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2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】集合A为区间，集合B为部分整数构成的集合，所以其交集中元素为整数，将集合B中元素代入集合A的表达式分别验证即可.【详解】分别将集合B中元素代入集合A的表达式中，经判断只有0、1、2成立，所以集合A与集合B的交集为.故选C.【点睛】本题考查集合的表示与集合间的关系，明确概念与计算方法，必要时可借助数轴解题.2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,=,选D.3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度【答案】D【解析】由函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，| ）的图象可得A=1， =，求得=2再根据五点法作图可得2+=，求得=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A4. 已知圆锥的高为，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设球的半径为R，则圆锥的高h=5，底面圆的半径r= ，R2=（Rh）2+r2，即R2=（R5）2+5，解得：R=3，故该球的表面积S=4R2=36，故选：B5. 抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线性质表示焦点F的坐标，再表示A、F的中点B的坐标，将其代入抛物线方程，即可求出参数p，所以B、F的坐标即可求出，由两点间距离公式求出线段长.【详解】点F的坐标为，所以A、F中点B的坐标为，因为B在抛物线上，所以将B的坐标代入抛物线方程可得：，解得：或（舍），则点F坐标为，点B的坐标为，由两点间距离公式可得.故选D.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，要求熟练掌握抛物线中焦点的坐标，求焦半径时，可以由焦半径公式求，也可以用两点间的距离求取，注意p的符号.6. 直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆心为，半径为，圆心到直线的距离，故，解得.点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线与圆相交所得弦长的求法，考查一元二次不等式的解法.直线方程含有参数，圆的圆心和半径是确定的，先求出圆心到直线的距离，代入弦长公式，可求得弦长的表达式，在根据弦长的范围求解得的取值范围.7. 某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意可该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.【详解】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，则其面积分别为：圆柱侧面积：，圆锥侧面积：圆锥的母线长为：，面积，半个球面的面积：，所以表面积为.故选B.【点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积的，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.8. 中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午到，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出小张能可看到新闻报道的时间段长度m，再求出在中午时间段可能播出的时间段长度n，由几何概型公式，即为所求.【详解】新闻报道中午时间段可能开始的时间为，时长30分钟，小张可能看到新闻报道的开始时间为，共5分钟，所以概率为.故选D.【点睛】本题考查几何概型的时间长度类型，考查运算求解能力，着重对题意的理解，若不理解题意，很容易造成错解.9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入，的值分别为，.则输出的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】执行程序框图：输入，是，是，;，是，;，是，;，否，输出.故选D.10. 若函数 （是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于A,令,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤： 确定函数f(x)的定义域；求f(x)；解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f(x)0；若函数单调递减,则f(x)0”来求解11. 函数的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式及诱导公式，将函数化简为关于的复合二次函数，通过配方，结合定义域求出最值.【详解】，配方：，由自变量取值范围可知，所以当时，函数取得最小值.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的化简与最值问题，一般最值问题分为两类，一种为化为关于三角函数的复合二次函数类型，通过配方等方式求最值，另一种为化为的形式，通过结合三角函数图像等方法求最值.12. 