2017年河北省沧州一中高三（上）10月段考数学试卷（文科）

2017届河北省沧州一中高三（上）10月段考数学试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知A=x|x+10，B=2，1，0，1，则（RA）B=（）A2，1B2C2，0，1D0，12设i是虚数单位，若复数a（aR）是纯虚数，则a的值为（）A3B1C1D33已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D14已知命题p：方程x22ax1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4给出下列命题：pq；pq；pq；pq则其中真命题的个数为（）A1B2C3D45设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD6如图，在ABC中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）ABC1D37为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位8正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）ABCD9已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A最小正周期为T=2B关于点（，）对称C在区间（0，）上为减函数D关于直线x=对称10表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）ABCD11已知函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且当x（1，1时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5上的零点的个数为（）A8B9C10D1112函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数y=log3（2cosx+1），x的值域是14若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为15一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为16观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值18已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn19设数列an满足a1=2，a2+a4=8，且对任意nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx满足f（）=0（）求数列an的通项公式；（）若bn=2（an+）求数列bn的前n项和Sn20在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且=（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为3，求a的值21已知函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（1）求a的值；（2）证明：方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根22已知函数f（x）=x（a+1）lnx（aR）（）当0a1时，求函数f（x）的单调区间；（）是否存在实数a，使f（x）x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由2016-2017学年河北省沧州一中高三（上）10月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知A=x|x+10，B=2，1，0，1，则（RA）B=（）A2，1B2C2，0，1D0，1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可【解答】解：A=x|x+10=x|x1，CUA=x|x1，（RA）B=x|x12，1，0，1=2，1故选A2设i是虚数单位，若复数a（aR）是纯虚数，则a的值为（）A3B1C1D3【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则把a（aR）可以化为（a3）i，再利用纯虚数的定义即可得到a【解答】解：=（a3）i是纯虚数，a3=0，解得a=3故选D3已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A1B2C5D1【考点】简单线性规划【分析】首先画出平面区域，z=2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为21+1=1；故选：A4已知命题p：方程x22ax1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4给出下列命题：pq；pq；pq；pq则其中真命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：方程x22ax1=0有两个实数根，aR，可得0，因此是真命题命题q：x0时，函数f（x）=x+0，因此是假命题下列命题：pq是假命题；pq是真命题；pq是真命题；pq是真命题则其中真命题的个数为3故选：C5设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1【解答】解：an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：故选：D6如图，在ABC中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）ABC1D3【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意，设=，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、的方程组，解之即可得到实数m的值【解答】解：，设=，（0）得=+m=且=，解之得=8，m=故选：A7为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y=的图象故选：A8正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】建立空间直角坐标系，利用cos=，即可得出【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA=1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，1，0），E=（1，0，1），=cos=BE与SA所成角的余弦值为故选；C9已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A最小正周期为T=2B关于点（，）对称C在区间（0，）上为减函数D关于直线x=对称【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosxsinx）sinx=sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，故选：D10表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，设正四面体棱长为a，表面积为的正四面体，4=，解得a=，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2R=，R=，球的体积为=故选：A11已知函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且当x（1，1时，f（x）=|x|，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5上的零点的个数为（）A8B9C10D11【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合当x（1，1时，f（x）=|x|，函数g（x）=，作出在区间5，5上f（x）与g（x）的图象，数形结合可得函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5上的零点的个数【解答】解：由f（x+1）=f（x），得f（x+2）=f（x+1）=f（x）=f（x），f（x）是以2为周期的周期函数，又当x（1，1时，f（x）=|x|，作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图：由图可知，函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5上的零点的个数为9个故选：B12函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）Ax|x0Bx|x0Cx|x1，或x1Dx|x1，或0x1【考点】函数单调性的性质；导数的运算【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式exf（x）ex+1的解集【解答】解：令g（x）=exf（x）ex，则g（x）=exf（x）+f（x）1对任意xR，f（x）+f（x）1，g（x）0恒成立即g（x）=exf（x）ex在R上为增函数又f（0）=2，g（0）=1故g（x）=exf（x）ex1的解集为x|x0即不等式exf（x）ex+1的解集为x|x0故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数y=log3（2cosx+1），x的值域是（，1【考点】对数函数的值域与最值【分析】利用换元法，结合三角函数和对数函数的图象和性质，即可得到函数的值域【解答】解：设t=2cosx+1，x，即0t3，y=log3t为增函数，log3tlog33=1，即y1，函数的值域为（，1，故答案为：（，114若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可【解答】解：设向量、的夹角为；因为，|2=9|2=（）2=2；即42cos=0，|=，+|cos=0cos=故答案为：15一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可【解答】解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是6边形，几何体的表面积为：23+2+（3+3+1+1+2）4=故答案为：16观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2【考点】归纳推理【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值【考点】解三角形【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算【解答】解：（1）asin2B=bsinA，2sinAsinBcosB=sinBsinA，cosB=，B=（2）cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=18已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列an的通项公式；（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列an的通项公式an=2n1；（2）Sn=2n1，bn=，数列bn的前n项和Tn=+=119设数列an满足a1=2，a2+a4=8，且对任意nN*，函数 f（x）=（anan+1+an+2）x+an+1cosxan+2sinx满足f（）=0（）求数列an的通项公式；（）若bn=2（an+）求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；导数的运算；等差关系的确定；等比关系的确定【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f（x），再利用，即可得到数列an是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an；（II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn【解答】解：（I）f（x）=anan+1+an+2an+1sinxan+2cosx，2an+1=an+an+2对任意nN*，都成立数列an是等差数列，设公差为d，a1=2，a2+a4=8，2+d+2+3d=8，解得d=1an=a1+（n1）d=2+n1=n+1（II）由（I）可得， =2（n+1）+，Sn=22+3+（n+1）+=20在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且=（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为3，求a的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A（）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a【解答】解：（）=，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，tanA=tan（B+C）=，tanA=，整理求得tan2A=1，tanA=1，当tanA=1时，tanB=2，则A，B均为钝角，与A+B+C=矛盾，故舍去，tanA=1，A=（）tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，tanB=2，tanC=3，sinB=，sinC=，cosB=，cosC=sinA=sin（B+C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=，b=a，SABC=absinC=aa=3，a2=5，a=21已知函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（1）求a的值；（2）证明：方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值（2）令，x（1，2），由，可得函数h（x）在（1，2）内一定有零点，进而证明h（x）0，可得h（x）在（1，2）上单调递增，即可得证【解答】（本题满分为12分）解：（1），由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为2，则f（1）=2，所以a+1=2，解得a=1（2）令，x（1，2），则，所以h（1）h（2）0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，可得，h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根22已知函数f（x）=x（a+1）lnx（aR）（）当0a1时，求函数f（x）的单调区间；（）是否存在实数a，使f（x）x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，构造函数（x）=a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），（1）当0a1时，由f（x）0得，0xa或1x+，由f（x）0得，ax1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+），单调减区间为（a，1）（2）当a=1时，f（x）0，f（x）的单调增区间为（0，+）（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，令（x）=a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，求导函数可得：（x）=（a+1）（1+lnx）当a+10时，在时，（x）0，在时，（x）0（x）的最小值为，由得，故当时f（x）x恒成立，当a+1=0时，（x）=1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，当a+10时，取x=1，有（1）=a1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，综上所述当时，使f（x）x恒成立2017年1月18日