广西各市年中考数学分类解析 专题12：押轴题

数学精品复习资料广西各市中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题1、 选择题1. （2012广西北海3分）如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了：【 】A2周B3周C4周D5周【答案】C。【考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：O在三边运动时自转周数：62 =3：O绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周。O自转了3+1=4周。故选C。2. （2012广西贵港3分）如图，在菱形ABCD中，ABBD，点E、F分别在BC、CD上，且BECF，连接BF、DE交于点M，延长DE到H使DEBM，连接AM、AH。则以下四个结论：BDFDCE；BMD120；AMH是等边三角形；S四边形ABMDAM2。其中正确结论的个数是【】A1 B2 C3 D4【答案】C。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行的性质。【分析】在菱形ABCD中，ABBD，ABBDAD。ABD是等边三角形。根据菱形的性质可得BDFC60。BECF，BCBECDCF，即CEDF。在BDF和DCE中，CEDF；BDFC60；BDCD，BDFDCE（SAS）。故结论正确。DBFEDC。DMFDBFBDEEDCBDEBDC60，BMD180DMF18060120，故结论正确。DEBEDCCEDC60，ABMABDDBFDBF60，DEBABM。又ADBC，ADHDEB，ADHABM。在ABM和ADH中，ABAD；ADHABM；DHBM，ABMADH（SAS）。AHAM，BAMDAH。MAHMADDAHMADBAMBAD60。AMH是等边三角形。故结论正确。ABMADH，AMH的面积等于四边形ABMD的面积。又AMH的面积AMAMAM2，S四边形ABMDAM2，S四边形ABCDS四边形ABMD。故结论小题错误。综上所述，正确的是共3个。故选C。3. （2012广西桂林3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动设P点运动的时间为t，APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是【 】 A B CD【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质。【分析】动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCD方向运动， 点Q运动到点C的时间为42=2秒。 由题意得，当0t2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，为开口向上的抛物线的一部分。当2t4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，为直线（一次函数）的一部分。观察所给图象，符合条件的为选项D。故选D。4. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，ADAB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN若CDN的面积与CMN的面积比为14，则 的值为【 】A2B4 CD【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NGBC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由CDN的面积与CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案： 过点N作NGBC于G，四边形ABCD是矩形，四边形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形AMCN是平行四边形。AM=CM，四边形AMCN是菱形。CDN的面积与CMN的面积比为1：4，DN：CM=1：4。设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故选D。5. （2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交O于点B，且OB=AB，点P是O上的一个动点，那么OAP的最大值是【 】A30 B45 C60 D90【答案】A。【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，当点P运动到点P，即AP与O相切时，OAP最大。连接O P，则A PO P，即AO P是直角三角形。OB=AB，OB= O P，OA=2 O P。OAP=300，即OAP的最大值是=300。故选A。6. （2012广西柳州3分）小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 【答案】A。【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于x的分式方程的解就是函数中，纵坐标y=2时的横坐标x的值根据图象可以得到：当y=2时，x=1。故选A。7. （2012广西南宁3分）已知二次函数y=ax2bx1，一次函数y=k（x1） ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为【 】Aa=1，b=2Ba=1，b=-2Ca=-1，b=2Da=-1，b=-2【答案】B。【考点】二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，解二元一次方程组。【分析】由y=ax2bx1和y=k（x1）组成的方程组，消去y，整理得，ax2（bk）x1k=0，它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，关于x 的方程ax2（bk）x1k=0有两相等的实数根，即=（bk）24a（1+k+）=0，（1a）k22（2ab）kb24a=0。对于任意的实数k都成立，解得。故选B。8. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（x，y），如g（2，3）=（2，3）按照以上变换有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么g（f（6，7）等于【 】A（7，6） B（7，6） C（7，6） D（7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6），g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6）。故选C。9. （2012广西玉林、防城港3分）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于的方程有实数根的概率是【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】画树状图法或列表法，概率，一元二次方程根的判别式。【分析】画树状图： p、q组成的一元二次方程共有6个：， 其中，的根的判别式小于0，方程无实数根， ，的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根， 的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根， 即满足关于的方程有实数根的情况有3种，满足关于的方程有实数根的概率是。