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材料力学扭转图6 16.1 扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用 于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用; 动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。方向相反、且作用平面与杆这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4 ）。以扭转变形为主的直杆件称为轴。若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。图6 46.2 扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则 是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为P M = 9550(6-1 )n其中：M外力偶矩(Nm );P 轴所传递的功率(KV)n轴的转速(r/min)。外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用M n表示。扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为 N m或 kN m当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。如图6-5 (a)所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为 M的外力 偶作用。为求杆任一截面 m-m的扭矩，可假想地将杆沿截面 m-m切开分成两段，考察其中任 一部分的平衡，例如图 6-5 (b)中所示的左端。由平衡条件M(F) =0可得Mn =M图65O+临一/W打图6-6扭矩正负号规定注意，在上面的计算中，我们是以杆的左段位脱离体。如果改以杆的右端为脱离体， 则在同一横截面上所求得的扭矩与上面求得的扭矩在数值上完全相同，但转向却恰恰相反。 为了使从左段杆和右段杆求得的扭矩不仅有相同的数值而且有相同的正负号，我们对扭矩的正负号根据杆的变形情况作如下规定：把扭矩当矢量，即用右手的四指表示扭矩的旋转方向， 则右手的大拇指所表示的方向 即为扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法线的 方向相同，则扭矩为正扭矩，否则为负扭矩。这种用右手确定 扭矩正负号的方法叫做右手螺旋法则。如图6-6所示。按照这一规定，园轴上同一截面的扭矩(左与右)便具 有相同的正负号。应用截面法求扭矩时，一般都采用设正法， 即先假设截面上的扭矩为正，若计算所得的符号为负号则说明 扭矩转向与假设方向相反。当一根轴同时受到三个或三个以上外力偶矩作用时，其各段横断面上的扭矩须分段应用截面法计算。623扭矩图为了形象地表达扭矩沿杆长的变化情况和找出杆上最大扭矩所在的横截面，我们通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形。此图称为扭矩图。绘制扭矩图时，先按照选定的比例尺， 以受扭杆横截面沿杆轴线的位置x为横坐标，以横截面上的扭矩Mn为纵坐标，建立 Mn X直角坐标系。然后将各段截面上的扭矩画在M n X坐标系中。绘图时一般规定将正号的扭矩画在横坐标轴的上侧，将负号的扭矩画在横坐标轴的下侧。例6-1 传递功率的等截面圆轴转速n =120rpm,轴上各有一个功率输入轮和输出轮。已知该轴承受的扭矩 Mn =450Nm 求：轴所传递的功率数。解：因为等截面圆轴上只有两个外力偶作用，且大小相等、方向相反（输入和输出功率相等）,故轴所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即M= M n=1450M = M n =1450 N m根据（6-1 ）式,二 955OPn由此求得轴所传递的功率为1450 空 18.2kNM nP =-95509550例6-2 传动轴如图6-7所示，已知主动轮的输入功率 R=20 KW三个从动轮的输出功率F2 =5 KW P3 =5 KW P4 =10 KW,轴的转速n =200 rpm。绘制轴的扭矩图。毗t伽=rn）二叭cMi40=弍阳L图6747S解：1）计算作用在主动轮上的外力偶矩M!和从动轮上的外力偶矩M2、M3、M4。