已知函数，若函数与图象的交点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两个函数均为奇函数向上平移一个单位所得的函数，根据奇函数的对称性可知平移前的和为0，向上平移一个单位为纵坐标均增加1，横坐标不变，所以由奇函数的性质即可得出结果.【详解】两个函数分别是由两个奇函数与向上平移一个单位得到，因为奇函数关于原点中心对称，所以两函数交点也关于原点中心对称，由此可知：两个奇函数中，由于函数向上平移了一个单位，所以纵坐标均增加了1，所以结果为m.故选B.【点睛】本题考查奇函数的性质以及函数的平移变换，当题目考查最大值与最小值之和或考查某两个函数的交点坐标之和时，要注意函数奇偶性的使用，多数是考查奇函数的中心对称性质，对此类问题保持警惕.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，是两个不共线的向量，若与共线，则实数_【答案】【解析】【分析】由两向量共线性质定理，列式令系数相等，解方程组，即可求出结果.【详解】由向量共线可得：，所以：，解得【点睛】本题考查向量的共线定理，向量共线包含两个方向，一个是坐标的性质，一个是线性关系，本题根据线性关系列式即可.14. 设，满足约束条件，则目标函数的最小值是_【答案】【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，将目标函数化为直线方程的形式，通过平移求截距取最大值时的最优解即可.【详解】由约束条件画出可行域，如下图：将目标函数化为直线斜截式：，因为z的系数为正数，则此直线过可行域内一点与y轴交点最低时，此时z取最小值，联立直线方程：解得，代入目标函数可得.【点睛】本题考查常规的线性规划问题，注意一定要确认好可行域，避免直接选择封闭区域，在分析目标函数时，注意y、z的符号问题，分清同号和异号对求最值的影响，避免出错.15. 已知满足，若，则_【答案】【解析】【分析】由正弦定理和三角形内角的余弦关系求出边BC、AC的关系，结合已知条件求出两边的边长，由两个边长和其夹角根据余弦定理，求出另一边长.【详解】由正弦定理可得，因为，所以，则由已知条件可知：，又已知，解得：，由余弦定理解得.【点睛】本题主要考查解三角形，常用的定理与公式有正弦定理、余弦定理、面积公式、两角和与第三个角的正余弦关系。要熟练掌握这些公式的应用，有时还会结合两角和差公式、二倍角公式以及辅助角公式.16. 2017年吴京执导的动作、军事电影战狼2上映三个月，以亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影.小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看战狼2，并把标识分别为A、B、C、D的四张电影票放在编号分别为，的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第个盒子里面放的是B，第个盒子里面放的是C；乙说：第个盒子里面放的是B，第个盒子里面放的是D；丙说：第个盒子里面放的是D，第个盒子里面放的是C；丁说：第个盒子里面放的是A，第个盒子里面放的是C.小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半.”可以推测，第个盒子里面放的电影票为_【答案】A或D【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有以下两种可能：当甲猜对第1个盒子里面放的是B时，第3个盒子里面放的不是C，则丁猜对第4个盒子里面放的是A，丙猜对第2个盒子里面放的是C，乙猜对第3个盒子里面放的是D；若甲猜对第3个盒子里面放的是C，则乙猜对第2个盒子里面放的是B，丙猜对第4个盒子里面放的是D，故丁猜对第3个盒子里面放的是C，综上，第4个盒子里面放的电影票为A或D，故答案为或.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知为等差数列的前项和，且， 记，其中表示不超过的最大整数，如，.（）求，；（）求数列的前项和.【答案】（1）0,1,2（2）1893【解析】试题分析：（）设等差数列的公差为，由，可得，从而可求出数列的通项公式，再根据，其中表示不超过的最大整数，即可分别求得；（）分别求出当时，当时，当时，当时，数列，的项数，即可求得数列的前200项和.试题解析：（）设等差数列的公差为由已知，根据等差数列性质可知：.，所以，.()当时， ，共2项；当时，共10项；当时，共50项；当时，共138项.数列的前200项和为.18. 已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：游客数量（百人）拥挤等级优良拥挤严重拥挤 该景区对月份的游客量作出如图的统计数据：（）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求，的值；游客数量（百人）天数1041频率（）估计该景区月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：（）某人选择在月日至月日这天中任选天到该景区游玩，求他这天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.