专题31 点直线与圆的位置关系

学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源点直线与圆的位置关系一. 选择题(2015江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，A=B=90，CD=AB=4，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，AEO=AFO=OFB=BGO=90，四边形AFOE，FBGO是正方形，AF=BF=AE=BG=2，DE=3，DM是O的切线，DN=DE=3，MN=MG，CM=52MN=3MN，在RtDMC中，NM=，DM=，故选A考点：1切线的性质；2矩形的性质2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在ABC中，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D过点C作CFAB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE对于下列结论：AD=DC；CBACDE；=；AE为O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）ABCD考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：根据圆周角定理得ADB=90，则BDAC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明1=2=3=4，则根据相似三角形的判定方法得到CBACDE，于是可对进行判断；由于不能确定1等于45，则不能确定与相等，则可对进行判断；利用DA=DC=DE可判断AEC=90，即CEAE，根据平行线的性质得到ABAE，然后根据切线的判定定理得AE为O的切线，于是可对进行判断解答：解：AB为直径，ADB=90，BDAC，而AB=CB，AD=DC，所以正确；AB=CB，1=2，而CD=ED，3=4，CFAB，1=3，1=2=3=4，CBACDE，所以正确；ABC不能确定为直角三角形，1不能确定等于45，与不能确定相等，所以错误；DA=DC=DE，点E在以AC为直径的圆上，AEC=90，CEAE，而CFAB，ABAE，AE为O的切线，所以正确故选D点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定经过圆心若B=20，则C的大小等于（ ）A20B25C40D50 考点：切线的性质分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得C的度数解答：解：如图，连接OA，AC是O的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=20，AOC=40，C=50故选：D点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键3（2015广东广州,第3题3分）已知O的半径为5，直线l是O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）A2.5B3C5D10 考点：切线的性质分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5解答：解：直线l与半径为r的O相切，点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5故选C点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；当直线l和O相离dr4. （2015浙江衢州,第10题3分）如图，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点，若，则的半径是【 】A. B. C. D. 【答案】D【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用【分析】如答图，连接，过点作于点，.，.是的切线，.，且四边形是矩形.，由勾股定理，得.设的半径是，则.由勾股定理，得，即，解得.的半径是.故选D 5. （2015浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tanOAB=，则AB的长是( )A. 4B. 2C. 8D. 4【答案】C. 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理6. （2015浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4B. CDDF=23C. BC+AB=2+4D. BCAB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证OMGGCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因AB=CD,所以可得BCAB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r=（a+bc），所以c=a+b2. 在RtABC中，由勾股定理可得，整理得2ab4a4b+4=0，又因BCAB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在RtONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得，所以CDDF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；7. （2015浙江嘉兴，第7题4分）如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5（D）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理.分析：首先根据题意作图，由AB是C的切线，即可得CDAB，又由在直角ABC中，C=90，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由SABC=ACBC=ABCD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长解答：解：在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90，如图：设切点为D，连接CD，AB是C的切线，CDAB，SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即CD=，C的半径为，故选B点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用8. （2015四川省内江市，第10题，3分）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（）A40B35C30D45考点：切线的性质.分析：连接DB，即ADB=90，又BCD=120，故DAB=60，所以DBA=30；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果解答：解：连接BD，DAB=180C=60，AB是直径，ADB=90，ABD=90DAB=30，PD是切线，ADP=ABD=30，故选：C点评：本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解9. （2015四川乐山,第10题3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB则PAB面积的最大值是（ ）A8 B12 C D【答案】C10（2015广东梅州,第6题，3分）如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心.若B=20，则C的大小等于（ ）A20 B25 C 40 D50考点：切线的性质.