新版高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关理北师大版

11第第 1111 讲讲 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算1函数yx2cosx在x1 处的导数是()A0B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1D1解析：选 B.因为y(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx，所以y|x12cos 1sin 1.2(20 xx赣州高三月考)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0B1C.12D2解析：选 C.依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t12.3设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(2 016)()A1B2C.12 016D.2 0172 016解析：选 D.令 ext，则xlnt，所以f(t)lntt，故f(x)lnxx.求导得f(x)1x1，故f(2 016)12 01612 0172 016.4已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)的值等于()A2B2C.94D94解析：选 D.由已知条件f(x)x23xf(2)lnx，知f(x)2x3f(2)1x，令x2，则f(2)223f(2)12，即 2f(2)92，所以f(2)94.5.已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析： 选 B.从导函数的图像可以看出， 导函数值先增大后减小，x0 时最大， 所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x0 时变化率最大A 项，在x0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误；B 项正确6(20 xx大连高三联考)已知直线m：x2y30，函数y3xcosx的图像与直线l相切于P点，若lm，则P点的坐标可能是()A.2，32B.2，32C.32，2D.32，2解析：选 B.因为直线m的斜率为12，lm，所以直线l的斜率为 2.因为函数y3xcosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b3acosa且y|xa3sina2，所以sina 1 ， 解 得a2 2k (kZ Z) ， 所 以b32 6k (kZ Z) ， 所 以P22k，326k(kZ Z)，当k0 时，P2，32，故选 B.7函数ysinxx的导数为_解析：y（sinx）xsinxxx2xcosxsinxx2.答案：xcosxsinxx28(20 xx高考陕西卷)函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为1，1e ，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y1e.答案：y1e9(20 xx郑州第二次质检)如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2 是曲线yf(x)在x3 处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_解析：由图可得曲线yf(x)在x3 处切线的斜率等于13，即f(3)13.又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)1313 0.答案：010(20 xx保定一模)函数f(x)lnxax的图像上存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数a的取值范围是_解析： 函数f(x)lnxax的图像上存在与直线 2xy0 平行的切线， 即f(x)2 在(0，)上有解，而f(x)1xa，即1xa2 在(0，)上有解，a21x，因为x0，所以 21x2，所以a的取值范围是(，2)答案：(，2)11求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)yxcosxxsinx；(3)ysin 2x2xe；(4)y11x11x.解：(1)法一：因为y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，所以y24x39x216x4.法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(2)y（xcosx）（xsinx）（xcosx） （xsinx）（xsinx）2（1sinx） （xsinx）（xcosx） （1cosx）（xsinx）2xcosxxsinxsinxcosx1（xsinx）2.(3)ycos 2x(2x)2xln 202cos 2x2xln 2.(4)因为y11x11x（1x）（1x）（1x） （1x）21x，所以y21x2（1x）（1x）22（1x）2.12已知点M是曲线y13x32x23x1 上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)因为yx24x3(x2)211，所以当x2 时，y1，y53，所以斜率最小的切线过2，53 ，斜率k1，所以斜率最小的切线方程为xy1130.(2)由(1)得k1，所以 tan1，所以0，2 34，.1 (20 xx高考陕西卷)如图， 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为()Ay12x312x2xBy12x312x23xCy14x3xDy14x312x22x解析： 选 A.设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0)， 则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点 (0，0)处的切线，则y|x01c1，排除选项 B、D.又因为y3x6 是该函数在点(2，0)处的切线，则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有 A 选项的函数符合，故选 A.2(20 xx石家庄模拟)若对于曲线f(x)exx(e 为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_解析：易知函数f(x)exx的导数为f(x)ex1，设l1与曲线f(x)exx的切点为(x1，f(x1)，则l1的斜率k1ex11.易知函数g(x)ax2cosx的导数为g(x)a2sinx， 设l2与曲线g(x)ax2cosx的切点为(x2，g(x2)， 则l2的斜率k2a2sinx2.由题设可知k1k21， 从而有(ex11)(a2sinx2)1， 所以a2sinx21ex11，故由题意知对任意x1， 总存在x2使得上述等式成立， 则有y11ex11的值域是y2a2sinx2值域的子集，则(0，1)a2，a2，则a20，a21，所以1a2.答案：1，23已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2， 6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线y14x3 垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x201，所以直线l的方程为y(3x201)(xx0)x30 x016，又因为直线l过点(0，0)，所以 0(3x201)(x0)x30 x016，整理得，x308，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线y14x3 垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x2014，所以x01.所以x01，y014或x01，y018，即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14 或y4(x1)18.即y4x18 或y4x14.4(20 xx河北省唐山一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以 3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x206x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x206x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01 时，切线方程为y9；当x01 时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0 得6x26x120，解得x1 或x2.在x1 处，yf(x)的切线方程为y18；在x2 处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12 得6x26x1212，解得x0 或x1.在x0 处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1 处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.