故选A。二、填空题1. （2012广西北海3分）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y2x4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 。【答案】（）。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，垂直线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】如图，由题意，根据垂直线段最短的性质，当线段AB最短时点B的位置B1，有AB1BD。过点B1作B1E垂直x轴于点E。由点C、D在直线y2x4可得，C（2，0），D（0，4） 设点B1（x ，2x4），则E（x ，0）。由A（1，0），得AE= x1，EB1=2x4=42x，CO=2，DO=4。易得AB1EDCO，即。解得。B1（）。当线段AB最短时，点B的坐标是（）。2. （2012广西贵港2分）若直线ym（m为常数）与函数y的图像恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是。【答案】0m2。【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。【分析】分段函数y的图象如右图所示：故要使直线ym（m为常数）与函数y的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0m2。3. （2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 【答案】n2n2。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分：除最右一排的小正方形个数最右一排的小正方形个数合计小正方形个数第1个图1=1234=123第2个图4=224=318=2231第3个图9=325=3214=3232第n个图n23n1= n2n2n24. （2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为 .【答案】（4，）。【考点】反比例函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，P=POM=OGF=90。PON+PNO=90，GOA+PON=90。PNO=GOA。OGANPO。E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），OE=4，OG=2。OP=OG=2，PN=GF=OE=4。OGANPO，OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2。GA=1。A点坐标为（1，2）。把A（1，2）代入得k=12=2。过点A的反比例函数解析式为。把x=4代入得。B点坐标为（4，）。5. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56，那么旗杆的高度约是 米（结果保留整数）（参考数据：sin560.829，cos560.559，tan561.483）【答案】12。【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BCtanACB=8tan5681.48312（米）。6. （2012广西柳州3分）已知：在ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 【答案】或a。【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】分两种情况：ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。作ABC的高AD，过点E作EFBC于点F。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45，BD=AD=a。BC=BD+CD=a。点E是AC的中点，EFAD，EF是ACD的中位线。FC=DC=a，EF=AD=a。BF=a。在RtBEF中，由勾股定理，得。ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。作ABC的高AD。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45，BD=AD=a。BC= BD=a。点E是AC的中点，BE是ACD的中位线。BE=AD=a。综上所述，AC边上的中线长是或a。7. （2012广西南宁3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 【答案】20；3n+5或3n+4。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】第1张纸片的周长为8， 第2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2第3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知：纸张张数为1，图片周长为8=31+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=33+5；纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=35+5；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；纸张张数为1，图片周长为8+2=32+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=34+4；纸张张数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=36+4；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4。 当n=5时，3n+5=20，如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是20。 如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是3n+5或3n+4。8. （2012广西钦州3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把AOB绕点A旋转90后得到AOB，则点B的坐标是 【答案】（1，2）或（5，2）。【考点】坐标与图形的旋转变化。【分析】当y=0时，解得x=2；当x=0时，y=3。点A（2，0），B（0，3）。OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得AOBAOB，AO=OA=2，OB=OB=3，如果AOB是逆时针旋转90，则点B（1，2），如果AOB是顺时针旋转90，则点B（5，2）。综上，点B的坐标是（1，2）或（5，2）。9. （2012广西玉林、防城港3分）二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图像来分析）.【答案】7。【考点】网格问题，二次函数的图像。