分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得C的度数解答：解：如图，连接OA，AC是O的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=20，AOC=40，C=50故选：D点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键11. （2015山东潍坊第7 题3分）如图，AB是O的弦，AO的延长线交过点B的O的切线于点C，如果ABO=20，则C的度数是（）A70B50C45D20考点：切线的性质.分析：由BC是O的切线，OB是O的半径，得到OBC=90，根据等腰三角形的性质得到A=ABO=20，由外角的性质得到BOC=40，即可求得C=50解答：解：BC是O的切线，OB是O的半径，OBC=90，OA=OB，A=ABO=20，BOC=40，C=50故选B点评：本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键二.填空题1. （2015浙江宁波，第17题4分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的O与BC边相切于点E，则O的半径为 【答案】.【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接EO并延长交AD于点H，连接AO，四边形ABCD是矩形，O与BC边相切于点E， EHBC，即EHAD. 根据垂径定理，AH=DH.AB=8，AD=12，AH=6，HE=8.设O的半径为，则AO=，.在中，由勾股定理得，解得.O的半径为.2.（2015江苏徐州,第14题3分）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，若C=20，则CDA=125考点：切线的性质.分析：连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA计算求解解答：解：连接OD，则ODC=90，COD=70；OA=OD，ODA=A=COD=35，CDA=CDO+ODA=90+35=125，故答案为：125点评：本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解3.（2015湖北荆州第18题3分）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，P的圆心P在线段BC上，且P与边AB，AO都相切若反比例函数y=（k0）的图象经过圆心P，则k=考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征专题：计算题分析：作PDOA于D，PEAB于E，作CHAB于H，如图，设P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断OBC为等腰直角三角形，从而得到PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明ACHABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10=，然后证明BEHBHC，利用相似比得到即=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值解答：解：作PDOA于D，PEAB于E，作CHAB于H，如图，设P的半径为r，P与边AB，AO都相切，PD=PE=r，AD=AE，在RtOAB中，OA=8，AB=10，OB=6，AC=2，OC=6，OBC为等腰直角三角形，PCD为等腰直角三角形，PD=CD=r，AE=AD=2+r，CAH=BAO，ACHABO，=，即=，解得CH=，AH=，BH=10=，PECH，BEPBHC，=，即=，解得r=，OD=OCCD=6=，P（，），k=（）=故答案为点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征4.（2015福建泉州第14题4分）如图，AB和O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=解：直线AB与O相切于点B，则OBA=90AB=5，OB=3，tanA=故答案为：5. （2015四川成都,第24题4分）如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作 的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 . 图（1） 图（2） 图（3）【答案】：或或 【解析】：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；易知，射影知. （2）当时，如图（2），延长交于点，易知，易知.（3）当时，如图（3），由.综上：或或6. （2015浙江省绍兴市，第14题，5分） 在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理.专题：分类讨论分析：连结CP，PB的延长线交C于P，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得CBP=90，再根据垂径定理得到PB=PB=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在RtAPP中利用勾股定理计算出PA=，从而得到满足条件的PA的长为3或解答：解：连结CP，PB的延长线交C于P，如图，CP=5，CB=3，PB=4，CB2+PB2=CP2，CPB为直角三角形，CBP=90，CBPB，PB=PB=4，C=90，PBAC，而PB=AC=4，四边形ACBP为矩形，PA=BC=3，在RtAPP中，PA=3，PP=8，PA=，PA的长为3或故答案为3或点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了垂径定理和勾股定理7. （2015淄博第17题,4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x22x3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+考点：二次函数综合题.分析：连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长解答：解：连接AC，BC，抛物线的解析式为y=x22x3，点D的坐标为（0，3），OD的长为3，设y=0，则0=x22x3，解得：x=1或3，A（1，0），B（3，0）AO=1，BO=3，AB为半圆的直径，ACB=90，COAB，CO2=AOBO=3，CO=，CD=CO+OD=3+，故答案为：3+点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键8. （2015浙江省台州市，第16题）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为_三.解答题1. （2015四川省内江市，第27题，12分）如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长考点：圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值.