高二数学复习导数及其应用人教实验版B

高二数学复习：导数及其应用人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：高考复习：导数及其应用二、考纲要求1、导数概念及其几何意义（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义2、导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数（3）会使用导数公式表3、导数在研究函数中的应用（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间（2）结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性4、生活中的优化问题例如通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用三、命题趋势导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有选择题、填空题、解答题都出现过，而且最近两年有加强的趋势，预测2008年对本模块的考查为： 1、可能会有一大一小的试题，小题主要考查导数概念及求函数的导数、导数的几何意义、定积分的求法、定积分的简单应用大题考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题 2、仍可能以函数为背景，以导数作工具，在函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇点命题四、典例探究 例1. 用导数定义求函数处的导数剖析：本小题考查函数在一点的导数的概念解析：点悟：利用导数定义求函数的导数应分三步：（1）求函数增量；（2）求平均变化率；（3）求极限，本题的关键是对的变形 例2. 求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）剖析：本小题考查导数的运算法则及复合函数求导法则解析：（1）（2）当时，；当（3）（4）（5）（6）点悟：熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性 例3. 已知曲线C：（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？剖析：本小题考查导数的几何意义及利用导数求切线的方法解析：（1）把代入C的方程，求得，切点为（1，-4），切线的斜率切线方程为即（2）由得即，求得即公共点为（1，-4）（切点），（-2，32），（，0）除切点外，还有两个交点（-2，32），（，0）点悟：曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确 例4. 已知函数的图象在点M（-1，）处的切线方程为求：（1）函数的解析式；（2）函数的单调区间剖析：本小题考查利用导数求曲线的切线及确定函数的单调区间解析：（1）由函数的图象在点M（-1，f（-1）处的切线方程为，知，即即解得所求的函数解析式是（2）令，解得当；当内是减函数，在内是增函数；在内是减函数点悟：设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数 例5. 已知函数在R上是减函数，求a的取值范围剖析：本小题考查已知函数的单调性，利用导数及不等式求参数的范围解析：求函数的导数；（1）当是减函数所以，当是减函数（2）当由函数在R上的单调性，可知当时，（）是减函数（3）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数综上，所求a的取值范围是点悟：因为f（x）在R上为减函数，即在R上恒成立，再解不等式即可得解本题另一解法：由，原问题转化为在R上恒成立，只需即可，现在转化为求函数的最小值本题易忽视讨论时，也为减函数 例6. 已知函数的图象在处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）求函数上的最值剖析：本小题考查利用导数求函数的最值解析：（1），而在处的切线方程为故（2），令，解得，那么的增减性及极值如下：的符号增减性+递增+极大值16递减3/20极小值驻点上的最小值为，最大值为16点悟：闭区间上的连续函数的最值可能是该区间上的极值，也可能是端点值五. 知识要点点拨（一）导数及其运算 1. 根据导数的定义，求函数在点处导数的方法：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 2. “函数在点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系（1）“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数（2）“导函数”：如果函数在开区间（a,b）内每一点都可导，就说在开区间（）内可导，这时对于区间（a,b）内每一个确定的值，都对应着一个导数，这样就在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做在开区间（a,b）内的导函数，记作或，即（3）函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值 3. 复合函数的导数（1）一般地，对于两个函数和，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数的复合函数，记作（2）复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积（二）导数的应用 1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似），也就是说在区间内是在此区间上为增函数的充分而不必要条件 2. 极值点与导数为0的点的关系（1）导数为0的点不一定是极值点如函数，在处的导数是0，但它不是极值点对于可导函数，极值点的导数必为0因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件（2）函数的导数不存在的点也可能是极值点如：函数，在处，左侧（时），右侧，当时是的极小值点，但不存在 3. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值 4. 解决生活中的优化问题应当注意的问题（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值（3）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间六. 