M1 =9550-Pl =9550 -20955 N mn200M2 =9550邑=95505239 n mn200p5m3=9550訂 9550 云= 239 N mP10M 4 =9550丄=9550 江=478 N mn2002）求各段截面上的扭矩。截面1-1上的扭矩，由平衡方程M =0 M 2 M n1 =0解得M n1 = -M 2 = -239 N m截面2-2上的扭矩，由平衡方程M =0 M2 M3 Mn2 =0得M n2 - _M 2 - M 3 = 239 - 239 - -478 N m截面3-3上的扭矩，由平衡方程二 M=0M4-Mn3=0 M4 M3=0得M n3 = M 4 = 478 N m3）画扭矩图根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线的变化情况，画在M n x坐标系中，如图6-7所示。从图中看出，最大扭矩发生于BC段和CD内，且M max =478nm=对同一根轴来说，若把主动轮C安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将发生变化。这时，轴的最大扭矩变为：M max 955 N 可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。因此主动轮和从动轮的布局要尽量合理。6.3 扭转时的应力与强度计算6.3.1圆轴扭转时横截面上的应力为了说明圆轴扭转时横截面上的应力及其分布规律，我们可进行一次扭转试验。取一实心圆杆，在其表面上画一系列与轴线平行的纵线和一系列表示圆轴横截面的圆环线，将圆轴的表面划分为许多的小矩形，如图6-8所示。若在圆轴的两端加上一对大小相等、转向相反、其矩为M的外力偶，使园轴发生扭转变形。当扭转变形很小时，我们就可以观察到如 图6-8（b）所示的变形情况：（1 ）虽然圆轴变形后，所有与轴线平行的纵向线都被扭成螺旋 线，但对于整个圆轴而言，它的尺寸和形状基本上没有变动；（2）原来画好的圆环线仍然保持为垂直于轴线的圆环线，各圆环线的间距也没有改变，各圆环线所代表的横截面都好像是“刚性圆盘” 一样，只是在自己原有的平面内绕轴线旋转了一个角度；（3）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来轴上的小方格变成平行四边形。1 ?图6 8根据从试验观察到的这些现象，可以假设：在变形微小的情况下，轴在扭转变形时,，其大小、轴长没有改变；每个截面都发生对其它横截面的相对转动，但是仍保持为平面,形状都不改变。这个假设就是圆轴扭转时的平面假设（或称刚性平面假设）。根据平面假设，可得如下结论：（1）因为各截面的间距均保持不变，故横截面上没有正应力；（2 ）由于各截面绕轴线相对转过一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动， 出现了剪切变形，故横截面上有切应力存在；（3）因半径长度不变，切应力方向必与半径垂直；（4）圆心处变形为零，圆轴表面的变形最大。综上所述，圆轴在扭转时其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比， 由剪切胡克定律，横截面上必有与半径垂直并呈线性分布的切应力存在（见图6-9），故有.t = k。扭转切应力的计算如图 69所示，在圆轴横截面各微面积上的微剪力对圆心的力矩的总和必须与扭矩 Mn相等。因微面积dA上的微剪力.FA对圆心的力矩为 二0A，故整个 横截面上所有微力矩之和为；-.-dA，故有AMn 二；:dA 二 K dA（ 6-2）AA将I =： 2dA定义为极惯性矩，则A由此得 ：、= M n/1（ 6-3）显然，当Q = 0时，.=0 ;当Q = R时，切应力最大。令Wn = 1 R，则式（6-3 ）为-maxWn(6-4)其中，Wn 抗扭截面系数。max注意： 式（6-3 ）及式（6-4 ）均以平面假设为基础推导而得，故只能限定圆轴的 不超过材料的比例极限时方可应用。6.3.2 极惯性矩I ;，和抗扭截面系数Wn1、实心圆轴截面设圆轴的直径为d,在截面任一半径r处，取宽度为dr的圆环作为微元面积。此微元 面积dA =2二丁 dr ,如图6-10所示。图 6 10二 d432:0.1d4抗扭截面系数I pWn =d2163:0.2d3(6-5)2.空心圆轴截面设空心圆轴截面的内、的下限由0变为d，于是得到2外经分别为d和D。