专题：综合题分析：（1）连接OC，如图1，要证CE是O的切线，只需证到OCE=90即可；（2）过点C作CHAB于H，连接OC，如图2，在RtOHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO过点D作DHOC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在RtOHF中运用三角函数即可解决问题解答：解：（1）连接OC，如图1，CA=CE，CAE=30，E=CAE=30，COE=2A=60，OCE=90，CE是O的切线；（2）过点C作CHAB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h在RtOHC中，CH=OCsinCOH，h=OCsin60=OC，OC=h，AB=2OC=h；（3）作OF平分AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则AOF=COF=AOC=（18060）=60OA=OF=OC，AOF、COF是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO过点D作DHOC于H，OA=OC，OCA=OAC=30，DH=DCsinDCH=DCsin30=DC，CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OFsinFOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8当CD+OD的最小值为6时，O的直径AB的长为8点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键2. （2015四川省宜宾市，第23题，10分）(注意：在试题卷上作答无效) 如图，CE是O的直径，BD切O于点D，DEBO，CE的延长线交BD于点A。（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AE=2，tanDEO=，求AO的长.3. （2015浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39，求BAD的度数（2）求证：1=24.（2015江苏泰州,第24题10分）如图，ABC 中，AB=AC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F。（1）试说明DF是O的切线；（2）若 AC=3AE，求。 【答案】(1)证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接OD，根据等边对等角得出B=ODB，B=C，得出ODB=C，证得ODAC，证得ODDF，从而证得DF是O的切线； （2）连接BE，AB是直径，AEB=90，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在RtBEC中，即可求得tanC的试题解析：（1）证明：连接OD， OB=OD， B=ODB， AB=AC， B=C， ODB=C， ODAC， DFAC， ODDF， DF是O的切线； （2）解：连接BE， AB是直径， AEB=90， AB=AC，AC=3AE，AB=3AE，CE=4AE， BE=， 在RtBEC中，tanC=.考点：切线的判定5.（2015山东东营,第21题8分）(本题满分8分)已知在ABC中，B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E（1）求证：ACAD=ABAE；（2）如果BD是O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长 【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4. 考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30的直角三角形的性质.6.（2015山东聊城,第24题10分）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半径的长考点：切线的性质；解直角三角形.分析：（1）本题可连接OD，由PD切O于点D，得到ODPD，由于BEPC，得到ODBE，得出ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，ODBE，得到POD=B，根据三角函数的定义即可得到结果解答：（1）证明：连接OD，PD切O于点D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：有（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在RtPOD中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，O半径=3点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键7.（2015山东临沂,第23题9分）如图，点O为RtABC斜边AB上的一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.（1）求证：AD平分BAC；（2）若BAC = 60，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）.【答案】（2）试题解析：（1）证明：连接OD.BC是O的切线，D为切点，ODBC.又ACBC，ODAC，ADO=CAD.又OD=OA，ADO=OADCAD=OAD，即AD平分BAC.（2）方法一：连接OE，ED.BAC=60，OE=OA，OAE为等边三角形，AOE=60，ADE=30. 又，ADE=OAD，EDAO，阴影部分的面积 = S扇形ODE = . 考点：圆的综合（切线的性质，角平分线，阴影部分面积，三角形的面积，扇形面积）8. （2015四川广安，第25题9分）如图，PB为O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交O于点A，连接PA、AO，并延长AO交O于点E，与PB的延长线交于点D（1）求证：PA是O的切线；（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形.分析：（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明PAOPBO，进而可得PBO=PAO，然后根据切线的性质可得PBO=90，进而可得：PAO=90，进而可证：PA是O的切线；（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是ABE的中位线，进而可得BEOP，BE=2OC=8，进而可证DBEDPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值解答：（1）证明：连接OB，则OA=OB，OPAB，AC=BC，OP是AB的垂直平分线，PA=PB，在PAO和PBO中，PAOPBO（SSS）PBO=PAO，PB=PA，PB为O的切线，B为切点，PBO=90，PAO=90，即PAOA，PA是O的切线；（2）连接BE，=，且OC=4，AC=6，AB=12，在RtACO中，由勾股定理得：AO=2，AE=2OA=4，OB=OA=2，在RtAPO中，ACOP，AC2=OCPC，解得：PC=9，OP=PC+OC=13，在RtAPO中，由勾股定理得：AP=3，PB=PA=3，AC=BC，OA=OE，OC=BE，OCBE，BE=2OC=8，BEOP，DBEDPO，即，解得：BD=，在RtOBD中，tanD=点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可9. （2015四川甘孜、阿坝，第20题10分）如图，ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DEAC，垂足为点E（1）判断DF与O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FHBC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）考点：切线的判定.