广东省专插本高等数学题集(含答案)

高等数学历年试题集（含标准答案）2004 年专升本插班考试高等数学试题、填空题(每小题 4 分，共 20 分)1221、函数y 5x2的定义域是xtan2x则一x。3、若y ex(sin x cosx),贝。dx4 一x2t 1一.14、右函数f (x)-dt,贝Uf(一)0t2t 12r r rrrrrrrrr5、设a 2i 3j k,b i j3k和c i 2j,rrr r贝Uabb c。二、单项选择题(每小题 4 分，共 20 分)16、右I dx,贝” ()3 2x1(A)11n 3 2x C2(C) ln3 2x C7、设f(x, y) ln(x工)，则fy(1,0)()2x，、，、八1(A)0,(B) 1,(C)2,(D)一2一 ，一1一8、曲线y -,y x,x 2所围成的图形面积为 S,则 S=()x21(A)( x)dx1x1 .(B) -ln 3 2x C2(D) ln 3 2x C21(B) (x )dx1x、n9、函数项级数 的收敛区间是()n 1(x 2)n(A)x 1(B)x 1(C) x 1及x 31 x10、I0dx炉f (x, y)dy变换积分分次序后有 I=()212(C)(2 )dx (2 y)dx1y12(D)1(21 )dxx2I(2x)dx(D)1 x 3x 1(A)dx0f (x, y)dyx01y(C)0dxy2f (x, y)dx三、简单计算题(每题 9 分，共x -11、求极限lime(x2)3(xx 0sin x1y(B)0dxyf (x, y)dx,；y1(D)dx f(x,y)dxyo36 分)2)13、计算定积分o1x5|n2xdx四、计算题（每题 12 分，共 24 分）15、由y 0,x 8, yx2所围成的曲边三角形OAB（如图所示），在曲边OB上，求一点 C,使得过16、计算二重积分ydxdy,共中 D 是由直线x成的平面区域。12、求由方程x1 .sin2y 0所确定的隐函数 y 的二阶导数d2ydx2此点所作y x2之切线与 OA AB 所围成的三角形面积最大。14、设zx ln( xy),求2z z z一,2x y x2zOx y2 ,y 0, y 2以及曲线xt2V y2所围、填空题1、1,00,12004 年专升本插班考试高等数学 参考答案c -x、2e sin、ln34二、单项选择题6、A 7、D三、简单计算题1011、解: 原式lxm0ex(x 2)12、解:13、解:14、解:3sin2xcosxxm0 xxeT-2LT6sin xcos x 3sin把 y 看成 x 的函数并对和方程关于1 y(x)y(x)lnx limx 0sin xlim2x 06cos3 sin x1一、一、-cosy y (x)1-cos2y y(x)sin y213(1 2cosy)2xdx令et1 .sin 2(11182 6tt d (e )1.2 6tt e6ln(xy)td (e6t)1x一xy()x x(ln(xy)x四、计算题15、解:y(x)y(x)切线方程为:x2x 求导，得1y(x) 11 -cosy再一次求导，得2y (y(x)0y1(x)21 sin y (y(x)1cos y2ln(xy)x y132cosy)12dt6t1)xy0e6t1182x于是过点2XO(tXO),即2d(t )0e6tdt13118xy6tetdt6te dtL1086te1108()y x一(ln( xy) 1) yxyc 的切线斜率为2XO，其中0 x08S 2xt x；此切线与y 0和x 8分别交于点P（包,0）和Q（8,16x0 x0）21 X212h 为：h(xo)-(8)(16xoxo)即h(xo)x(16xo),02241211 ,Kh求导，倚h(x0)(16x0)一(16x0)(16x0)(163x0)424令hTx。)0,得x0”,x016(舍去，因0 x08)3又h(x0)0,h(8) 128,h( )12832h(8)h(0)32716、解:当过点（16,256）作切线， 所围三角形面积最大。3902y(2 ,2yy2)dyydxdyD22y y20dy2ydx：2 ydy : y、2 y y2dy 4: y 2 yy2dy2y 0时，-卜面计算yJ2yydy令y 1 sin,则当2y2时，y,于是02y 2y y2dy2(1 sin ) 0 时,记g(x)ln x ,在1,11一 ，L上应用拉格朗日中值定理得xg(即In故当f(x)Inx 0 时,lnf(x)单调增加.