上海市2021年七校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析

上海市2021年七校联考高考数学一模试卷理科解析版一、填空题本大题总分值56分本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否那么一律得零分.1方程4x=2x+11的解是2增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为3在x1+6的展开式中，含x3项系数是用数字作答4假设关于x的不等式2x23x+a0的解集为m，1，那么实数m=5假设，那么它的反函数是f1x=6设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，那么p的值为7数列，那么a1+a2+a3+a4+a99+a100=8函数fx=那么使ffx=2成立的实数x的集合为9执行如下图的程序框图，假设p=0.8，那么输出的n=10曲线y=Asin2x+kA0，k0在区间上截直线y=4与y=2所得的弦长相等且不为0，那么A+k的取值范围是11假设边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，那么的最大值为12设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，=0；当两条棱异面时，=1；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，那么数学期望E=13设数列an是首项为0的递增数列，满足：对于任意的b0，1，fnx=b总有两个不同的根，那么an的通项公式为14如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP=60，那么A，P两点间的球面距离为二、选择题本大题总分值20分本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否那么一律得零分.15设a、b均为非零实数，那么“是“的什么条件？A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16a是实数，那么函数fx=acosax的图象可能是ABCD17数列an满足，那么的整数局部是A0B1C2D318在直角坐标系中，如果不同的两点Aa，b，Ba，b都在函数y=fx的图象上，那么称A，B为函数fx的一组关于原点的中心对称点A，B与B，A看作同一组，函数gx=，关于原点的中心对称点的组数为A0B1C2D3三解答题本大题总分值74分本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.19函数fx=cosxsinx+cosx1假设0，且sin=，求f的值；2求函数fx的最小正周期及单调递增区间20设在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BAC=90，E，F依次为C1C，BC的中点1求异面直线A1B、EF所成角的大小用反三角函数值表示；2求点B1到平面AEF的距离21椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B0，11求椭圆的标准方程；2直线l：y=kx+2交椭圆于P，Q两点，假设点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围22函数fx=ax+|x|x0aR1假设a=，求y=fx的单调区间；2假设关于x的方程fx=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；3在2条件下，假设x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示23设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点n，都在函数fx=x+的图象上1计算a1，a2，a3，并归纳出数列an的通项公式；2将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10；a11，a12，a13，a14，a15，a16，a17，a18，a19，a20；a21，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5+b100的值；3设An为数列的前n项积，假设不等式Anfa对一切nN*都成立，求a的取值范围2021年上海市七校联考高考数学一模试卷理科参考答案与试题解析一、填空题本大题总分值56分本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否那么一律得零分.1方程4x=2x+11的解是x=0【分析】由得2x222x+1=0，由此能求出原方程的解【解答】解：4x=2x+11，2x222x+1=0，解得2x=1，x=0故答案为：x=0【点评】此题考查方程的解的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用2增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5【分析】根据余子式的定义可知，M21=，计算即可得解【解答】解：由题意得：M21=5，故答案为：5【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道根底题3在x1+6的展开式中，含x3项系数是15用数字作答【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：1+6展开式的通项为Tr+1=C6rr=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，在x1+6的展开式中，含x3项系数是：15故答案为：15【点评】此题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具4假设关于x的不等式2x23x+a0的解集为m，1，那么实数m=【分析】由不等式2x23x+a0的解集为 m，1可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根根据韦达定理便可分别求出m和a的值【解答】解：由不等式2x23x+a0的解集为 m，1可知：x=m，x=1是方程2x23x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1【点评】此题考查一元二次不等式的解法5假设，那么它的反函数是f1x=【分析】由y=x0，解得：x=，把x与y互换即可得出【解答】解：由y=x0，解得：x=，把x与y互换可得：y=故答案为：【点评】此题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，那么p的值为8【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解【解答】解：双曲线，c=2，双曲线的两个焦点坐标分别为F12，0，F22，0，抛物线x2=py的焦点F，0与双曲线的上焦点重合，=2，p=8故答案为：8【点评】此题考查抛物线中参数的求法，是根底题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用7数列，那么a1+a2+a3+a4+a99+a100=5000【分析】由条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算【解答】解：a1+a2+a3+a4+a99+a100=a1+a3+a99+a2+a4+a100=0+2+4+98+2+4+100=4950+5150=5000故答案为5000【点评】此题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力8函数fx=那么使ffx=2成立的实数x的集合为x|0x1，或x=2【分析】结合函数的图象可得，假设ffx=2，那么fx=2 或 0fx1假设fx=2，由函数fx的图象求得x得范围；假设 