数列知识点归纳及例题分析报告

数列知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式：（1）0，-3,8，-15,24 , 21,211,2111,21111,3,1,-,-,210 172. an与Sn的关系：an；a1,( n=1)Sn Sn,(n 王 2)注意： 强调n =1,n _2分开，注意下标;an与Sn之间的互化（求通项）3 n =1例2:已知数列an的前n项和Sn=/，求an.n2 +1, n 223. 数列的函数性质：（1） 单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法（2）最大（小）项问题： 单调性法； 图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 12an ,0 兰 an 兰二3例3:已知数列an满足an十才12，a-，求az 2an-1,二 can v15L.2二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列定义an*an=d ( d 是常数 n= 1,2,3，)=q （ q是常数，且q式0 ， ann = 1,2,3，）通项 公式an =啊 + (n T )d推广：an =am 十(n m )dn A.an = a1q推广：an=amqnum求和 公式Sn=na1+n(nT)da1+an)2 2S n =站(q = 1)a/1-q ) aanq1十2(qTi 1 q1 q中项 公式A n*2 “卡(n,k N ,n k0)G = 士Jan乂an你(n,k N*,n k 0 )重要 性质1、等和性：am +an =a+as1、等积性：am an = ar aS(m, n,r,sw N*,m + n = r +s)(m, n,r,s N*,m + n = r + s)2、（第二通项公式）an =am+（n_m）d2、（第二通项公式） a* =amqn及d =為一amn m及qn= an3、从等差数列中抽取等距离的项组成am的数列是一个等差数列。3、从等比数列中抽取等距离的项组成的如：6444,60,” （下标成等差数列）数列是一个等比数列。如: aa4, a?, Bo,（下标成等差数列）4、Sn,S2n Sn,S3n S2n 成等差数歹U5、1 例4 （等差数列的判定或证明）：已知数列an中，a , an = 2-（ n2, n an 11 N），数列bn满足 bn=（ n N） an 1（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.1 * 1（1）证明2 （n2, n N）, bn=-.an -1an 1L是等差数列4、Sn,S2n Sn,S3n S2n 成等比数列。n（仅当公比q = -1且n为偶数时，不成立）1.定义：an an 1 = d ( n2) = an是1.定义：an -q（n2）=如是等比数等差数列anJ2.等差中项.2q+1 an+ an+ 2= an疋列等差数列2.等比中项：等价3.通项公式：a. =kn + p （ k, p为常数）an* - an * an七(a* 式 0) = a*疋等比数a 疋等差数歹【I列条件0 an是等差数列4.前 n 项和：&=An 2+B n ( A,B 为常3.通项公式：an=cqn （c,q式0且为常数）二an是等差数列数）二an是等比数列4.前n项和：Sn = k，qn - k （ k,q鼻0且为 常数）二an是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幕值等比。/ n2 时，bn bn1 =1an 11an 1 1例题:1 11an 1 12- 1 an 1 an 1_=一=1.an-1 1 an-1 15数列bn是以一为首项，1为公差的等差数列.712 解 由(1)知，bn= n q,则 an= 1 + = 1 + 2n 7，2设函数 f(x)= 1+2x7,易知f (x)在区间一X,-和,+内为减函数.2丿匕丿当n = 3时，an取得最小值一1;当n = 4时，an取得最大值3.例5 (等差数列的基本量的计算)设 a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差 数列an的前n项和为S，满足SS + 15= 0.(1)若 S5 = 5,求 S6及 a1求d的取值范围.15解(1)由题意知 S6= 3, ae= S6 S5= 8.所以柚+ 10d= 5,a1 + 5d= 8.解得 a1= 7,所以 S6= 3, a1= 7.方法一 SeS6 + 15= 0,- (5a1 + 10d)(6 a1 + 15d) + 15= 0,即 2a1 + 9da1 + 10d + 1 = 0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以 = 81d2 8(10d2+ 1) = d2 8 0,解得 d2 2.方法二t S5S6 + 15= 0, (5a1+ 10d)(6 a1+ 15d) + 15= 0,9da1+ 10d2 + 1 = 0.故(4a1+ 9d)2 = d2 8.所以 d2 8.故d的取值范围为d2 2.例6 (前n项和及综合应用)(1)在等差数列an中，已知a1 = 20,前n项和为 S,且S= S5,求当n取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值； 已知数列an的通项公式是an= 4n 25,求数列| an|的前n项和.解方法一一 T a1= 20, So= S5, 10X 20 + 9d= 15X 20+ 15；叫,(5)565-an = 20+ ( n 一 1) X 3 I 一 3门 + -3. ai3= 0,即当 nw 12 时，an0, n14 时，an0,12 x 11 f 5、 当n= 12或13时，S取得最大值，且最大值为S13 Si2 12X 20+2 X 空 130.5 方法二 同方法一求得d= 3.cn n 15、5 2 1255( 25 3 1252 i 3丿 662 丿 24T n N，二当n= 12或13时，S有最大值，且最大值为 S12 S3 130.