【分析】作出二次函数的图像即可得出二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个。三、解答题1. （2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。（1）求证：EACCAB；（2）若CD4，AD8：求O的半径；求tanBAE的值。【答案】（1）证明：连接OC。CD是O的切线，CDOC。又CDAE，OCAE。13。OCOA，23。12，即EACCAB。（2）解：连接BC。AB是O的直径，CDAE于点D，ACBADC90。12，ACDABC。AC2AD2CD2428280，AB10。O的半径为1025。连接CF与BF。四边形ABCF是O的内接四边形，ABCAFC180。DFCAFC180，DFCABC。2ABC90， DFCDCF90，2DCF。12，1DCF。CDFCDF，DCFDAC。DF2。AFADDF826。AB是O的直径，BFA90。BF8。tanBAD。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，由CD是O的切线，CDOC，又由CDAE，即可判定OCAE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得EAC=CAB。（2）连接BC，易证得ACDABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，从而可得O的半径长。 连接CF与BF由四边形ABCF是O的内接四边形，易证得DCFDAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是O的直径，即可得BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tanBAE的值。2. （2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A90，ABAC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）。（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）作CNx轴于点N。在RtCNA和RtAOB中，NCOA2，ACABRtCNARtAOB（HL）。ANBO1，NONAAO3，又点C在第二象限，d3。（2）设反比例函数为，点C和B在该比例函数图像上，设C（c，2），则B（c3，1）。把点C和的坐标分别代入，得k2 c；kc3。2 cc3，c3，则k6。反比例函数解析式为。得点C（3，2）；B（6，1）。设直线CB的解析式为yaxb，把C、B两点坐标代入得，解得。直线CB的解析式为。（3）设Q是G C的中点，由G（0，3），C（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为2。Q（，）。过点Q作直线l与x轴交于M点，与的图象交于P点，若四边形PG M C是平行四边形，则有PQQ M，易知点M的横坐标大于，点P的横坐标小于。作Px轴于点H，QKy轴于点K，PH与QK交于点E，作QFx轴于点F，则PEQQFM。设EQFMt，则点P的横坐标x为，点P的纵坐标y为，点M的坐标是（，0）。PE。由PQQM，得PE2EQ2QF2FM2，整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。，。P（，5），M（，0），则点P为所求的点P，点M为所求的点M。【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。【分析】（1）作CNx轴于点N，由RtCNARtAOB即可求得d的值。（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线BC的解析式。（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C的中点Q，过点Q作直线l与x轴交于M点，与的图象交于P点，求出PQQ M的点M和P的坐标即可。3. （2012广西贵港11分）如图，RtABC的内切圆O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且ACB90，AB5，BC3。点P在射线AC上运动，过点P作PHAB，垂足为H。（1）直接写出线段AC、AD以及O半径的长；（2）设PHx，PCy，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与O相切时，求相应的y值。【答案】解：（1）AC=4；AD=3，O半径的长为1。（2）在RtABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。 C=90，PHAB，C=PHA=90。A=A， AHPACB。，即。，即y与x的函数关系式是。（3）如图，PH与O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。OMH=MHD=HDO=90，OM=OD，四边形OMHD是正方形。MH=OM=1。CE、CF是O的切线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。PH=PM+MH=PF+FC=PC，即x=y。又由（2）知，解得。【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接AO、DO，EO，FO，设O的半径为r，在RtABC中，由勾股定理得AC=，O的半径r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1。CE、CF是O的切线，ACB=90，CFO=FCE=CEO=90，CF=CE。四边形CEOF是正方形。CF=OF=1。又AD、AF是O的切线，AF=AD。AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。（2）通过相似三角形AHPACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。（3）根据圆的切线定理证得四边形OMHD、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知PH=PM+MH=PF+FC=PC，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值。4. （2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2PB2PC235，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。【答案】解：（1）抛物线yax2bx3的顶点为M（2，1）， 设抛物线的解析式为线。 点B（3，0）在抛物线上，解得。 该抛物线的解析式为，即。（2）在中令x=0，得。C（0，3）。 OB=OC=3。ABC=450。 过点B作BNx轴交CD于点N（如图）， 则ABC=NBC=450。 直线CD和直线CA关于直线BC对称， ACB=NCB。 又CB=CB，ACBNCB（ASA）。 BN=BA。 A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），A（1，0）。BN=BA=2。N（3，2）。设直线CD的解析式为，C（0，3），N（3，2）在直线CD上，解得，。直线CD的解析式为。