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1 1课时规范练A组基础对点练1已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A.B.C(，2 D(，2)解析：f(x)x24x，由f(x)0，得x4或xf(x)，且a0，则以下说法正确的是()Af(a)eaf(0) Bf(a)f(0) Df(a)0，故 g(x)为R上的单调递增函数，因此g(a)g(0)，即f(0)，所以f(a)eaf(0)，选A.答案：A3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案：D4某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料厂的宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L2x(x0)，则L2，令L0，得x16.又x0，x16.则当x16时，L取得极小值，也是最小值，即用料最省，此时长为32(米)故选A.答案：A5某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则银行获得最大收益的存款利率为()A3.2% B2.4%C4% D3.6%解析：依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y0.048kx2kx3，故y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)因为k0，所以当0x0；当0.032x0.048时，y0.因此，当x0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益答案：A6已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，则实数m的取值范围是()A. B.C(，0 D(，0)解析：由题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解，mx2ln x在1，e上有解，即在1，e上有解，令h(x)，则h(x)，当1xe时，h(x)0，在1，e上，h(x)maxh(e)，m.m的取值范围是.故选B.答案：B7若函数f(x)xexa有两个零点，则实数a的取值范围为()AaCea0 D0a0，所以由g(x)0，解得x1，当x1时，g(x)0，函数g(x)为增函数；当x1时，g(x)0，函数g(x)为减函数，所以当x1时函数g(x)有最小值；g(1)e1.画出函数yxex的图象，如图所示，显然当a0时，函数f(x)xexa有两个零点，故选A.答案：A8当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析：当x(0,1时，得a3342，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t28t1(t1)(9t1)，显然在1，)上，g(t)0，g(t)单调递减，所以g(t)maxg(1)6，因此a6；同理，当x2,0)时，得a2.由以上两种情况得6a2，显然当x0时也成立，故实数a的取值范围为6，2答案：C9若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)0恒成立，f(x)在R上为增函数，又f(x)为奇函数，故在定义域内为增函数，f(mx3)f(x)0可变形为f(mx3)f(x)，mx3x，将其看作关于m的一次函数，则g(m)xm3x，m2,2，可得当m2,2时，g(m)0恒成立，若x0，g(2)0，若x0，g(2)0，解得3x1.答案：3x110已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_.解析：f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02,3，即a2，b3.ab5.答案：511已知函数f(x)axxln x(aR)(1)若函数f(x)在区间e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1且kZ时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解析：(1)f(x)aln x1，由题意知f(x)0在e，)上恒成立，即ln xa10在e，)上恒成立，即a(ln x1)在e，)上恒成立，而(ln x1)max(ln e1)2，a2，即a的取值范围为2，)(2)当a1时，f(x)xxln x，x(1，)，原不等式可化为k，即k1恒成立令g(x)，则g(x).令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，h(x)在(1，)上单调递增h(3)1ln 30，存在x0(3,4)使h(x0)0，即g(x0)0.即当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0.g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增由h(x0)x0ln x020，得ln x0x02，g(x)ming(x0)x0(3,4)，kg(x)minx0且kZ，即kmax3.12(20xx德州中学月考)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，解得m.故0m，综上所述，实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1)，则g (x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时 ，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意综上所述，m.B组能力提升练1若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4.答案：B2(20xx运城模拟)已知函数f(x)ln xtan 的导函数为f(x)，若方程f(x)f(x)的根x0小于1，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：因为f(x)ln xtan ，所以f(x)，令f(x)f(x)，得ln xtan ，即tan ln x设g(x)ln x，显然g(x)在(0，)上单调递减，而当x0时，g(x)，所以要使满足f(x)f(x)的根x0g(1)1，又因为00时，易知y1|ln x|与y2ax 的图象在区间(0,1)上有一个交点，所以只需要y1|ln x|与y2ax的图象在区间(1,4)上有两个交点即可，此时|ln x|ln x，由ln xax，得a.令h(x)，x(1,4)，则h(x)，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，h(e)，h(1)0，h(4)，所以a0)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，则a的取值范围是()A. B.C(1,2) D(0，)解析：f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)可知函数f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a0)有唯一的零点x0，且mx00，x0)因为函数f(x)有唯一零点x0，所以函数g(x)，h(x)的图象有唯一一个交点，即g(x)，h(x)有唯一公切点(x0，y0)，即由得x2ln x00，令(x)x2ln x0，则(1)30，(2)57ln 20，(e)e20，所以x0(2，e)，所以m2，n3，所以mn5.答案：C6若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为_解析：f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0，故实数a的取值范围为(e2,0)答案：(e2,0)7已知f(x)x2x，g(x)x32xm，若不等式f(x)g(x)对任意x4,4恒成立，则实数m的取值范围是_解析：令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)所以当4x0；当1x3时，h(x)0；当3x0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，所以实数m的取值范围为.答案：8(20xx长沙模拟)已知函数f(x)x|x2a|，若存在x1,2，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_解析：当x1,2时，f(x)|x3ax|，由f(x)2可得2x3ax2，即为x2a5，即a5；设h(x)x2，导数为h(x)2x，当x1,2时，h(x)0，即h(x)在1,2上单调递减，可得h(x)max121.即有a1.综上可得，a的取值范围是1a5.答案：(1,5)9已知f(x)ax2，g(x)2ln x，若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，试求a的取值范围解析：原式等价于方程a在区间，e上有两个不等解令(x)，由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)，().由(e)()0，所以(e)()所以(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不等解时，需a1.证明：(1)g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2)f(x)1，f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1，又由(1)知xln x1，且等号不同时取得所以(xln x)f(x)1.
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