体验高考 例1. （2005湖南，6）设，则（ ）A. B. C. D. 剖析：本题考查函数的求导及函数的周期性的基础知识答案：C解析：，周期为4，故故选C 例2. （2005江苏，14）曲线在点（1，3）处的切线方程是_剖析：通过求导得到切线的斜率即可答案：解析：时，切线方程为，即 例3. （2005全国II，22）（14分）已知，函数（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；（2）设上是单调函数，求a的取值范围剖析：本题考查函数求导，函数的单调性及函数的最值问题解析：（1）对函数求导数，得令，得从而解得其中当x变化时，的变化如下表：+00+极大值极小值即处取到极大值，在处取到极小值当为减函数，在上为增函数而当时，；当时，所以当时，取得最小值（2）当时，上为单调函数的充要条件是，即，解得综上，在上为单调函数的充分必要条件为，即a的取值范围是 例4. （2005全国III，22）（14分）已知函数（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围剖析：本题考查运用导数知识研究函数的单调性、极值及不等式问题；考查分析和解决问题的能力解析：（1）对函数求导，得令，解得当x变化时，的变化情况如下表：010所以，当时，是减函数；当时，是增函数当时，的值域为（2）对函数求导，得因为，当时，所以当时，为减函数，从而当时，有又，即当时有任给，存在使得，则即解式得；解式得又，故a的取值范围为 例5. （2005湖北，17）（12分）已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围剖析：本题考查向量以及用导数研究函数的单调性的基础知识解法一：依定义，则若在（-1，1）上是增函数，则在上可设上恒成立设函数由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在区间上恒成立，即而当时，上满足，即上是增函数故t的取值范围是解法二：依定义若上是增函数则在上可设，的图象是开口向下的抛物线，当且仅当时，在上满足，即在上是增函数，故t的取值范围是 例6. （2004天津）已知函数在处取得极值（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线的切线，求此切线方程剖析：本小题考查函数的极值及不过切点的曲线的切线解析：（1），依题意，解得若，则，故上是增函数，在上是增函数若，则，故在（-1，1）上是减函数是极大值；是极小值（2）曲线方程为点A（0，16）不在曲线上设切点为M（），则点M的坐标满足，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得切点为M（-2，-2），切线方程为点悟：借助导数知识研究极值、切线问题是导数的重要应用，是近年来考查重点【模拟试题】一. 选择题 1. （2005广东湛江）函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，图象的顶点在（ ）A. 第I象限B. 第II象限C. 第III象限D. 第IV象限 2. （2006山东济宁）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 3. （2007广东汕头）若函数在区间（，0）内单调递增，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. （2007山东泰安）若p,q为实数，则函数（ ）A. 上是减函数B. 在上是增函数C. 当时，在上是增函数D. 当时，在上是增函数 5. （2007荆州）函数上的最大值为（ ）A. 11B. 2C. 12D. 10 6. （2007北京东城）函数的图象关于原点中心对称，则在-4，4上（ ）A. 单调增B. 单调减C. 上增，0，4上减D. ，0上减，0，4上增 7. （2007山东枣庄）曲线在处的切线的斜率是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 8. （2007山东烟台）对于R上的可导任意函数，或满足，则必有（ ）A. B. C. D. 二. 填空题 9. （2005广东广州）函数的单调递减区间为_ 10. （2006山东临沂）已知，若，则_ 11. （2007山东枣庄）将长为52cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2：1及3：2的矩形，那么面积之和的最小值为_三. 解答题 12. （2007广东江门）已知函数（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数，若对于任意总存在，使得成立，求a的取值范围 13. （2007北京朝阳）已知：定义域为R的函数在区间内是增函数（1）求实数a的取值范围；（2）若的极小值为，求实数a的值 14. （2007北京东城）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：直线不可能是函数图象的切线【试题答案】 1. A因为的图象是一次函数，所以的图象是二次函数又的图象过原点，所以可设：结合的图象可知，即顶点在第一象限，故选A 2. D，由题意知，即，x不可能为整数，整点个数为0，故选D 3. B设，则，当时，在区间内单调增，则在上单调减，即当时恒有；当时，在区间上单调增，则在上单调增，即当时恒有矛盾；当时，符合题意，故选B 4. C时，此时为增函数，故选C 5. A令，即，解得而，最大值为11，故选A 6. B为奇函数，则，又故，故，故，故为减函数，故选B 7. C，故选C 8. C若恒成立，则为常函数，即；若不恒成立时，有时，时，上单调递减，在单调递增，故时，取得极小值，从而故选C 9. 答案：（0，1）（也可答0，1）解析：由解得，故的单调递减区间为（0，1） 10. 答案：解析：整理得 11. 答案：78解析：设剪成2段中其中一段为x，另一段为，由题知，面积之和为：令，则另一段为此时 12. 解析：（1）对函数求导，得令当x变化时，、的变化情况如下表：010所以，当时，是减函数；当时，是增函数当时，的值域为（2）对函数求导，得因为，当时，所以当时，为减函数从而当时有又，即当时有任给，存在使得，则即解式得；解式得又，故a的取值范围为 13. 解析：（1），依题意时，即恒成立，所以a的范围是（2）令，即，得当x变化时的变化情况如下表：00极小值极大值当时，解得 14. 解析：（1）当对恒成立的单调增区间为当时，由得由此时，函数在和是增函数，在是减函数（2）直线的斜率为假设，即此方程没有实根直线不可能是函数图象的切线用心 爱心 专心