数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析

A级基础通关一、选择题1已知椭圆1(ab0)的离心率为，则()Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4b解析：由e，则a2c.又a2b2c2，所以3a24b2.答案：B2(2019天一联考)设双曲线C：1的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，点N在右支上，若F2MNF2NM，则|MN|()A8 B4 C8 D4解析：由F2MNF2NM，知|F2M|F2N|，又|MF2|MF1|4，|NF1|NF2|4.两式相加，得|NF1|MF1|8，故|MN|NF1|MF1|8.答案：C3已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cos ABF，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：如图所示，在AFB中，|AB|10，|BF|8，cos ABF，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cos ABF10064210836，所以|AF|6，BFA90，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF.根据对称性可得四边形AFBF是矩形所以|BF|6，|FF|10，所以2a86，2c10，解得a7，c5，所以e.答案：B4(2019长郡中学模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足F1AOAOF1(O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为()Ayx By2xCyx Dyx解析：设F2A与渐近线yx交于点M，且O，M分别为F1F2、F2A的中点，故OMF1A，则F1AF2A，OAOF1c.又F1AOAOF1，所以F1OA为正三角形，所以MOF2，故双曲线的渐近线为yx.答案：A5(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设PQ与OF交于点M，连接OP，如图所示则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得2a2，故，离心率e.答案：A二、填空题6(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3，4)，则91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，因此双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx7(2019珠海调研)已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为_解析：由已知圆心在OF的中垂线上，故圆心到准线的距离为p，所以p3，所以p4，故抛物线的方程为y28x.答案：y28x8(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)答案：(3，)三、解答题9(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)解：由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P(1，)，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2| .将m代入得k1，所以l的方程为yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以该数列的公差为或.B级能力提升11(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点如图不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22，椭圆C的方程为1.答案：B12(2019天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意2b4，得b2.又e，且a2b2c24c2，解之得a，c1.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.