专题一计算型问题

专题一 计算型问题第1课时 数与式命题热点分析 实数的运算（含幂的运算）、整式的运算、分式的化简求值，特殊角的三角函数值是重庆每年中考命题热点，在中考中占有比较大的分值，在训练时要加大格式规范性训练，以免造成过失性失分。中考题型解析题型一 实数的运算例1： 估计的运算结果应在（ ）来源:A1到2之间 B2到3之间 C3到4之间 D4到5之间考点：根式的化简及运算.分析：根据根式的运算可得，位于和之间，随之可以得到答案.解答：C点评：本题考查了根式的运算，主要考察学生的基本运算能力。例2. 计算：(1)（2013重庆巴蜀模拟） 计算：(2) （2013年重庆八中模拟）考点：绝对值的定义，幂的运算（负指数幂，零指数幂）和根式的化简运算，特殊角的三角函数.分析：这两道题目考察幂的运算，绝对值定义和零指数，负指数的定义我们可以分别计算每一个值，最后做实数的加减运算.特别注意和，而且必须熟记特殊角的三角函数值解答: (1) 解：原式= （2）解：原式=点评：本题考查实数基本的运算，考察学生对基础知识的掌握，难度不大但是所蕴含的知识点不少，是很好的题目。 题型二 整式的运算例3. (1)（2013重庆一外模拟） 下列运算中，计算正确的是（ ）Aa3a2a6 B C D考点：同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方运算。分析：根据同底数幂的乘除法，可得；.根据幂的运算 可得，解答：D点评：本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方这几个幂的运算法则，这几个公式学生容易搞混，掌握这几个公式是解题的关键。(2)（2013年重庆一中模拟） 因式分解: ;（2013年重庆西大附中模拟）= . 考点：提公因式法、运用公式法分解因式。 分析：因式分解的步骤是有公因式先提取公因式，然后看能否利用公式法进行分解.平方差和完全平方公式在分解中很重要.第一个式子提出4之后再利用平方差公式分解；第二个式子提出后利用完全平方式再分解.解答： 点评：本题考察利用公式法分解因式，相对来说比较简单.对于平方差和完全平方在分解因式中很常用，要求学生掌握；需要大家注意分解因式时一定要分解到不能分解为止(3) 已知, 则 , .考点：完全平方公式的变形应用分析：根据完全平方公式和我们很容易得到；由第一问可知，所以解答：；点评：本题考查完全平方公式的变形应用，对此应该熟练掌握。题型三 分式的化简求值例3. （1）（2013重庆南开模拟）先化简，再求值：，其中、满足考点：分式的化简，求值分析：首先化简，括号内整式与分式相加减要先通分，再分解因式，然后化除为乘、约分化简，最后再代值计算。解答：又因为，易知，所以原式=点评：本题考查了分式的化简，在化简的过程中如遇整式与分式相加减，必须要通分，然后再分解因式、约分化简，最后代值进行计算.(2)(2013重庆二外模拟)先化简，再求值：，其中是不等式 的最小整数解考点：分式的化简，分解因式，解一元一次不等式。分析：首先进行化简，原式= 解不等式得，原不等式的最小整数解为又由分母不能为零可知，所以原不等式的最小整数解为故原式=(3)(2013重庆一外模拟） 先化简，再求值：），其中.考点：分式的化简，分解因式，整体代值的思想。分析：首先进行化简，又由题中已知条件可知，得，整体代入即可求值。解答: 由得 原式=2 点评：本题考察分式的化简，其中不仅用到了通分，分解因式、化简，而且化简之后又用到整体的思想，是一道好题。专项训练突破1.（2013重庆一外模拟）计算的结果是（ ） A B C D 解析：，故选择D。2. （2013重庆南开模拟）下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：由对于A选项只有同类二次根式才可以合并；B选项中应该注意运算顺序，同级运算从左到右依次进行；C选择利用积的乘方公式该选项正确；D选项由同底数幂的除法法则知其有误。故选择D。3.（2012吉林）计算：=_ _.解析：，故答案为。4.（2012陕西）分解因式： 解析：原式=。5.（2012南昌）已知，则m2+n2= 解析：，所以原式=5。6.（2013重庆一中模拟）计算：解析： 。7.（2013重庆沙坪坝区模拟）计算：解析：原式=。8. （2013重庆二外模拟）计算：解析：。 9.（2012恩施）先化简再求值，其中.解析：原式= 将代入原式=10.（2013年重庆南开模拟）先化简，再求值：，其中x满足分式方程解析：解分式方程可得，经检验是原方程的解，所以原式=3.11.（2013重庆北碚模拟）先化简，再求值：，其中满足 解析：原式 ， 当时, 原式 12.（2013重庆巴蜀模拟）先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解解析：解不等式组可得其中x为整数，所以的值为，由分母不为零可知所以不等式组的整数解为,故原式= . 第2课时 方程与不等式命题热点分析 一元一次方程、一元一次不等式、一元一次不等式组、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程的计算是初中学习的重点知识也是中考命题热点，有时会单独命题有时是解决其他问题的必备工具，在平时的训练过程中应注意总结各种题型和解法。中考题型解析题型一 方程或方程组：例1 (1) （2013重庆巴蜀模拟）解方程： 考点：解分式方程分析：解分式方程的思路是把分式方程化为整式方程进行计算.