数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题六 第4讲 导数的综合应用 Word版含解析

A级基础通关一、选择题1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是()A(2，0)(2，)B(2，0)(0，2)C(，2)(2，)D(，2)(0，2)解析：x0时，0，所以(x)在(0，)为减函数，又(2)0，所以当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，所以h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0，2)答案：D2已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1B2C3D4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零点个数为4.答案：D3若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A3f(1)f(3) B3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析：由于f(x)xf(x)，则0恒成立，因此y在R上是单调减函数，所以，即3f(1)f(3)答案：B4已知函数f(x)exln x，则下面对函数f(x)的描述正确的是()Ax(0，)，f(x)2Bx(0，)，f(x)2Cx0(0，)，f(x0)0Df(x)min(0，1)解析：因为f(x)exln x的定义域为(0，)，且f(x)ex，令g(x)xex1，x0，则g(x)(x1)ex0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(0)g(1)(e1)0，所以x0(0，1)，使g(x0)0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，则f(x)minf(x0)ex0ln x0，又ex0，x0ln x0，所以f(x)minx02.答案：B5已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)a无零点，则实数a的取值范围为()A. B.C(2e，0 D(e，0解析：依题意，f(x)，令h(x)ln x，注意到函数h(x)单调递增，且h(e)0，故当x(0，e)时，h(x)0.故函数f(x)在(0，1)和(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，作出函数f(x)的图象如下图所示令f(x)a0，得f(x)a，观察可知0ae，即ex20，f(x1)f(x2)0)，因为曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线与直线x20垂直，所以f(e)0，即0，得ke，所以f(x)(x0)由f(x)0得0x0得xe.所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值，且f(e)ln e2.所以f(x)的极小值为2.(2)由题意知对任意的x1x20，f(x1)x10)，则h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)10在(0，)上恒成立，故当x0时，kx2x恒成立，又，则k，故实数k的取值范围是.9(2019天津卷节选)设函数f(x)excos x，g(x)为f(x)的导函数(1)求f(x)的单调区间；(2)当x时，证明：f(x)g(x)0.(1)解：由已知，有f(x)ex(cos xsin x)因此，当x(kZ)时，有sin xcos x，得f(x)0，则f(x)单调递减；当x(kZ)时，有sin x0，则f(x)单调递增所以f(x)的单调递增区间为(kZ)，f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)证明：记h(x)f(x)g(x).依题意及(1)，有g(x)ex(cos xsin x)，从而g(x)2exsin x.当x时，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此，h(x)在区间上单调递减，进而h(x)hf0.所以当x时，f(x)g(x)0.B级能力提升10已知函数f(x)ln x，g(x)xm(mR)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)f(x)g(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x20)，则F(x)1(x0)，当x1时，F(x)0，当0x0，所以F(x)在(1，)上单调递减，在(0，1)上单调递增F(x)在x1处取得最大值1m，若f(x)g(x)恒成立，则1m0，即m1.(2)证明：由(1)可知，若函数F(x)f(x)g(x)有两个零点，则m1，0x11x2，要证x1x21，只需证x2F，由F(x1)F(x2)0，mln x1x1，即证lnmlnx1ln x10，令h(x)x2ln x(0x0，故h(x)在(0，1)上单调递增，h(x)h(1)0，所以x1x21.11(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.当x(0，)(，)时，f(x)0.所以f(x)在(0，)，(，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设0x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，故a2.