（3）设P（2，p）。 M（2，1），B（3，0），C（0，3）， 根据勾股定理，得，。 PM2PB2PC235，。 整理，得，解得。 P（2，2）或（2，）。 当P（2，2）时，直线OP与该抛物线无交点；当P（2，）时，直线OP与该抛物线有两交点。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的顶点式，用待定系数法求解。 （2）由直线CD和直线CA关于直线BC对称，构造全等三角形：过点B作BNx轴交CD于点N，求出点N的坐标，由点B，N的坐标，用待定系数法求出直线CD的解析式。 （3）设P（2，p），根据勾股定理分别求出PM2、PB2和PC2，由PM2PB2PC235，列式求解即可求得点P的坐标（2，2）或（2，）。 当P（2，2）时，直线OP的解析式为，与联立，得，即。=912=30，无解，即直线OP与抛物线无交点。当P（2，）时，直线OP的解析式为，与联立，得，即。=289108=1810，有两不相等的实数根，即直线OP与抛物线有两个交点。5. （2012广西桂林10分）如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2O2D；(3)在(2)的条件下，若AO2D的面积为1，求BO2D的面积【答案】解：（1）证明：O1与O2是等圆，AO1=O1B=BO2=O2A。四边形AO1BO2是菱形。（2）证明：四边形AO1BO2是菱形，O1AB=O2AB。CE是O1的切线，AC是O1的直径，ACE=AO2C=90。ACEAO2D。，即CE=2DO2。（3）四边形AO1BO2是菱形，ACBO2。ACDBO2D。AD=2BD。S，。【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据O1与O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。（2）根据已知得出ACEAO2D，从而得出，即可得出结论。（3）首先证明ACDBO2D，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。6. （2012广西桂林12分）如图，在ABC中，BAC90，ABAC6，D为BC的中点(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AECF，求证：AEDCFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式【答案】解：（1）证明：BAC 90， ABAC6，D为BC中点，BADDACBC45 。ADBDDC= 。AECF，AEDCFD（SAS）。（2）依题意有，FCAEx，AF=6xAEDCFD，。 （3）依题意有：FCAEx，AFBEx6，ADDB，ABDDAC45，DAFDBE135 。ADFBDE（SAS）。【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。【分析】（1）由已知推出ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。 （2）由AEDCFD，根据等积变换由可得结果。（3）由AEDCFD，根据等积变换由可得结果。7. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则125（1+x）2=180，解得x1=0.2=25%，x2=2.2（不合题意，舍去）。180（1+20%）=216（辆）。答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则 ，由得b=1505a，代入得20aa是正整数，a=20或21。当a=20时b=50；当a=21时b=45。方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个。【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。8. （2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。 （2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。 设直线AC：，由A（8，0），C（0，4）得 ，解得。直线AC：。 直线l移动的速度为2，时间为t，OE=2t。设P， 在中，令x=2t，得，M（2t，）。 BC=8，PM=，OE=2t，EA=， 。 四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0t4）。 ， 四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。由（2），在0t4，即0t8时，AMP和APM不可能为直角。 若PAM为直角，则PACA，AOCPEA。 设P，则OC=4，OA=8，EA=8p，EP=， ，整理得，解得（舍去）。 当时，。P（3，10）。 当P（3，10）时，PAM是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=1或x=8。 A（8，0），B（0，4）。 （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。 （3）存在。易知，AMP和APM不可能为直角。当PAM为直角时，AOCPEA，根据比例关系列出方程求解即可。9. （2012广西来宾10分）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，BAC的平分线AD交O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）如图AD=5，AE=4，求O的直径【答案】（1）证明：如图，连接OD， AD为CAB的平分线，CAD=BAD。又OA=OD，BAD=ODA。CAD=ODA。ACOD。E+EDO=180。又AEED，即E=90，EDO=90。OD为圆O的切线。 （2）解：如图，连接BD，AB为圆O的直径，ADB=90。在RtAED中，AE=4，AD=5，。又EAD=DAB，在RtABD中，。，即圆的直径为。【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得ACOD，由两直线平行同旁内角互补，得到E与EDO互补，再由E为直角，可得EDO为直角，即DE为圆O的切线。（2）连接BD，由AB为O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到ADB=90。在RtAED中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cosEAD。又在RtABD中，根据锐角三角函数定义得到 ，即可求出直径AB的长。10. （2012广西来宾12分）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），解得。抛物线的解析式为：。（2），对称轴为x=1。令，解得x1=3，x2=1，C（1，0）。如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：，解得。直线AB解析式为y=x3。当x=1时，y=2，D点坐标为（1，2）。（3）结论：存在。如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OAON=3xP（x，y）在抛物线上，代入上式得：。当x= 时，SABP取得最大值。