求积分的方法毕业论文

目 录 摘 要1关键词1Abstract1Keywords1前 言11.不定积分的求法11.1不定积分的换元法11.2不定积分的分部积分法31.3有理函数的不定积分41.4三角函数有理式的不定积分81.5某些无理根式的不定积分92.定积分的求法122.1用定积分定义证明与计算定积分122.2牛顿莱布尼茨公式132.3利用递推关系或解方程132.4利用被积函数的某些性质142.5利用区间可加性152.6反常积分的求法152.6.1利用定积分的方法152.6.2利用欧拉积分17参考文献1818求积分的方法学生姓名：陈晓 学号：20065030180数学与信息科学学院 数学应用数学指导老师：郭淑利 职称：副教授摘 要：本文较系统的讨论了不定积分，定积分（包含反常积分）的各种求法。并从一些实例说明定义，性质及定理的如何应用。关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法；定积分；反常积分The methods of calculating integrationAbstract: This article discusses systemly the methods of calculating indefinite integral, the definite integra(including improper integration). and we give some examples to show how to use the definition, properties and theorems to solve some actual problems.Keywords: indefinite integral; integration by substitution; integration by parts; definite integral; improper integration.前言积分是数学分析中的一个极为重要且应用广泛的概念，它是数学分析的主要研究对象之一，也是数学其他分支、物理学以及工科许多课程的重要的理论工具。积分包括不定积分和定积分（含反常积分），本文先阐述了各种具体积分方法的定义及基本性质，辅以典型的例题，归纳总结了具体积分的常见的计算方法。1.不定积分的求法1.1不定积分的换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法定理1(换元积分法) 设g()在上有定义，在上可导，且，并记(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数，即 （1）(ii) 又若则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数F()时，g()在上也存在原函数G()，且G()=，即 （2） 证 （i） 用复合函数求导法进行验证： 所以以为其原函数，(1)式成立 ( ii ) 在的条件下，存在反函数，且 于是又能验证（2）式成立：上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).也可把它写成如下简便形式： 例1 求解 解法一采用第一换元积分法： 解法二采用第二换元积分法(令)： 1.2不定积分的分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法定理2（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并有= （1） 证 由 或 ，对上式两边求不定积分，就得到(1)式 公式(1)称为分部积分公式，常简写作例2 求和解 ，.由此得到解此方程组，求得1.3 有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为， (1)其中，为非负整数，与都是常数，且， 若，则称它为真分式；若，则称它为假分式由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)因而问题归结为求那些部分分式的不定积分为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下第一步 对分母在实系数内作标准分解： ， （2）其中均为自然数，而且第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是对每个形如的因式，它所对应的部分分式是把所有部分分式加起来，使之等于(至此，部分分式中的常数系数尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数例3 对作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下： 部分分式分解的待定形式为 （3）用乘上式两边，得一恒等式+ +然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：求出它的解：，并代人(3)式，这便完成了的部分分式分解：上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代例如可将的某些特定值(如的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值对于上例，若分别用和代人(4)式，立即求得于是（4）式简化成为为继续求得，还可用的三个简单值代人上式，如令，相应得到由此易得这就同样确定了所有待定系数 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：；对于，已知对于，只要作适当换元(令)，便化为 （5）其中当时，（5）式右边两个不定积分分别为 ， （6）当时，（5）式右边第一个不定积分为 .对于第二个不定积分，记可用分部积分法导出递推公式如下： 经整理得到 （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令，就完成了对不定积分（II）的计算1.4 三角函数有理式的不定积分由、及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于、的有理式，并用表示。是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。这是因为 （1） (2) (3) 所以例4 求解 令，将(1)、(2)、(3)代人被积表达式，注意 上面所用的变换对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的例5 求解 由于,故令,就有 通常当被积函数是，及的有理式时，采用变换往往较为简便其它特殊情形可因题而异，选择合适的变换1.5 某些无理根式的不定积分1.5.1 型不定积分对此只需令，就可化为有理函数的不定积分例6 求.