(证法二)当 x0 时，记(x)则(x)x(1 x)1(1 x)210,x(10 分)所以(x)在(0,又lim (x)xlimx当 x0 时,0ln(12 分)x(1 x)20,于故当 x0 时，f(x)单调增加.f(x)x1一(x)x(10 分)0,(12 分)2008 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题一、单项选择题(本大题共 合题目要求的)1、下列函数为奇函数的是5、已知函数A.x2B.C.D.xsinx2、极限limx 0A. eB.C. 1D.-13、函数在点X0处连续是在该点处可导的A.必要非充分条件C.充分必要条件B.D.充分非必要条件既非充分也非必要条件4、下列函数中，不是2x2x的原函数的是A.1ex2B.C.12x 2x-e e2D.12x 2x-e e2A.exydx dyB.ydx+xdyC.exyxdx ydyD.exyydx xdy二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分,15 分）6、极限7、曲线一xlim -x 0exexy=xlnx在点(1, 0)处的切线方程是8、积分2_sin x22.cos x dx=9、xe cos y,vexsin y,贝U -u y10、微分方程曳dx三、计算题(本大题共tan x11、计算limx 0 x sinJ 0 的通解是x8 小题，每小题 6 分，共 48 分)12、求函数f (x) 34(22在区间-1 , 2上的最大值及最小值。5 小题，每小题 3 分,共 15 分。每小题给出的四个选项，只有一项是符dz二二16、设方程exy2z ez0确定隐函数z z(x,y),求 ,zox y17、计算二重积分yexydxdy,其中 D 是由y轴、直线y=1, y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。D18、求微分方程y y cosx esinx满足初始条件yx02的特解。四、综合题(本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分)x x219、证明：对x0, e 1人。22间(0, 1)内有几个实根，并证明你的结论。13、设参数方程x e2t确定函数y=y(x),计算dy。etdx14、求不定积分2sin xsin x dx。1 cosx15、计算定积分1201n(1 x )dx。20、设函数f (x)在区间0 , 1上连续，且0Vf (x) 22乂等价于ex2令f （x） exx2 x2,（2分）f (x) exex2x ,x xf (x) exex2 (e2e2)2 0,于是f (x)在(0,)内单调增加，从而f (x) f (0)=0,x所以f (x)在(0,)内单调增加，故f (x) f (0)=0,即x20、解：设F(x) 2x0f (t)dt 1,则F(x)在0,1上连续，iF (0)1,因为0vf(x)v1,可证0f(x)dx vi,于是F所以F(x)在(0, 1)内至少有一个零点.(6分)又F(x) 2 f(x)2- 10,F(x)在0, 1上单调递增，(9分)x所以F(x)在(0, 1)内有唯一零点，即2x f(t)dt 1在(0, 1)内有唯一实根(12分)(6 分)(8 分)x2e 1 x(10 分)2 2.(3 分)1(1)10f (t)dt0,2009 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题A.y xB.y 11C.y In xD.yx 14、积分cosxf (1 2sinx)dx1，-B.4f (12sinx)C2D.-f (12sin x)C22x、f (x, y)dy的积分次序，贝UI=411、设f (x)3x 1,x 0,皿,则limf(x) f(0)1 x, x 0.x 0 xA. -1B. 1C. 3D.2、极限lim2 2 xsin sin xx 0 x xA. 0B. 1C. 2D.、单项选择题3、下列函数中，在点x 0处连续但不可导的是(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求)A.2f (1 2sinx) CC.2f (1 2sinx) C15、改变二次积分I dxo10A.0dyyf (x, y)dx1y0dy1f ( x , y ) dx10dy0f ( x , y ) dx、 填空题(本大题共 5 小题， 每小题 3分，共 15 分)6、若当x 0时，vi ax512x2,则常数 a=7、曲线yln(1 x)的水平渐近线方程是。