发现前后两个分母是互为相反数的因此我们可以把他们的分母变化一样，然后去分母加以求解解答：(1) 去分母得： 所以 经检验是原方程的解 所以原方程的解是 点评：本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根 (2)（2013重庆二外模拟）解方程：考点：解分式方程分析：观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解解答： 移项得， 去分母得： 所以 经检验是原方程的增根 所以原方程无解点评：分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母解分式方程一定注意要代入最简公分母验根 (3) （2013重庆北碚模拟）解方程：考点：解一元二次方程；解析：一元二次方程常用的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，十字相成法。由以上几种方法可知本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.解法1：原方程化为：，配方，得，整理，得,即解法2:化简得，由求根公式可知 点评：此题主要考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握计算公式与计算方法 (4)(2012广州) 解方程组考点： 解二元一次方程组解二元一次方程组常用的方法有两种代入法和加减消元法分析：根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可解答：，+得，4x=20，解得x=5，把x=5代入得，5y=8，解得y=3，所以方程组的解是点评：本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键题型二 解一元一次不等式或不等式组：例2（1）（2013重庆巴蜀模拟）解不等式: , 并把解集在数轴上表示出来.考点：解不等式；在数轴上表示解集。分析：解含有分母的一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 按照这样的步骤很容易求出不等式的解集。解答：去分母，得： 去括号合并同类项，得：解得：（数轴上表示略去）点评：本题考查解不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上： 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。x0123-1-2-3分析：先求出两个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可解答：由得，由得，所以原不等式的解集是在数轴上表示不等式的解集如右图点评：本题主要考查不等式组的解法以及解集的表示求不等式组解集的时候，应分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分例3.（2012重庆一中模拟）先化简，再求值：，其中x是不等式组 的整数解.考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。分析：将原式括号中的第一项分母利用完全平方公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用提公因式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，而且的值必须满足不能使原式分母为零，确定满足条件的的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值解答：原式=，解不等式组：由得，由得，所以，又因为为整数解，故只能取2和3，又当时，原式无意义 所以只能取2，当时，原式=；点评：此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分再要注意不等式组的整数解还要使得分式有意义专项训练突破1.（2012台湾）解二元一次方程组，得y（ ）(A) 4 (B) (C) (D) 5解析：变形 -得，故选 A2.（2013重庆八中模拟）用配方法解方程，配方后的方程是（）AB CD解析：移项得，所以， 故选A3. (2012南充) 方程的解是（）A2 B2, 1 C1 D2，1解析：化简得，所以， 故选D4.（2013重庆巴蜀模拟）已知关于x的方程，如果从2,1，0,1,2五个数中任取一个数作为此方程的a，那么所得方程有实数根的概率是 解析：题目当中没有说明该方程是一元一次方程还是一元二次方程，因此需要我们分类讨论，当时该方程有一个解；当该方程为一元二次方程，要有实数解需要，解得即时原方程都有解综上所述可能取，概率5.（2013重庆育才模拟）在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字2，1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同. 现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，将该数字加3作为b的值，则（a，b）使得关于x的不等式组恰好有3个整数解的概率是 解析：解不等式组得当时，此时满足条件的整数解有4个，分别为；当时，此时此时满足条件的整数解有3个，分别为；当时，此时此时满足条件的整数解有3个，分别为；当时，此时此时满足条件的整数解有2个，分别为；当时，此时此时满足条件的整数解有3个，分别为因此概率为6. (2013重庆一中模拟) 解方程组： 解析：化简得由加减消元法可得7.（2013重庆南开模拟）解方程：解析： 去分母得：，去括号、合并同类项得： 解得： 经检验是原方程的解所以原方程的解是8. （2013重庆一中模拟）解不等式组：解析：由得，；由得所以原不等式组的解集为 9.