微元面积仍为dA = 2二丁 dr ，只是积分D223I ；,： I dA =2二 r dr二(D4 d4)32根据极惯性矩的定义I =-2 dA，得到A2I；,： ir2dA = 2：r3drA0或写成I，卫(132-4)其中为内、外径之比，即=d_ D抗扭截面系数Wn3D4、(1 一 :4)16(6-6)6.3.3 圆轴扭转强度计算为了保证受扭圆轴安全可靠地工作，必须使轴横截面上的最大切应力不超过材料的许 用切应力，即max(6-7)此即圆轴扭转时的“强度计算准则”，又称为“扭转强度条件”。对于等截面圆轴，切应力的最大值由下式确定:-maxM maxwn这时最大扭矩 M max作用的截面称为危险面。 对于阶梯轴，由于各段轴的抗扭截面系数不同,最大扭矩作用面不一定是危险面。这时，需要综合考虑扭矩与抗扭截面系数的大小，判断可能产生最大切应力的危险面。所以在进行扭转强度计算时，必须画出扭矩图。根据扭转强度条件，可解决以下三类强度问题：（1） 扭转强度校核。已知轴的横截面尺寸，轴上所受的外力偶矩（或传递的功率和转速）， 及材料的扭转许用切应力。校核构件能否安全工作。（2） 圆轴截面尺寸设计。 已知轴所承受的外力偶矩（或传递的功率），以及材料的扭转许 用切应力。圆轴的截面尺寸应满足（6-8 ）Wn J（3）确定圆轴的许可载荷。已知圆轴的截面尺寸和材料的扭转许用切应力，得到轴所承受的扭矩（6-9 ）再根据轴上外力偶的作用情况，确定轴上所承受的许可载荷（或传递功率）。例6-3 已知实心圆轴，承受的最大扭矩为 M max - 1.5 KN- m,轴的直径d 53 mm。求: 1）在最大切应力相同的条件下，用空心圆轴代替实心圆轴，当空心轴外经 D2=90mm时的内径值;2 ）两轴的重量之比。解：（1）求实心轴横截面上的最大切应力实心轴横截面上的最大切应力为T maxmax16M maxWn616 1.5 10n 533=51.3MPa（2 ）求空心轴的内径 因为两轴的最大切应力相等，故-max（空）= max（实）=51 .3 MPamax（ 空）16Mmax= 51.3 MPa由此解得16Mmax二 D； 51.3=0.94541 16 106江汇903況51.3因此，空心轴的内径d? =Q? = 0.945 90 =85.1 mm（3 ）求两轴的重量比因为两轴的长度和材料都相同，故两者的重量之比等于面积之比，即A（空）A实）D?-d?90?-85.1?d；53?_二 0.305可见，在保证最大切应力相同的条件下，空心轴的重量比实心轴轻得多。显然，采用空 心轴能减轻构件的重量、节省材料，因而更为合理。空心轴的这种优点在于圆轴受扭时，横截面上的切应力沿半径方向线性分布的特点所决 定的。由于圆轴截面中心区域切应力很小，当截面边缘上各点的应力达到扭转许用切应力时，中心区域各点的切应力却远远小于扭转许用切应力值。因此，这部分材料没有得到充分利用。若把轴心附近的材料向边缘移动，使其成为空心轴，则截面的极惯性矩和抗扭截面系数将会有较大增加，使截面上的切应力分布趋于均匀。并由此而减小最大切应力的数值，提高圆轴的承载能力。但其加工工艺较复杂，成本较高。6.3 扭转变形工程设计中，对于承受扭转变形的圆轴，除了要求足够的强度外，还要求有足够的刚 度。即要求轴在弹性范围内的扭转变形不能超过一定的限度。例如，车床结构中的传动丝杠，其相对扭转角不能太大，否则将会影响车刀进给动作的准确性，降低加工的精度。又如，发动机中控制气门动作的凸轮轴，如果相对扭转角过大，会影响气门启闭时间等等。对某些重要的轴或者传动精度要求较高的轴，均要进行扭转变形计算。圆轴扭转时两 个横截面相对转动的角度 即为圆轴的扭转变形，称为扭转角。由数学推导可得扭转角 的计算公式为(6-10 )Mnl Gl p其中 扭转角（rad ）;M n某段轴的扭矩（N m）;L相应两横界面间的距离（m）；G轴材料的切变量模量（GPa ；4I 横截面间的极惯性矩（ m ）；式中的GI二反映了材料及轴的截面形状和尺寸对弹性扭转变形的影响，称为圆轴的“抗扭刚度”。抗扭刚度GI r越大，相对扭转角 就越小。为了消除轴的长度对变形的影响，引入单位长度的扭转角示，则上式为/I Glp 兀/m二，并用度/米（/m）单位表（6-11 ）不同用途的传动轴对于 71值的大小有不同的限制，即。二称为许用单位长度扭转角(可查有关手册)，对其进行的计算称为扭转刚度计算。例6-4 图示阶梯圆轴，已知AB段直径D| = 75mm,BC段直径D = 50 mm ； A轮输入功率R =35 KW C轮的输出功率P3 =15 KW轴的转速为n= 200 rpm，轴材料的G = 80GPa, . = 60MPa,轴的二=20/1)试求该轴的强度和刚度。2)如果强度和刚度都有富裕，试分析，在不改变C轮输出功率的前提下，A论的输入功率可以增加到多大？