分析：（1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，B=C=60，证出OBD是等边三角形，得出BOD=C，证出ODAC，得出DEOD，即可得出结论；（2）先证明OCF是等边三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函数即可求出FH解答：解：（1）DE是O的切线；理由如下：连接OD，如图1所示：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60，OB=OD，OBD是等边三角形，BOD=60，BOD=C，ODAC，DEAC，DEOD，DE是O的切线；（2）连接OF，如图2所示：OC=OF，C=60，OCF是等边三角形，CF=OC=BC=AB=2，FHBC，FHC=90，FH=CFsinC=2=点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键10（2015山东潍坊第21题10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE（1）求证：直线DF与O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：（1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得ODAD，易证DFOD，故DF为O的切线；（2）证得BEDBCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可解答：（1）证明：如图，连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；（2）解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，=，ODAB，AO=CO，BD=CD=BC=3，又AE=7，=，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9点评：此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可11（2015广东梅州,第22题，9分）如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）（1）求直线l的函数表达式；（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式.分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果（2）先画出示意图，在RtABM中求出sinBAM，然后在RtAMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标解答：解：（1）直线l经过点A（4，0），B（0，3），设直线l的解析式为：y=kx+b，直线l的解析式为：y=x+3；（2）直线l经过点A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，如图所示，此时M与此直线l相切，切点为C，连接MC，则MCAB，在RtABM中，sinBAM=，在RtAMC中，sinMAC=，AM=4，点M的坐标为（0，0）此时M与此直线l相切，切点为C，连接MC，则MCAB，MCB=MCB=90，在MCB与CMB中，BM=BM=3，点M的坐标为（0，6）综上可得：当M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般ABCDEFMO12(2015深圳，第22题 分)如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动。（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：。【解析】13(2015南宁，第25题10分)如图14，AB是O的直径，C、G是O上两点，且AC = CG，过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.图14（1）求证：CD是O的切线.（2）若,求E的度数.（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长. 考点：圆的综合题.分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到ABC=CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到OCB=OBC，等量代换得到OCB=CBG，根据平行线的判定得到OCBG，即可得到结论；（2）由OCBD，得到OCFBDF，EOCEBD，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图2，过A作AHDE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在RtDAH中，AD=解答：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，AC=CG，ABC=CBG，OC=OB，OCB=OBC，OCB=CBG，OCBG，CDBG，OCCD，CD是O的切线；（2）解：OCBD，OCFBDF，EOCEBD，OA=OB，AE=OA=OB，OC=OE，ECO=90，E=30；（3）解：如图2，过A作AHDE于H，E=30EBD=60，CBD=EBD=30，CD=，BD=3，DE=3，BE=6，AE=BE=2，AH=1，EH=，DH=2，在RtDAH中，AD= 点评：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键14（2015甘肃武威,第21题6分）如图，已知在ABC中，A=90（1）请用圆规和直尺作出P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若B=60，AB=3，求P的面积 考点：作图复杂作图；切线的性质分析：（1）作ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出P；（2）根据角平分线的性质得到ABP=30，根据三角函数可得AP=，再根据圆的面积公式即可求解解答：解：（1）如图所示，则P为所求作的圆（2）B=60，BP平分ABC，ABP=30，tanABP=，AP=，SP=3点评：本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等同时考查了圆的面积15（2015甘肃武威,第27题8分）已知ABC内接于O，过点A作直线EF（1）如图所示，若AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： BAE=90 或者 EAC=ABC （2）如图所示，如果AB是不过圆心O的弦，且CAE=B，那么EF是O的切线吗？试证明你的判断考点：切线的判定分析：（1）求出BAE=90，再根据切线的判定定理推出即可；（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出M=B，ACM=90，求出MAC+CAE=90，再根据切线的判定推出即可解答：解：（1）BAE=90，EAC=ABC，理由是：BAE=90，AEAB，AB是直径，EF是O的切线；AB是直径，ACB=90，ABC+BAC=90，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC=BAC+ABC=90，即AEAB，AB是直径，EF是O的切线；（2）EF是O的切线 证明：作直径AM，连接CM，则ACM=90，M=B，M+CAM=B+CAM=90，CAE=B，CAM+CAE=90，AEAM，AM为直径，EF是O的切线点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线 16(2015贵州六盘水，第24题12分)如图12，在RtACB中，ACB90，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD（1）（6分）ADOACB（2）（6分）若O的半径为1，求证：ACADBC考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）由AB是O的切线，得到ODAB，于是得到C=ADO=90，问题可证；（2）由ADOACB列比例式即可得到结论解答：（1）证明：AB是O的切线，ODAB，C=ADO=90，A=A，ADOACB；（2）解：由（1）知：ADOACB，ADBC=ACOD，OD=1，AC=ADBC点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键17(2015黑龙江绥化，第24题 分)如图 ，以线段AB为直径作O ，CD与O相切于点E ，交AB的延长线于点D , 连接BE ,过点O作 OCBE交切线DE于点C ,连接AC (1)求证：AC是O的切线 ； （2）若BD=OB=4 ,求弦AE的长。