数学人教A版必修4 第二章　平面向量 单元测试2 含解析

（人教版）精品数学教学资料(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.化简后等于()A3B.C. D.解析：选B.原式()()()()0，故选B.2已知i(1，0)，j(0，1)，则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3j解析：选C.2i3j(2，3)，C中3i2j(3，2)因为2(3)320，所以2i3j与3i2j垂直3下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为1B若abac，且a0，则bcC.D若bc，则(ac)bab解析：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若ab，ac，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为，故C错；D中，因为bc，所以bc0，所以(ac)babcbab，故D正确4已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2 B0C1 D2解析：选D.因为a(1，1)，b(2，x)，所以ab(3，x1)，4b2a(6，4x2)，由于ab与4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2.5已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析：选B.因为|ab|ab|(ab)2(ab)2ab0，所以ab，选B.6已知向量a(3，4)，b(3，1)，a与b的夹角为，则tan 等于()A. BC3 D3解析：选D.由题意，得ab3(3)415，|a|5，|b|，则cos .0，sin ，tan 3.7已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为()A(2，) B(2，)C(3，2) D(1，3)解析：选A.设D(x，y)，则(4，3)，(x，y2)又2，故解得8两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120时，合力的大小为()A40 N B10 NC20 N D. N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90，合力的大小为20 N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.9A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：选B.(2)()()()()()220，|，ABC为等腰三角形10在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数，使得(1)成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”若已知P1(3，1)，P2(1，3)，且向量与向量a(1，1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为()A3 B3C1 D1解析：选D.设(x，y)，则由a知xy0，于是(x，x)，设(1)，(x，x)(3，1)(1)(1，3)，1.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在题中横线上)11已知点A(1，5)，a(2，3)，若3a，则点B的坐标为_解析：设B(x，y)，(x1，y5)3(2，3)，解得答案：(5，4)12设e1，e2是两个不共线的向量，a3e14e2，be12e2.若以a，b为基底表示向量e12e2，即e12e2ab，则_解析：由a3e14e2，be12e2，得e1ab，e2ab，e12e2ab，即.答案：13向量a(1，2)，b(1，m)，向量a，b在直线yx1上的投影相等，则向量b_解析：直线yx1的方向向量为c(1，1)，则可知，则acbc，所以121m，解得m4，所以b(1，4)答案：(1，4)14. 如图所示，在正方形ABCD中，已知|2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是_解析：|cosBAN，|cosBAN表示在方向上的投影又|2，的最大值是4.答案：415设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_解析：由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆最多有4个交点答案：4三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|；(2)求向量a在向量ab方向上的投影解：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，ab6.|ab|.(2)a(ab)|a|2ab42610.向量a在向量ab方向上的投影为.17已知向量a与b的夹角为，|a|2，|b|.(1)当ab时，求(ab)(a2b)的值；(2)当时，求|2ab|(ab)(ab)的值；(3)定义ab|a|2ab，若ab7，求的取值范围解：(1)ab，cos 1.(ab)(a2b)|a|2ab2|b|222cos 22.(2)|2ab|24|a|24ab|b|21642cos 331，|2ab|，又(ab)(ab)|a|2|b|21，|2ab|(ab)(ab)1.(3)ab|a|2ab42cos 7，cos ，又0，18在OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OPPA12，OQQB32，连接AQ，BP，设它们交于点R，若a，b.(1)用a与b表示；(2)若|a|1，|b|2，a与b夹角为60，过R作RHAB交AB于点H，用a，b表示.解：(1)a，b，由A，R，Q三点共线，可设m.故amam()am(ba)(1m)amb.同理，由B，R，P三点共线，可设n.故bn()a(1n)b.由于a与b不共线，则有解得ab.(2)由A，H，B三点共线，可设，则a(1)b，()a()b.又，0.()a()b(ba)0.又ab|a|b|cos 601，ab.19已知a(2sin x，1)，b(2，2)，c(sin x3，1)，d(1，k)(xR，kR)(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k和x，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)bc(sin x1，1)，又a(bc)，(2sin x)sin x1，即sin x.又x，x.(2)a(2sin x，1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又xR，当sin x1时，f(x)有最小值，且最小值为0.(3)ad(3sin x，1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25.由sin x1，1，得sin x10，2，(sin x1)20，4，故k5，1存在k5，1，使得(ad)(bc)20在平面直角坐标系中，A(1，1)、B(2，3)、C(s，t)、P(x，y)，ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点(1)求点C(s，t)；(2)设点C(s，t)是第一象限的点，若m，mR，则m为何值时，点P在第二象限？解：(1)由已知得，0.(2，3)(1，1)(1，2)，(s，t)(2，3)(s2，t3)，(1，2)(s2，t3)0，即s2t80.又|，即，即s2t24s6t80.将代入消去s，得t26t80.解得t2或4，相应的s4或0，所以点C为(0，4)或(4，2)(2)由题意取C(4，2)，(x1，y1)，m(1，2)m(3，1)(13m，2m)m，若点P在第二象限，则解得m3.当m3时，点P在第二象限