0fx1，那么由fx的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求【解答】解：画出函数fx= 的图象，如下图：故函数的值域为，01，+由ffx=2 可得 fx=2 或 0fx1假设fx=2，由函数fx的图象可得 0x1，或 x=2假设 0fx1，那么由fx的图象可得x综上可得，使ffx=2成立的实数x的集合为x|0x1，或x=2，故答案为x|0x1，或x=2【点评】此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，表达了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题9执行如下图的程序框图，假设p=0.8，那么输出的n=4【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=0.8时，n+1的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=0.8时，n+1的值当n=2时，当n=3时，此时n+1=4故答案为：4【点评】根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比拟多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模10曲线y=Asin2x+kA0，k0在区间上截直线y=4与y=2所得的弦长相等且不为0，那么A+k的取值范围是4，+【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=2所截的弦长相等且不为0，推断出k=1，A=3答案可得【解答】解：曲线y=Asin2x+kA0，k0的周期为T=，被直线y=4和y=2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k=1，A=3那么A+k4，故答案为：4，+【点评】此题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asinx+BA0，0，周期为T=，平衡位置为y=B，ymax=A+B，ymin=A+B，属于中档题11假设边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，那么的最大值为18+12【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成的三角函数，求出最大值【解答】解：ABC是等边三角形，三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A2，0，B，3设M2cos，2sin，那么，=18cos+6sin+18=12sin+18的最大值是18+12故答案为18+12【点评】此题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题12设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，=0；当两条棱异面时，=1；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，那么数学期望E=【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，那么它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望E【解答】解：假设两条棱相交，那么交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，P=0=，假设两条棱平行，那么它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，P=，P=1=1P=0P=，随机变量的数学期望E=1+=故答案为：【点评】此题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用13设数列an是首项为0的递增数列，满足：对于任意的b0，1，fnx=b总有两个不同的根，那么an的通项公式为【分析】根据条件确定an+1an=n，利用叠加可求得an的通项公式【解答】解：a1=0，当n=1时，f1x=|sinxa1|=|sinx|，x0，a2，又对任意的b0，1，f1x=b总有两个不同的根，a2=f1x=sinx，x0，a2=又f2x=|sinxa2|=|sinx|=|cos|，x，a3对任意的b0，1，f1x=b总有两个不同的根，a3=35分 又f3x=|sinxa3|=|sinx3|=|sin|，x3，a4对任意的b0，1，f1x=b总有两个不同的根，a4=66分由此可得an+1an=n，an=a1+a2a1+anan1=0+n1=故答案为：【点评】此题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题14如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP=60，那么A，P两点间的球面距离为【分析】由题意求出AP的距离，然后求出AOP，即可求解A、P两点间的球面距离【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，所以CD平面AOB，因为BOP=60，所以OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE=R，AP=R，AP2=OP2+OA22OPOAcosAOP，R2=R2+R22RRcosAOP，cosAOP=，AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为故答案为：【点评】此题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力二、选择题本大题总分值20分本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否那么一律得零分.15设a、b均为非零实数，那么“是“的什么条件？A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当b=1，a=1时，满足，但不成立假设，那么，成立“是“成立的必要不充分条件应选：B【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决此题的关键16a是实数，那么函数fx=acosax的图象可能是ABCD【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果【解答】解：函数fx=acosax，因为函数fx=acosax=acosax=fx，所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：，所以a=2，所以B不正确，C正确应选C【点评】此题是根底题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题17数列an满足，那么的整数局部是A0B1C2D3【分析】由题意可知，an+11=anan1从而得到，通过累加得：m=+=2，an+1an=0，an+1an，可得：a2021a2021a32，1m2，故可求得m的整数局部【解答】解：由题意可知，an+11=anan1，m=+=2，an+1an=0，an+1an，a2021a2021a32，1m2，故可求得m的整数局部1故答案选：B【点评】此题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式18在直角坐标系中，如果不同的两点Aa，b，Ba，b都在函数y=fx的图象上，那么称A，B为函数fx的一组关于原点的中心对称点A，B与B，A看作同一组，函数gx=，关于原点的中心对称点的组数为A0B1C2D3【分析】利用定义，只要求出gx=sin，x0，关于原点对称的函数hx=sin，x0，观察hx与gx=log2x+1，x0的交点个数，即为中心对称点的组数【解答】解：由题意可知gx=sin，x0，那么函数gx=sin，x