84多元复合函数的求导法则副本

第四节一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy 复合函数求导法则复合函数求导法则xuuyxydddddd 多元复合函数的求导法则 第八章 )(xfy 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则可导；可导；在点在点0, )1(tvuuvtzt 的变化通过的变化通过u,v引起引起z的变化的变化t v z u 000000),(),(tvutvudtdvvzdtduuz 多元复合函数多元复合函数)(),(),(tvtuvufz )(),(ttfz 则则条件条件：.),( )2(000可微可微的对应点的对应点在在vutz 0tdtdz,)()(22),(),(0000vuvvzuuzzvuvu 22),(),()()(0000tvtutvvztuuztzvuvu .dtdvvzdtduuz ，取极限得，取极限得令令0 t证：证：tzdtdzt 0lim可可微微，在在点点由由于于函函数数),(),(00vuvufz . 0)0 , 0(),( ，当当vu则则dtdwwzdtdvvzdtduuz 推广推广: :(1)(1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. ., ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微. .)(, )(, )(twtvtu uvwtz dtdz(2)(2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形. ., ),(vufz xz ,xvvzxuuz uvxzy),(),(yxyxfz yz .yvvzyuuz ),( , ),(yxvyxu 则则例如例如, ,),(, ),(yxvvxfz xz yz xf xvvf yvvf ),(,yxxfz )(xu 相当于相当于xvxzy.),(),(,的的偏偏导导数数看看作作不不变变对对中中的的是是把把而而的的偏偏导导数数，看看作作不不变变对对中中的的数数是是把把复复合合函函是是不不同同的的，与与注注意意：这这里里xvvxfxfxyyxxfzxzxfxz 解：解：4ln61 uuxuvvv).3ln()3(4 )3)(24(622242212422yxyxyxyxxyxyx .)3( . 12422的偏导数的偏导数求求例例yxyxz xz ,24 ,3 22yxvyxu 令令. vuz 则则 . yz 同理可求同理可求,xvvzxuuz 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解：解：dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin .cossincosttetett 注注: : 也可把也可把u,v 关于关于t 的函数代入的函数代入z 直接求导直接求导. .解：解：dtdS, 2 22rhrS 的的增增加加速速度度是是多多少少？积积体体的的表表面面小小时时增增加加，问问此此时时圆圆柱柱厘厘米米以以小小时时而而厘厘米米以以厘厘米米时时，厘厘米米、高高胀胀，当当半半径径一一个个圆圆柱柱体体材材料料受受热热膨膨例例Shrhr/5 . 0/2 . 010010 . 3 , 的的函函数数都都是是 thrdtdhrdtdrrh 2) 4 2( 5 . 010 22 . 0)10 4100 2( ./ 58小时小时平方厘米平方厘米 ,的的二二元元函函数数、是是hrSdtdhhSdtdrrS 解：解：，令令xyzvzyxu , xwxvvfxuuf )(yzffvu zxw2)(yzffzvu zfuzvvfzuufuu )(zvvfzuufvv yfyzv xyffuvuu 1yfv yzxyffvvvu )1(.)(2vvvuvuuyffzxyfzxyf 的的二二元元函函数数仍仍是是注注意意vuffvu, )(yfyzzfvv ).,( vufw 则则) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点在点)1 , 1(处可微处可微 , 且且设函数设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设由题设23)32( (2001考研考研)思考题思考题*:要点要点:第四节 多元复合函数的求导法则 uvtzt 的变化通过的变化通过u,v引起引起z的变化的变化000000),(),(tvutvudtdvvzdtduuz 多元复合函数多元复合函数的求导法则（的求导法则（链式法则链式法则）：）：),(vufz )(),(ttfz 则则 0tdtdz)(),(tvtu 注意选择合适的注意选择合适的中间变量！中间变量！使得因变量使得因变量仅仅仅仅依赖于中间变依赖于中间变量，而量，而中间变量依赖于自变量中间变量依赖于自变量. .