(2)an=4n25， an+1=4( n+ 1) 25，-an+1 an= 4 d，又 a1 = 4 X 1 25 21.所以数列an是以一21为首项，以4为公差的递增的等差数列.an= 4n 25 0，1 1由得n 2时，其前n项和&满足an冬，则”2Sn -11 n=13(n 2)J -4n2例9已知数列C中，例 10 在数列an中,印=2 , an+=an+ln(1+1)，则 an 2十 . n例11设、3b是4 - a和1 a的等比中项，则a+3b的最大值为 2 .例12若数列1,2cos 9 , 2 2cos2B ,23cos3 9，前100项之和为0,则9的值为/2k 二 _%k Z 、(3)例13 ABC的三内角成等差数列，三边成等比数列，则三角形的形状为等边 三角形_三、数列求和：(1)倒序相加法如：已知函数f(x)(2)错位相减法:112廿m(x R)，求 Sm = f( ) f()川 f() mm4 ?是等比数列。4x 2nbn 其中 an是等差数列,(3)裂项相消法:形如an(An B)(A n C)(4)拆项分组法:形如an-cn ,如：an =2n 3n ,6n -52n(n为奇数)(n为偶数)ann2(一1) n练习:1、数列1 ,12A.2n12 32n的前n项和为(B )2n 12n 111112、数列1丄,3丄,5丄,7丄,前n项和口 Sn248163、数列、an *的通项公式为an二,贝U Sl00=1111o4、设 S =-，且 Sn Sn 1 二，则 n =. 62612 n(n 十1 )45、设n，N*，关于n的函数f (n) =(-1)心n2,若a f (n) f(n 1)，则数列务前 100项的和 a1+a2+a3 + +a1o =答案：100 .解答：an = f(n 厂 f (n 1) =(-1)2 n2 (-1)n (n 1)2 =(-1)n (n 1)2 - n2,=(T)n(2n 1),所以 6 a2 a3 a100 = (-3)5(-7) 9(-199)2012 50 = 100 .四、求数列通项式(1)公式法:an 1an2an 1(2)累加法：形如an -a*=f( n)( n_2)或an = an f( n)，且f(n)不为常数(3) 累乘法：形如an =anf(n)(n _ 2) 且 f(n)不为常数a1,( n = 1)Sn Sn , (n 兰 2)(4) 待定系数法：形如an/kan b,(k=0,1,其中a1 =a)型(5) 转换法：已知递推关系f(Sn，an)=0 Sn a.解题思路：利用ana1,( n =1)Sn - Sn J. ,(n 一 2)变化(1)已知 f(SnJ,anJH0 ；(2)已知 f(Sn,Sn -SnG =0(6) 猜想归纳法(慎用)练习：考点三：数列的通项式1、在数列an 中，前n项和Sn = 4n2 - n -8 ,则通项公式an =3、已知数列的前n项和Sn =3 2n，则an二n 二 1n _224、 已知数列 Gn 匚，3=2， an 1 = an 3n 2，则 an = n ,(n N*)5、在数列 匕中，& = 2,an卅=an +lg 1 +1 | ( nN* )，则 an =I n丿6、如果数列aj 满足 a1 =3, a“ -a“ 1 =5anan 彳(n，N )，则7、an满足 ，a“3，则 an =13n -28、已知数列a的首项a2，且an2an -1，则通项公式a2n 19、若数列订鳥满足q =2,an厂3an 2 n，N*，则通项公式an =310、如果数列a 啲前n项和Sn Jan -3 ,那么这个数列的通项公式是(D )2A. an =2(n2 n 1)B. an =3 2nC. an =3 n 1D. an = 2 3n五、数列应用题：等差数列模型1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更 新年限为。30年2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：甲公司：第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司：第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上 递增5%.设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：(1) 若该人打算连续工作n年，则在第n年的月工资收入分别是多少元？(2) 若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家 公司？为什么？(精确到1元)解：(1)设在甲公司第n年的工资收入为an元，在乙公司第n年的工资收入为bn 元则an =230n 1270，0 = 2000 1.05nJ (2)设工作10年在甲公司的总收入为S甲，在甲公司的总收入为S乙S甲二(10 1500 45 230) 12 =3042002000(1 -1.05n)1-1.0512 ： 301869由于S甲S乙，所以该人应该选择甲公司.等比数列模型例 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展1旅游产业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年度减少-，5本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预 计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 丄。