（2013重庆一外模拟）解方程：x4x+2=0 解析： 10.（2012重庆八中模拟）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来解析：解得： 因此原不等式的解集为：11. (2013重庆育才模拟) 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来解析：由解得：由解得：因此原不等式的解集为：12. (2013重庆南开模拟) 先化简，再求值：，其中是不等式的最大整数解。解析：不等式的解集为，最大的整数解是，所以当时，原式=第3课时 函数的有关计算命题热点分析 函数是初中数学的重点和难点，常常和方程实际问题相结合来进行考察。初中学过的函数有正比例函数，一次函数，反比例函数和二次函数。学习函数需要从“数”和“形”两个方面去探究，即弄清楚每种函数的解析式同时注重每个函数的图像。中考常考查的内容有用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数的解析式；两个函数相交（一次函数与反比例函数相交，一次函数与二次函数相交，反比例函数与二次函数相交）及与坐标轴围成图形的面积，常与其他知识相结合，比如三角形全等，四边形，相似，解直角三角形等等。因此需要引起同学们的重视，平时多积累这方面的知识和题型。中考题型解析题型一 待定系数法求函数解析式例1（1）（2013重庆八中模拟）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点，则该函数的解析式为 考点：正比例函数图象与一次函数的关系，待定系数法求一次函数解析式。分析：正比例函数的图象如果和一次函数的图象平行，即一次函数可以由正比例函数平移得到，因此它们对应的值k相同，所以，再把点代入中，所以，因此解析式为。解答：。点评：对于一次函数和正比例函数的图象和性质是中考的热点，需要熟练掌握。（2）（2013重庆巴蜀模拟）如果反比例函数y=的图象经过点(1，2)，则k的值是( ) (A)2 (B)2 (C)3 (D)3考点：待定系数法求反比例函数。分析：.点在的图象上， 就把点的坐标代入中即可。解答：在的图象上，可知，所以,答案：选D点评：该题考查求反比例函数中的待定字母系数。（3）（2013重庆一中模拟）二次函数，当时图象的最高点的纵坐标为9，且该图象与轴的两个交点之间的距离为6，则此二次函数的解析式为_考点：二次函数解析式.分析：二次函数解析式有3种表示形式(1)一般式： (2)顶点式： (3)交点式。求二次函数的顶点坐标有两种方法:化为顶点式此时顶点坐标为或是利用顶点坐标公式.对于此题,需要抓住当时图象的最高点的纵坐标为9，即告诉我们顶点坐标为；且该图象与轴的两个交点之间的距离为6，即说明该图像与轴两个交点坐标为，所以可以设为顶点式再代入一个交点即可，最后只需化为一般式。解答：由题意知顶点坐标为，设函数的解析式为，又该图象与轴的两个交点之间的距离为6，故与轴两个交点坐标为，把代入解得，所以解析式为：点评：求二次函数解析式，一般根据题意从三种形式中选择恰当的一种来求解。题型二 两函数相交的相关计算例2 (1)（2012陕西）在同一平面直角坐标系中，若一次函数图象交于点，则点的坐标为（ ）A（1，4） B（1，2） C（2，1） D（2，1）考点：求个一次函数图象交点。分析：求两个一次函数图象交点，常用的方法联立方程组，该方程组的解即为这两个一次函数的交点。因此只需联立方程组，解得。所以这两个函数图象的交点坐标为解：选择D点评：本题是求解两个一次函数图象的交点，对于求交点一般联立方程组，求解方程组的解，则该方程组的解即为两个图象的交点坐标.第3题图(2)（2013重庆二外模拟）如图，已知C、D是双曲线在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点设C（x1，y1）、D（x2，y2），连结OC、OD（O是坐标有点），若BOC=AOD=，且tan=，OC=（1）分别求出双曲线和直线CD的解析式（2）求COD的面积考点：求反比例函数、一次函数的解析式；求图像围成的三角形的面积。分析：（1）过点C作CGx轴于G，垂足为G，由，由BOC=AOD=，且，确定C点坐标，得出反比例函数关系式，再利用反比例函数关系式求得D点坐标，由“两点法”求直线CD的解析式；（2） 求COD的面积，直接求比较困难，想到利用整体减部分的方法即可求解解答：（1）过点C作CGx轴于G，则，在RtOCG中，GCO=BOC=， 即又，即，解得：或（不合舍去）点的坐标为。又点在双曲线上，可得：过D作DHy轴于H，则在RtODH中，即 又 解得：或（不合舍去），点D的坐标为设直线将点代入得（2）在分别令可得点评：本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用关键是通过解直角三角形和勾股定理确定C点和D点的坐标，求出反比例函数和一次函数解析式；在（2）中直接求解COD的面积有困难，但是可以利用面积之差来表示，进而找到解决问题的方法。题型三 二次函数的综合计算例3 (2013重庆巴蜀模拟)如图，抛物线与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为，点B在第四象限内，过点B作直线BCx轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC与ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8倍？ 