1.57 I图 6 - 11解1 )校核轴的强度和刚度(1) 计算外力偶矩M1 =9550 =9550 Xn35200= 1671N m= 1.67kN m= 9550 =9550X15716.2 N m =0.72 kN200有力偶平衡条件M2 二 M 1 - M 3 =1.67 0.716 =0.95 kN m(2) 应用截面法计算各段的扭矩并画扭矩图AB段M n1 = M 1 = 1.67kN mBC段M n 3 二 M3 二 0.72 kN m由此画出扭矩图，女口 6-11图所示。(3 )计算应力，校核强度。从扭矩图看，AB段扭矩最大；从截面尺寸看，BC段直径最小。因而不能直接确定最大切应力发生在哪一段截面上。比较两端内的最大切应力：AB段M n11.67 106M20.2 MPaWn175316BC段M n2-2Wn20.718 106=29.2 MPan350全轴内横截面上的最大切应力为： 所以，轴的强度满足要求。(4) 计算扭转角，校核刚度。-max= 29.2MPav.二60MPa根据轴的单位长度扭转角归，由于AB和BC段的扭矩和截面都不GI相同，故需分段计算二，找出max。AB段且型。GI ,：11031.67 106 1800 103 c“0,0.39 /m80 103 754 n32BC段二归 1800 103GI :26030.716 1018010 ,.840 /m3 n480 1050 n320 /=0.84 / m:二=2/m所以轴的刚度满足要求。16BC段的扭矩不变。所以，这段轴的强度和刚度都是安2)计算A轮的最大输入功率 因为C轮的输入功率不变，即 全的，故只需根据AB段的强度和刚度条件确定这段轴所能承受的最大扭矩。而这段轴的 扭矩等于作用在A轮上的外力偶矩，由此即可求得A轮上所能输入的最大功率。根据强度条件M n1 max Wn60 晶 754.97kN. m根据刚度条件M n1 max小 GI =23 80 103754 = 8.7 kN m1800332考虑到既要满足强度要求又要满足刚度要求，故取两者中的较小者，即M nimax = 4.97kN m于是，A轮的输入功率397 10200 =104KW9550M n _ M n1max nP1 :95509550小结本章主要介绍了圆轴扭转的内力扭矩的计算和圆轴在力偶作用面垂直于轴线的平衡力 偶作用下产生的扭转变形。(1)作用在轴上的外力偶矩，通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为PM =9550n(2) 用截面法求圆轴的内力偶矩，利用力系的平衡条件列出方程求解。各截面的内 力偶矩的方向有右手螺旋法则来确定。然后绘出圆轴扭矩图。(3) 圆轴扭转时横截面上的应力，在圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距 离成正比，在圆心处为零。最大切应力发生在圆轴边缘各点处。距圆心r处的切应力最大切应力(4)圆轴扭转时的强度条件为maxWnmax对于等截面圆轴则有n maxmaxWn利用强度条件可以完成强度校核、确定截面尺寸和许用载荷等三类强度计算问题。(5) 等截面圆轴扭转时的变形计算公式为Mnl Gl p等截面圆轴扭转时的刚度条件是一二如 180 Zl Glp 兀/m1. 传动轴转速n= 250r/min，此轴上轮C输入功率为P=150kw 轮A、B的输 出功率P=50KWP=100KV为使轴横截面上的最大扭矩最小，轴上三个轮子的 布置从左到右应按顺序()安排比较合理。A C、BB、A CC、B、A2. 等截面圆轴，左段为钢，右段为铝，两端承受扭转力矩后，左、右两段（）厂A、最大剪应力T max不同，单位长度扭转角B相同厂B、最大剪应力T max相同，单位长度扭转角B不同厂C、最大剪应力T max和单位长度扭转角B都不同厂D最大剪应力T max和单位长度扭转角B都相同3. 一圆轴用碳钢制作，校核其扭转角时，发现单位长度扭转角超过了许用值。 为保证此轴的扭转刚度，采用哪种措施最有效 （）。A、改用合金钢材料厂B、增加表面光洁度厂C、增加轴的直径 D减小轴的长度4. 表示扭转变形程度的量（）。厂A、是扭转角书，不是单位长度扭转角BB、是单位长度扭转角B，不是扭转角书C、是扭转角书和单位长度扭转角B可知（）D不是扭转角书和单位长度扭转角B5. 一空心钢轴和一实心铝轴的外径相同，比较两者的抗扭截面模量,A、空心钢轴的较大B、实心铝轴的较大C、其值一样大D其大小与轴的剪切弹性模量有关ABCBB
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