4(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an、bn的表达式;（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（精确到整数）125参考解答:(1) 800 十800=八800nI 5丿=800 厂124-n(1、+400 1 + I4丿= 4000 卸0=400 +40。1+1+400一nI 4丿-400= 1600 冋5 15丿15丿-怕丿-（2）解不等式bn Vn，得n5,至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.六、2017年高考题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2017年新课标I ）记Sn为等差数列an的前n项和.若a4 a 24 ,& =48，则an的公差为（）A1B.2C.4D.82. （ 2017年新课标U卷理）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A1盏B.3盏C.5盏D.9盏3. （2017年新课标川卷理）等差数列！an的首项为1，公差不为0 .若a2,a3,a6成等比数列，贝U :a,前6项的和为（）A-24 B.-3C.3D.84. （2017年浙江卷）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“ d 0 ”是“ S4 S6 2S5 ”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. （2017年新课标I ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活 动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,124,8,1,2,4,8,16，其中第一项是2，接下来的两项是2,21，再接 下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N .100且 该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）6. （2017年北京卷理）若等差数列曲和等比数列bj满足a1- -1, a4 = b4 = 8，a2b27. （2017年江苏卷）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为S.，已知=7，S6 =学，贝U a8 =448. （ 2017年新课标U卷理）等差数列的前n项和为Sn， a3 =3， S4 -10，n 1则7丄二.心Sk9. （2017年新课标川卷理）设等比数列 春 满足aa-1,aa -3，则a4 =.三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）10. （ 2017年新课标U文）已知等差数列an前n项和为&，等比数列bn前n项 和为 Tn =-1,4=1, a2b2 =2.（）若a3b5，求bn的通项公式；（2） 若T3 =21，求 S3.11. （2017年新课标I文）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2 = 2,S3 6.（1）求a?的通项公式；（2）求Sn，并判断 SnH1, Sn , Sn2 是否成等差数列。12. （ 2017年全国川卷文）设数列 曲满足a1 3a2 - + 2n-1 a 2n（1）求数列加的通项公式；（2）求数列的前n项和;*13. （2017年天津卷文）已知a.为等差数列，前n项和为Sn（n，N ） , g是首项为2的等比数列，且公比大于0 ,d d 二 12, bj 二玄4 - 2a, S11 11 匕4 .（1）求an和bn的通项公式;（2）求数列a2nbn的前n项和（nN*）.14. （2017 年山东卷文）已知an是各项均为正数的等比数列,且aa?二 6, aa2 二 a3.（1）求数列an的通项公式;（2） bn为各项非零等差数列，前n项和Sn,已知S2n 1二bnbn .1,求数列前nlanj项和Tn15. （2017年天津卷理）已知an为等差数列，前n项和为Sn（ n，N ”）, bn是首 项为2的等比数列，且公比大于 0 , b2 b3 -12 , b3 -a2a1, S1=11b4.（1） 求 an和bn的通项公式；（2）求数列a2nb2nj的前n项和（n N ）.16. （2017年北京卷理）设an和bn是两个等差数列，记Cn =maxbi 印n,b2 a?n, ,bn a.n (n =1,2,3,),其中maxxix,Xs表示,X2，,x$这s个数中最大的数.(1) 若an =n , bn =2n-1,求“心的值，并证明Cn是等差数列；(2) 证明：或者对任意正数 M，存在正整数m，当n 一 m时，Cn . M ;或者存n在正整数m，使得陥务1,.2,是等差数列.17. (2017年江苏卷)对于给定的正整数k，若数列an满足：an上-an 11 - ani an | an kd - an -k =2kan 对任意正整数 n(n . k)总成立，则称 数列an是“ P(k)数列”.(1) 证明：等差数列an是“ P(3)数列”；(2) 若数列an既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明：an是等差 数列.18. (本小题满分12分)已知Xn是各项均为正数的等比数列，且 XX2 =3,X3 -X2 =2.(I)求数列Xn的通项公式；(U)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点科P(X1,1), P(X2,2),，Pn+(Xn* n+1)得到折线 RR Pn 卅，求由该折线与直线y nOXHXjXHXn彳所围成的区域的面积Tn.19. (2017 年浙江卷)已知数列Xn满足：X1 =1, Xn =Xn 1 Tn(Xn(n，N ).证明：当n N*时，X X *11(1) 0：Xn：Xn ；( 2) 2和-Xn才；(3)盯空 乞尹