0，关于原点对称的函数为hx=sin，x0，那么坐标系中分别作出函数hx=sin，x0，gx=log2x+1，x0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数gx=关于原点的中心对称点的组数为1组应选：B【点评】此题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决此题的关键三解答题本大题总分值74分本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.19函数fx=cosxsinx+cosx1假设0，且sin=，求f的值；2求函数fx的最小正周期及单调递增区间【分析】1利用同角三角函数关系求得cos的值，分别代入函数解析式即可求得f的值2利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间【解答】解：10，且sin=，cos=，f=cossin+cos，=+=2fx=cosxsinx+cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+，T=，由2k2x+2k+，kZ，得kxk+，kZ，fx的单调递增区间为k，k+，kZ【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用考查了学生对根底知识的综合运用20设在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BAC=90，E，F依次为C1C，BC的中点1求异面直线A1B、EF所成角的大小用反三角函数值表示；2求点B1到平面AEF的距离【分析】1连接C1B，因为C1BEF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等2利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，那么各点坐标为A10，0，2，B2，0，0，B12，0，2，E0，2，1，F1，1，02分1，6分2设平面AEF的一个法向量为，由得令a=1可得10分，13分点B1到平面AEF的距离为14分【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算21椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B0，11求椭圆的标准方程；2直线l：y=kx+2交椭圆于P，Q两点，假设点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围【分析】1由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；2设Px1，y1，Qx2，y2，联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围【解答】解：1由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；2设Px1，y1，Qx2，y2联立，消去y，得1+4k2x2+16k2x+16k24=0，*依题意：直线l：y=kx+2恒过点2，0，此点为椭圆的左顶点，所以x1=2，y1=0 ，由*式， ，得y1+y2=kx1+x2+4k，由，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得PBQ为钝角或平角，即即，整理得20k24k30，解得【点评】此题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题22函数fx=ax+|x|x0aR1假设a=，求y=fx的单调区间；2假设关于x的方程fx=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；3在2条件下，假设x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示【分析】1将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；2利用导数法，分类讨论，不同情况下y=fx的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；3韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t【解答】解：1当a=时，函数fx=x+|x|=故y=fx的单调递增区间为0，1，单调递减区间为1，+；2fx=ax+|x|=，fx=，当a1时，y=fx的单调递增区间为0，1，单调递减区间为1，+，不合题意当a1时，fx在0，上单调递减，在，1上单调递增，在1，上单调递减，在，+上单调递增，又由f=f=，f1=2a，方程fx=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：t2a，a1；3fx=t即，或，即a+1x2tx+a1=0，或a1x2tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x2x3=1，x1x4=1，x1x2x3x4=1，假设x1，x2，x3，x4成等比数列，那么x1=x23，x1x2=x24=，x1+x2=，x2=，+3=，解得：t=+a1【点评】此题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题23设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点n，都在函数fx=x+的图象上1计算a1，a2，a3，并归纳出数列an的通项公式；2将数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10；a11，a12，a13，a14，a15，a16，a17，a18，a19，a20；a21，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为bn，求b5+b100的值；3设An为数列的前n项积，假设不等式Anfa对一切nN*都成立，求a的取值范围【分析】1由可得，即分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜测an2由an=2n可得数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；22，24，26，28，30，32，34，36，38，40；42，每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80代入可求3因为， ，假设成立设，那么只需即可利用gn的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：1因为点在函数的图象上，故，所以令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6由此猜测：an=2n2因为an=2nnN*，所以数列an依次按1项、2项、3项、4项循环地分为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20；22，24，26，28，30，32，34，36，38，40；42，每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 b100=68+2480=1988又b5=22，所以b5+b100=20213因为，故，所以又，故对一切nN*都成立，就是对一切nN*都成立设，那么只需即可由于=，所以gn+1gn，故gn是单调递减，于是令，即，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切nN*都成立的实数a的取值范围是【点评】此题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大小项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查