQ于BP交点C为（x，y），P（2，y1），Q（x1，2），由题可知，从而有，整理得，即为椭圆方程，椭圆E的方程；（）R（2，0），设M（x0，y0），有，从而所求梯形面积=，令t=2+x0，2t4，令u=4t3t4，u=12t24t3=4t2（3t），当t（2，3）时，u=4t3t4单调递增，当t（3，4）时，u=4t3t4单调递减，则当t=3时S取最大值，梯形ORMN面积的最大值21已知函数f（x）=x2eax（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）在（1）条件下，求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（）设函数g（x）=2ex，求证：当a=1，对x（0，1），g（x）xf（x）2恒成立【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，根据a的符号，求出函数的单调区间即可；（）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可；（）问题转化为证明，令h（x）=（2x3）ex，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）f（x）=eax（ax2+2x），令f（x）=0可得，x=0或又a0，则可知f（x）在（，0）和上单调递减；在上单调递增（）在（）条件下，当，即2a0时，f（x）在0，1上单调递增，则f（x）最大值为f（1）=ea；当，即a2时，f（x）在单调递增，在上单调递减，则f（x）的最大值为（）要证g（x）xf（x）2，即证，令h（x）=（2x3）ex，则h（x）=（x33x2+2）ex=ex（x+1）（x2+2x2），又x（0，1），可知在x（0，1）内存在极大值点，又h（0）=2，h（1）=e，则h（x）在x（0，1）上恒大于2，而在x（0，1）上恒小于2，因此g（x）xf（x）2在x（0，1）上恒成立选修4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2（1+3sin2）=4，曲线C2：（为参数）（）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（）极坐标系中两点A（1，0），B（2，0+）都在曲线C1上，求+的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（）由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的直角坐标方程；曲线C2的参数方程消去参数，能求出C2的普通方程（）由已知得，由此能求出+的值【解答】（本小题满分10分）解：（）曲线C1的极坐标方程为2（1+3sin2）=4，2+32sin2=4，曲线C1的直角坐标方程，曲线C2：（为参数）C2的普通方程（）A（1，0），B（2，0+）都在曲线C1上，选修4-5：不等式选讲23（）已知函数f（x）=|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）5的解集为x|x2或x3，求a的值；（） 已知实数a，b，cR+，且a+b+c=m，求证： +【考点】R6：不等式的证明；R4：绝对值三角不等式【分析】（）化简函数f（x）=|x+1|+|xa|（a0）为分段函数，然后通过不等式f（x）5的解集为x|x2或x3，求a的值；（）利用“1”的代换，利用基本不等式转化证明即可【解答】（本小题满分10分）解：（） 因为a0，所以，又因为不等式f（x）5的解集为x|x2或x3，就是x=2或x=3时，f（x）=5，解得a=2（）证明：=2017年6月29日