xx kt 3t2.8、若曲线,在 t=0 处的切线斜率为 1,则常数 k=。2y (1 2t)22Z9、已知一兀函数z f (x, y)的全被分dz y dx 2xydy,贝U=x y10、已知函数f(x)满足f (x) f (x) 1,且f(0) 0,则f(x)C.0dyyf ( x, y ) dxB.D.三、计算题(本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分)1X.211、计算极限lim-e出出X 0 V3014、计算不定积分arctandx。315、计算定积分11-一黑dx。1 x18、求微分方程y y 6y 0满足初始条件yx01,yx08的特解。四、综合题(大题共 2 小题，第 19 小题 10 分，第 20 小题 12 分，共 22 分) 19、用G 表示由曲线 y=1nx 及直线 x+y=1,y=1 围成的平面图形。(1)求 G 的面积；(2)求 G 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。20、设函数f(x) x24x 4xln x 8.(1)判断f(x)在区间(0, 2)上的图形的的凹凸性，并说明理由;(2)证明：当 0vx2 时，有 f(x) 0O16、f(x,y)由方程xyxz0所确定，求及。x y17、计算二重积分(2 ,x2,x21)3dxdy ,其中积分区域D :1 x2y24。12、设f (X)1x(1 2x2)x2,x0,x0,用导数定义计算f(0)。0.13、已知函数f (x)的导数f (x)xln(1x2),求f (1)。2009 年广东省普通高校本科插班生招生考试高等数学试题答案及评分参考、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1、A二、填空题（本大题共 5 小题，每个空、A3 分，共4 、15 分)6、-4、2y 10ex三、计算题（本大题共 8 小题，每小题48 分)11、解：原式-lxm。X t2e dt x(2 分)12、解:13、解:14、解:2x.elim2x 03x22x.2xelim x 06xxim02xe3(4 分)(6 分)x) f(0)x(x)lxm012x(1 2 x )x0l!mJ(12 x2(x)ln(12x2x2.x t,xlimx0(12x2)x2(3 分)1尸22x21 x224x(1 x2)(1 x2)t2,则原式=arctantdt2,2t arctant4x322x1 x24x2 2(1 x )(6 分)(2 分)(5 分)(6 分),2t arctant1(12)dt1t2x arctan , xt21(3 分),2t arctantt arctan tx arctan x C.15、解:3x2 为奇函数,1 x1x311x-dx（2分）16、解:17、解:18、解:而-1为偶函数,110Fd（1故原式x2）dx设F（x,y,z）xyz3xz,则Fx所以y 1yxz,Fyxyln x,FxFzyxy 13z2r cosrsin ,则原式=021（2rdxxln（ 11x3Fz1）32）dx3z21Fzx.drdxxln 2 .In 2 .xyIn x3z2x21（2rx2dxx（5分）（6分）（6分）（3分）（6分）31） dr（4分）1）81420因为微分方程的特征方程为0,（6分）解得r13,02.（2分）微分方程的通解为y3xce2xC2e（4分）3x2xy3c1e2c2e,3G 2c28,解得GC21,故特解为y 2e3xe2x（6分）四、综合题（本大题共 2 小题，第 19 小题 10 分,20 小题 12 分，共22 分）119、解：（1）A（eyy 1）dy0（3分）(eyii(2) Ve2ydy(1 y)2dy00(2)当 0vx2 时，v f (x) 0,f (x)在(0, 2上单调减少，由此知：当 0vxv2 时，有f (x) f (2) 4 41n 2 0,故f (x)在区间(0, 2上单调增加.因此当 0vx2 时，有f(x) f (2) 4 8 81n 2 8 4 81n 2 4 41n4 0.2e2y1303(1 y)20、解：(1) f (x) 2x 441nx当 0vxv2 时，v(10 分)4 2x 41n x, f (x)(2 分)f (x) 0时，f(x)单调增加。2d (1 cosx) 1 cos x , dx1 cosx 1 cosxln( 1 cosx) (1 cosx) dxln( 1 cosx) x sin x C.