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数与反比例函数的综合应用分析：点A，B既在反比例函数图像上也在二次函数图像上，很容易得出反比例函数解析式为，设可得二次函数图像过原点把A,B两点代入可得到解析式，进而算出;对于（2）问A到直线BC的距离为6，；求出直线AB的解析式，过点E作x轴垂线交直线AB与点F,则, 又，故D点可以与点C重合，此时;过点C作直线AB的平行线交抛物线与点D,则此时的D点也满足条件，因为所以,联系方程组可得，解答：（1）在反比例上，设代入反比例函数中得故二次函数图像过原点因此，把代入中可得（2）轴，点C在抛物线，设点A到直线BC的距离为，则，设直线AB的解析式为,代入可得过点E作轴交直线AB与点F,则,代入(3) , 又，故D点可以与点C重合，此时;过点C作直线AB的平行线交抛物线于点D,则此时的D点也满足条件，因为所以,联系方程组可得，综上所述满足条件的D点有2个点评：这道题目涉及到我们所学过的一次函数，反比例函数，二次函数，综合性很强是一道很好的考察学生综合能力的试题。尤其是（3）问中求D点的坐标，对于很多同学不容易想到，容易出现漏解的情况，在平时需要大家多积累多总结。专项训练突破1.（2012兰州）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（）A. B. C. D. 解析：设，把代入解析式可得，故选C2.（2012南京）若反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（ ）A. 2 B. 1 C. 1 D. 2第4题图解析：联立方程组可得，只需，即，故选择A3.(2013重庆八中模拟)如图，平面直角坐标系中，在轴上，点 的坐标为（1，2），将绕点逆时针旋转，点 的对应点恰好落在双曲线上，则的值为( ) A 2 B 3 C 4 D 6解析：旋转之后两个三角形全等可知,所以,故选B图（1） 图（2）4.（2013重庆一外模拟） 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A B C D解析：设抛物线的解析式为：可知点在该函数图象上，因此代入解析式可得，所以，故选C5. （2013重庆一中模拟）设二次函数，当时，总有，当时，总有，那么的取值范围是( )A. B. C. D. 解析：因为当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，所以函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，由题意可知当x=3时，y=9+3b+c0，所以联立即可求出c的取值范围解答：当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0，当1x3时，总有y0，当x=3时，y=9+3b+c0，联立解得：c3，故选BODCABxy6.（2012重庆沙坪坝区模拟）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B、C 两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，AD垂直平分OB，垂足为D，AD=2，（1）求该反比例函数及一次函数的解析式；（2）求四边形ADOC的面积解析：因为，所以, 又AD垂直平分OB, 可知OB=2，易知，所以，所以，因此 把代入中可得反比例函数的解析式为：把代入中可得 解得故一次函数的解析式为：；（2）12（2013年重庆南开模拟）在直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，过A点的直线与抛物线的另一交点为D（m，3），与y轴相交于点E，点A的坐标为（-1，0）， tanDAB=，点P是抛物线上的一点，且点P在第一象限（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）若PCCB，求PCB的周长；（3）若，求点P的坐标解：(1)作DFAB于F. , DF=3. AF=6 A(-1，0) OF=6-1=5 ，D(5，3) 设直线AD为则 解得 直线AD的解析式. 抛物线过A，D两点 解得 抛物线的解析式为. yODEPCBAxGFH（2）作PGy轴于G. C(0，3), B(6，0) OC=3 ，OB=6当PCCB时，有PGCCOB.CG=2PG 设 ，则CG=2m. 解得m=0(舍)，或m=1 P（1，5） PC= ，PCB的周长= （3）过P作直线lBC交y轴于H.由可得CH=OC=3 H（0,6） 由B（6,0），C（0,3）可得直线BC解析式为直线PH的解析式为 由得 化简得 解得 P点坐标为 8. (2013重庆巴蜀模拟)如图，已知抛物线与直线交于点A、B两点，且A、B两点的横坐标分别为1和3（1）求此抛物线的解析式和过B点的反比例函数解析式（2）在第四象限的抛物线上有一动点M，连接OM、BM，求BOM的最大面积，并求出此时M点的坐标.（3）在（2）中BOM是最大面积的情况下，在过B点的反比例函数图象上，是否存在一点P，使得BOP的面积与BOM的面积相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由yxOABMyx解析：（1）A、B两点的横坐标分别为1和3且在直线把代入中可得过B点的反比例函数解析式为：（2）M为抛物线上第四象限的点设其中，过M作轴交直线OB于点N，则，对称轴在之间当时面积取最大值，最大值为6，此时(3) , ， 点M和点P到直线OB的距离相等，又过M作MPOB交过点B的反比例函数于点P，则此时的P点满足条件过B点的反比例函数解析式为：联立方程组 解得，同理把直线向上平移4个单位得到，此时的交点P也满足条件联立方程组 解得，综上所述满足条件的P点共有四个