数学人教A版必修4 第二章 平面向量 单元测试2 含解析

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(人教版)精品数学教学资料(时间:100分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.化简后等于()A3B.C. D.解析:选B.原式()()()()0,故选B.2已知i(1,0),j(0,1),则与2i3j垂直的向量是()A3i2j B2i3jC3i2j D2i3j解析:选C.2i3j(2,3),C中3i2j(3,2)因为2(3)320,所以2i3j与3i2j垂直3下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为1B若abac,且a0,则bcC.D若bc,则(ac)bab解析:选D.A中,两向量的夹角不确定,故A错;B中,若ab,ac,b与c反方向,则不成立,故B错;C中,应为,故C错;D中,因为bc,所以bc0,所以(ac)babcbab,故D正确4已知向量a(1,1),b(2,x),若ab与4b2a平行,则实数x的值是()A2 B0C1 D2解析:选D.因为a(1,1),b(2,x),所以ab(3,x1),4b2a(6,4x2),由于ab与4b2a平行,得6(x1)3(4x2)0,解得x2.5已知两个非零向量a,b满足|ab|ab|,则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析:选B.因为|ab|ab|(ab)2(ab)2ab0,所以ab,选B.6已知向量a(3,4),b(3,1),a与b的夹角为,则tan 等于()A. BC3 D3解析:选D.由题意,得ab3(3)415,|a|5,|b|,则cos .0,sin ,tan 3.7已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(1,2),C(3,1),且2,则顶点D的坐标为()A(2,) B(2,)C(3,2) D(1,3)解析:选A.设D(x,y),则(4,3),(x,y2)又2,故解得8两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120时,合力的大小为()A40 N B10 NC20 N D. N解析:选B.对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.9A,B,C,D为平面上四个互异点,且满足(2)()0,则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析:选B.(2)()()()()()220,|,ABC为等腰三角形10在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数,使得(1)成立,此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”若已知P1(3,1),P2(1,3),且向量与向量a(1,1)垂直,则“向量关于和的终点共线分解系数”为()A3 B3C1 D1解析:选D.设(x,y),则由a知xy0,于是(x,x),设(1),(x,x)(3,1)(1)(1,3),1.二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分把答案填在题中横线上)11已知点A(1,5),a(2,3),若3a,则点B的坐标为_解析:设B(x,y),(x1,y5)3(2,3),解得答案:(5,4)12设e1,e2是两个不共线的向量,a3e14e2,be12e2.若以a,b为基底表示向量e12e2,即e12e2ab,则_解析:由a3e14e2,be12e2,得e1ab,e2ab,e12e2ab,即.答案:13向量a(1,2),b(1,m),向量a,b在直线yx1上的投影相等,则向量b_解析:直线yx1的方向向量为c(1,1),则可知,则acbc,所以121m,解得m4,所以b(1,4)答案:(1,4)14. 如图所示,在正方形ABCD中,已知|2,若N为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值是_解析:|cosBAN,|cosBAN表示在方向上的投影又|2,的最大值是4.答案:415设向量a,b满足:|a|3,|b|4,ab0,以a,b,ab的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_解析:由题意可知该三角形为直角三角形,其内切圆半径恰好为1,它与半径为1的圆最多有4个交点答案:4三、解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|;(2)求向量a在向量ab方向上的投影解:(1)(2a3b)(2ab)61,4|a|24ab3|b|261.|a|4,|b|3,ab6.|ab|.(2)a(ab)|a|2ab42610.向量a在向量ab方向上的投影为.17已知向量a与b的夹角为,|a|2,|b|.(1)当ab时,求(ab)(a2b)的值;(2)当时,求|2ab|(ab)(ab)的值;(3)定义ab|a|2ab,若ab7,求的取值范围解:(1)ab,cos 1.(ab)(a2b)|a|2ab2|b|222cos 22.(2)|2ab|24|a|24ab|b|21642cos 331,|2ab|,又(ab)(ab)|a|2|b|21,|2ab|(ab)(ab)1.(3)ab|a|2ab42cos 7,cos ,又0,18在OAB的边OA,OB上分别有一点P,Q,已知OPPA12,OQQB32,连接AQ,BP,设它们交于点R,若a,b.(1)用a与b表示;(2)若|a|1,|b|2,a与b夹角为60,过R作RHAB交AB于点H,用a,b表示.解:(1)a,b,由A,R,Q三点共线,可设m.故amam()am(ba)(1m)amb.同理,由B,R,P三点共线,可设n.故bn()a(1n)b.由于a与b不共线,则有解得ab.(2)由A,H,B三点共线,可设,则a(1)b,()a()b.又,0.()a()b(ba)0.又ab|a|b|cos 601,ab.19已知a(2sin x,1),b(2,2),c(sin x3,1),d(1,k)(xR,kR)(1)若x,且a(bc),求x的值;(2)若函数f(x)ab,求f(x)的最小值;(3)是否存在实数k和x,使得(ad)(bc)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由解:(1)bc(sin x1,1),又a(bc),(2sin x)sin x1,即sin x.又x,x.(2)a(2sin x,1),b(2,2),f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又xR,当sin x1时,f(x)有最小值,且最小值为0.(3)ad(3sin x,1k),bc(sin x1,1),若(ad)(bc),则(ad)(bc)0,即(3sin x)(sin x1)(1k)0,ksin2x2sin x4(sin x1)25.由sin x1,1,得sin x10,2,(sin x1)20,4,故k5,1存在k5,1,使得(ad)(bc)20在平面直角坐标系中,A(1,1)、B(2,3)、C(s,t)、P(x,y),ABC是等腰直角三角形,B为直角顶点(1)求点C(s,t);(2)设点C(s,t)是第一象限的点,若m,mR,则m为何值时,点P在第二象限?解:(1)由已知得,0.(2,3)(1,1)(1,2),(s,t)(2,3)(s2,t3),(1,2)(s2,t3)0,即s2t80.又|,即,即s2t24s6t80.将代入消去s,得t26t80.解得t2或4,相应的s4或0,所以点C为(0,4)或(4,2)(2)由题意取C(4,2),(x1,y1),m(1,2)m(3,1)(13m,2m)m,若点P在第二象限,则解得m3.当m3时,点P在第二象限
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