考点：切线的判定与性质专题：计算题分析：（1）连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应角相等得到OAC=OEC=90，即可得证；（2）根据题意得到EB为直角三角形斜边上的中线，求出EB的长，再由OE=OB=EB得到三角形OEB为等边三角形，求出ABE=60，根据AB为圆O直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形AEB为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出AE的长即可解答：（1）证明：连接OE，CD与圆O相切，OECD，CEO=90，BEOC，AOC=OBE，COE=OEB，OB=OE，OBE=OEB，AOC=COE，在AOC和EOC中，AOCEOC（SAS），CAO=CEO=90，则AC与圆O相切；（2）在RtDEO中，BD=OB，BE=OD=OB=4，OB=OE，BOE为等边三角形，ABE=60，AB为圆O的直径，AEB=90，AE=BEtan60=4点评：此题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键18（2015北京市,第24题，5分）如图，AB是的直径，过点B作的切线BM，弦，交AB于点F，且，链接AC，AD，延长AD交BM地点E。(1)求证：是等边三角形。(2)链接OE，若，求OE的长。【考点】圆的性质【难度】中等【答案】【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题19（2015安徽省,第20题，10分）在O中，直径AB6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在O上，且OPPQAABBCCPPQQOO第20题图1第20题图2(1)如图1，当PQAB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值考点：圆周角定理；勾股定理；解直角三角形.专题：计算题分析：（1）连结OQ，如图1，由PQAB，OPPQ得到OPAB，在RtOBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30=，然后在RtOPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；（2）连结OQ，如图2，在RtOPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OPBC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=解答：解：（1）连结OQ，如图1，PQAB，OPPQ，OPAB，在RtOBP中，tanB=，OP=3tan30=，在RtOPQ中，OP=，OQ=3，PQ=；（2）连结OQ，如图2，在RtOPQ中，PQ=，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OPBC，则OP=OB=，PQ长的最大值为=点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了勾股定理和解直角三角形20.（2015湖北鄂州第22题9分）如图，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分线，ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F （1）（3分）求证：AE为O的切线 （2）（3分）当BC=8，AC=12时，求O的半径 （3）（3分）在（2）的条件下，求线段BG的长 【答案】(1)证明见解析；（2）3；（3）2. 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.切线的判定21（2015甘肃兰州,第27题，10分）如图，在RtABC中，C=90，BAC的平分线AD交BC边于点D。以AB上一点O为圆心作O，使O经过点A和点D。（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，B=30，求O的半径；设O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）。【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系，扇形面积计算【知识准备】过直径的端点，且与直径垂直的直线是圆的切线【思路点拔】（1）我们当然很容易就猜想到BC是O的切线，为此，只要连结OD，证明ODBC即可；（2）只要求出OBD的面积和扇形ODE的面积，那么两者之差便为阴影部分的面积【解答过程】（1）连结OD，OA=OD，2=3，AD平分BAC，1=2， 而2=3，1=3，ODAC（内错角相等，两直线平行），ODB=C=90（两直线平行，同位角相等）即ODBC， BC是O的切线（过直径的一个端点，且与直径垂直的直线是圆的切线）；（2）过点O作AC的垂线段OH，则OHBC，AOH=B=30，RtAOH中，AH=AOsinAOH=AOsin30=AO，矩形CDOH中，CH=OD，而OD=OA，AC=AH+CH，即3=AO+AO， AO=2，即O的半径为2；RtOBD中，BOD=90B=60，则BD=DOtan60=，。【题目星级】【解题策略】涉及到非常规图形的面积问题时，我们通常采用的是割补的方法，将问题转化为常规图形的面积问题来解决22. （2015辽宁大连，23，10分）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F.求证：EF与圆O相切；若AB=6，AD=4，求EF的长。（第23题）【答案】【解析】解：（1）证明：联接OD如图,因为OA=OD,所以OAD=ODA又因为AD平分BAC,所以OAD=CAD所以ODA=CAD。所以ODAE,又因为EF垂直于AE,所以OD垂直于EF,所以EF与圆O相切；（第23题答图1）（2） 如图联接OD、CD、BD、BC，则CD=BD,因为AB是直径，所以ACB=ADB=90，又因为AB=6，AD=4，所以BD=,所以CD=2.因为ACB=E,所以BCEF.因为AD平分CAB,所以OAD=CAD，又因为ADB=E,所以ADEABD,所以，所以DE=.在RtCDE中，CE=所以DG=.OG=3=.在RtOGB中，GB=因为ACB=E,所以BCEF.所以OGBODF,所以，所以DF=.所以EF=DE+DF=+=.23. （2015山东菏泽，18，8分）如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于O的切线AF交于点F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）2（2）如图，连接AE，AEB=90，设CE=x，CE：EB=1：4，EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在RtACE中，即，x=2CE=2考点：1切线的性质；2相似三角形的判定与性质24.（2015四川凉山州,第23题8分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）（1）用