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1 1第五节椭圆A组基础题组1.已知方程x22-k+y22k-1=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.12,2B.(1,+)C.(1,2)D.12,12.(20xx黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为35,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为()A.x225+y29=1B.x29+y225=1C.x225+y216=1D.x216+y225=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为()A.23B.26C.42D.434.设椭圆x24+y23=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1F2是直角三角形,则PF1F2的面积为()A.3B.3或32C.32D.6或35.已知椭圆x24+y2b2=1(0bb0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若=2,=32,求椭圆的方程.B组提升题组11.已知椭圆C:x24+y23=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则的最大值为()A.32B.332C.94D.15412.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为()A.x225+y25=1B.x236+y216=1C.x230+y210=1D.x245+y225=113.(20xx江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.14.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若PF1F2=30,则椭圆C的离心率为.15.(20xx云南检测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于32,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两个点.(1)求椭圆E的方程;(2)若=3,求m2的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C方程x22-k+y22k-1=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以2-k0,2k-10,2k-12-k,解得k12,k1,故k的取值范围为(1,2).2.C设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知ca=35,b=4,a2=b2+c2,解得a=5,b=4,c=3,所以椭圆的方程为x225+y216=1.3.D依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2a2-c2=216-4=43.4.C由椭圆的方程知a=2,b=3,c=1,当点P为短轴端点(0,3)时,F1PF2=,PF1F2是正三角形,若PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2),此时|PF1|=b2a=,=12322=32.故选C.5.D由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则2b2a=3.所以b2=3,即b=3.6.答案x245+y236=1解析由题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由离心率e=55可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为x245+y236=1.7.答案x216+y212=1解析设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.8.答案120解析由椭圆定义知,|PF2|=2,|F1F2|=29-2=27.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|路|PF2|=-12,F1PF2=120.9.解析(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知c=3,ca=32,所以a=2,则b=1,所求椭圆方程为x24+y2=1.(2)由x24+y2=1,y=x+m消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则=64m2-454(m2-1)0,整理,得m2b0),焦距为2c,右焦点为F,连接PF,如图所示.因为F(-25,0)为C的左焦点,所以c=25.由|OP|=|OF|=|OF|知,FPF=90,即FPPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=|FF|2-|PF|2=(45)2-42=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以椭圆的方程为x236+y216=1.13.答案63解析由已知条件易得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),=c+32a,-b2,=c-32a,-b2,由BFC=90,可得=0,所以c-32ac+32a+-b22=0,c2-34a2+14b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以c2a2=23,则e=ca=63.14.答案33解析如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线.所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90.因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|c=3|PF2|2,则e=ca=3|PF2|223|PF2|=33.15.解析(1)根据已知设椭圆E的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),由已知得ca=32,c=32a,b2=a2-c2=a24.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45,4a2+b2=25a=45,a=2,b=1.椭圆E的方程为x2+y24=1.(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由y=kx+m,4x2+y2-4=0得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)0,即k2-m2+40,由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2=-2kmk2+4,x1x2=m2-4k2+4.由=3得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=12x22-12x22=0.12k2m2(k2+4)2+4(m2-4)k2+4=0,即m2k2+m2-k2-4=0.当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,k2=4-m2m2-1.由题意知k0,m0,结合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k20,4-m2m2-1-m2+40,即(4-m2)m2m2-10.1m24.m2的取值范围为(1,4).
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