解 令则有 1.5.2 型不定积分(时，时）由于，若记，则此二次三项式必属于以下三种情形之一：.因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一：当分别令后，它们都化为三角有理式的不定积分例7 求解解法一按上述一般步骤，求得 由于 因此 解法二 若令，则可解出于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分： 注1 可以证明 所以两种解法所得结果是一致的此外，上述结果对同样成立注2 相比之下,解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理形式(而解法一通过三次换元才化为有理形式).如果改令,若，还可令这类变换称为欧拉变换.至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的例如等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示(这个结论证明起来是非常难的，刘维尔(liouville)于1835年作出过证明)因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数这类非初等函数可采用定积分形式来表示2. 定积分的求法不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题。求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是则是某种特殊和式的极限，它们之间既有区别又有联系。定义 设是定义在a，b上的一个函数，J是一个确定的实数。若对0，总存在某一正数,使得对于a，b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，则有，则称函数在a，b上可积或Riemann可识。数J称为在a，b上的定积分或Riemann积分2.1 用定积分定义证明与计算定积分定积分的定义已经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但比较复杂。如果题目没有明确要求，我们一般不采用这种解法2.2 牛顿莱布尼茨公式用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿-莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理3 若函数 在 上连续，且存在原函数 ，则 在 上可积，且这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为证 给定任意一个分割：， ，这里，用了Lagrange 中值定理。，由Cantor 定理，在一致连续，所以，只要，就有。于是，当时，对，有。例 8 利用牛顿莱布尼茨公式计算下列定积分1） 2）解：1) 2）先用不定积分法求出的任一原函数，然后完成定积分计算：2.3 利用递推关系或解方程例9 计算和解 当时，用分部积分求得 移项整理后得到递推公式：由于重复应用递推式(11)便得令，可得因而这两个定积分是等值的2.4 利用被积函数的某些性质（周期性、对称性等）例10 设f在解 1）2）同理可得，证法同上.例11 设f为上以p为周期的连续周期函数，证明对任何实数a，恒有2.5 利用区间可加性例12 计算定积分解 2.6 反常积分的求法在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，定义1 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积如果存在极限 则称此极限 为函数 在 a，+)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 并称收敛如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称发散由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来2.6.1 利用定积分的方法例13 计算无穷积分：解 任取实数，讨论如下两个无穷积分： 和 由于 因此这两个无穷积分都收敛由定义1， 注 由于上述结果与无关，因此若取，则可使计算过程更简洁些定义2 设函数定义在区间 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间 上有界且可积如果存在极限 ，则称此极限为无界函数 在 ( 上的反常积分，记作 并称反常积分收敛如果极限(5)不存在，这时也说反常积分发散在定义2中，被积函数在点近旁是无界的，这时点称为的瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分。类似地，可定义瑕点为时的瑕积分 其中在有定义，在点的任一左邻域内无界，但在任何上可积.若的瑕点，则定义瑕积分其中在上有定义，在点的任一邻域内无界，但在任何和)上都可积当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的又若、两点都是的瑕点，而在任何上可积，这时定义瑕积分其中为()内任一实数当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的例14 计算瑕积分的值解 被积函数在上连续，从而在任何上上可积，为瑕点依定义2求得2.6.2 利用欧拉积分欧拉积分是两类特殊的含参量的广义积分，在应用中经常出现，它们分别是定义 含参量积分： (1) (2) 统称为欧拉积分，其中函数(1)又称为格马（）函数（或写作函数），函数(2)后者称为贝塔（）函数（或写作B函数）。1) 递推公式： 2) 3) （例15 计算广义积分解 令，于是，参考文献：1 数学分析.华东师范大学数学系编M.上海:高等教育出版社,2001.2钱吉林.数学分析题解精粹M.湖北长江出版集团崇文书局，2009.3吕风,刘玉莲,苑德新,王大海.数学分析习题课讲义（上，下）M.东北师范大学出版社,2005.4谷超豪.数学辞典M.上海:上海辞书出版社,1998.5复旦大学数学系,数学分析(上) M. 高等教育出版社,1983.6袭兆泰,王承国,章仰文. 数学分析学习指导M.北京:科学出版社,2004.7刘玉琏.数学分析M.北京:高等教育出版社,1994.