【答案】（1），（2）120（3）【解析】【分析】由频率之和等于1，可求得b，由于6月份共30天，所以由天数之和可求得a；以每组的中间值乘以该组的天数，再将乘积相加除以30即可；根据这5天的拥挤等级，确定随机选两天的总情况数，再求出两天均为优的情况数，根据古典概型求解.【详解】（）游客人数在范围内的天数有天，故，（）由题可得游客人数的平均数为（百人）（）从天中任选两天的选择方案方法有：共种，其中游客拥挤等级均为优的有，共种，故所求的概率为.【点睛】本题考查统计中的频数与频率的计算，掌握其公式，求平均数有多种方式，可以求总人数再除以天数，或者可以直接以人数乘以频率再求和，古典概型要将情况数一一列举出才可以.19. 如图，在边长为的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（1）由三角形的中位线定理，证得，再由菱形的对角线互相垂直，证得，即可得到，再由已知可得，然后利用线面垂直的判定得到答案；（2）设，连接，结合已知可得，通过解直角三角形求得平面，然后求出梯形的面积，代入棱锥的体积公式得到答案试题解析：（1）证明：分别是边的中点，菱形对角线互相垂直，平面，平面，平面，平面，（2）设，连接，为等边三角形，在中，在中，平面，平面，平面，四棱锥的体积考点：直线与平面垂直的判定；几何体的体积的计算20. 已知函数，.（）求函数在点点处的切线方程；（）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）将代入解析式，求出切点坐标，对函数求导，将代入导函数，即可求得斜率，由点斜式方程求出切线方程；（）将不等式化简为一侧为0的形式，构造新的函数，对新函数求导分析，由于导函数正负无法直接判断，所以对导函数进行求导分析，对参数进行分类讨论，从而逐步探究函数的单调性等性质，求出参数的取值范围.【详解】（），函数在点点处的切线方程为.（），令，则，若，则，在上单调递增，在上单调递增，即，不符合题意.若，则当时，在上单调递增，在上单调递增，即，不符合题意.若，则当时，在上单调递减，在上单调递减，即，符合题意.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了切线方程的求法，以及恒成立问题，求切线有两种类型，分别为已知切点求切线和已知切线过某点求切线，本题属于较简单的前者，函数恒成立问题也有两种求解方式，一种为分离参数，另一种为将所有项化简至不等式一侧构造函数，对参数进行分类讨论分析.21. 已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，.（）当时，求的面积；（）当时，证明：.【答案】（）；（）将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得.由得，即.设，则是的零点，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以【解析】【分析】（）由椭圆关于直线的对称图形过原点，可得a、c的关系，再由a、b、c的关系，可得a、c的值，进而求得椭圆方程，由可知两线段关于x轴对称，直线AM倾斜角为，求出直线方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，进而求得三角形面积.（）用设而不求的方式，分别假设两条直线方程，并求出弦长，且两直线斜率互为负倒数，根据两弦长之间的斜率关系，得出斜率k的方程，根据函数与方程的关系，通过求导分析，证明结论.【详解】（）由题意得椭圆的焦点在轴上，椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，解得.椭圆的方程为.设，则由题意知.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为.将代入得，解得或，所以.因此的面积.（2）将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得.由得，即.设，则是的零点，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.【点睛】本题综合考查了椭圆的图像与性质，对对称考查较多，第一问比较常见的结合了a、b、c的关系进行考查，难度一般.第二问为常见的垂直与弦长为条件，证明参数取值范围，设而不求求弦长，列等式即可，要熟练掌握弦长公式的多种表示方法，考查概率较大.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数 的关系式，利用，得到的三角方程，解方程得到的值，要注意角范围试题解析：（1）由得，,，曲线的直角坐标方程为， 即；（2）将代入圆的方程得.化简得设两点对应的参数分别为，则 , ., 或23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集；（）求；（）证明：当时，.【答案】（1）（2）证明：由（）可知，所以，所以，从而有.【解析】【分析】（）由绝对值进行分段，求出各段内解集，最后取并集.（）将不等式两侧分别平方后合并，并分解因式，结合m、n的取值范围，确定式子成立即可.【详解】（）解：，由的单调性及得，或，解得或.所以不等式的解集为.（）证明：由（）可知，所以，所以，从而有.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解与证明，熟练掌握对绝对值型不等式分段讨论，对两侧均为单一不等式的问题，为了避免分情况讨论，通常采取两边同时平方的方法去进行证明.16第页
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