当x= 时，P（， ）。在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得ABP的面积最大，P点的坐标为（ ，）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点为求D点坐标，求出直线AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D点坐标。（3）求出ABP的面积表达式这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标。11. （2012广西柳州10分）如图，AB是O的直径，AC是弦（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；第一步，过点A作BAC的角平分线，交O于点D；第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E第三步，连接BD（2）求证：AD2=AEAB；（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值【答案】解：（1）如图；（2）证明：AB是O的直径，ADB=90。 又DEAC，AED=90。AD平分CAB，CAD=DAB。RtADERtABD。AD：AB=AE：AD，AD2=AEAB。（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G， 5AC=3AB，即AC：AB=3：5，不妨设AC=3x，AB=5x，AB是O的直径，ACB=90。ECG=90。又CAD=DAB，。OD垂直平分BC。ODAE，OG=AC=x。四边形ECGD为矩形。CE=DG=ODOG=xx =x。AE=AC+CE=3x+x=4x。AEOD，AEFDOF。AE：OD=EF：OF，EF：OF=4x：x=8：5。【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据基本作图作出BAC的角平分线AD交O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E。（2）根据直径所对的圆周角为直角得到ADB=90，DEAC，则AED=90，又由AD平分CAB得到CAD=DAB，根据相似三角形的判定得到RtADERtABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AEAB。（3）连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB=90，由CAD=DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有ODAE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AEOD可得到AEFDOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值。12. （2012广西柳州12分）如图，在ABC中，AB=2，AC=BC=（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，SABD=SABC；（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点AB，与y轴交于点C，当平移多少个单位时，点C同时在以AB为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解如解方程：y44y23=0解：令y2=x（x0），则原方程变为x24x3=0，解得x1=1，x2=3当x1=1时，即y2=1，y1=1，y2=-1当x2=3，即y2=3，y3= 3 ，y4=- 3 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解【答案】解：（1）AB的垂直平分线为y轴，OA=OB=AB=2=1。A的坐标是（1，0），B的坐标是（1，0）。在RtOBC中，C的坐标为（0，2）。（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得： ，解得： 。抛物线的解析式是：。（3）SABC=ABOC=22=2，SABD=SABC，SABD=SABC=1。设D的纵坐标是m，则AB|m|=1，m=1。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。D的坐标是：（，1）或（，1）或（，1），或（，1）。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，OA=1c，OB=1c。平移以后的抛物线的解析式是：。令x=0，解得y=2c2+2，即OC= 2c2+2。当点C同时在以AB为直径的圆上时有：OC2=OAOB，则（2c22）2=（1c）（1c），即（4c23）（c21）=0。解得：c= ，（舍去），1，1（舍去）。故平移 或1个单位长度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角OAC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。（3）首先求得ABC的面积，根据SABD= SABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C同时在以AB为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC2=OAOB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。13. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形AGEF是平行四边形（EFAG，EF=AG）。又AG=GE，四边形AGEF是菱形。（2）连接ON，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC。点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线。点N是线段BC的中点。（3）OE、ON均是AED的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30。在RtOEF中，OE=2，AED=30，。FG=。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，AGF=EGF，再由CDAB得出EFG=AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。（2）连接ON，则ONBC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在RtADE中，可判断出AED为30，在RtEFO中求出FO，从而可得出FG的长度。14. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形AGEF是平行四边形（EFAG，EF=AG）。又AG=GE，四边形AGEF是菱形。（2）连接ON，AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，AED的外接圆与BC相切于点N，ONBC。点O是AE的中点，ON是梯形ABCE的中位线。点N是线段BC的中点。（3）OE、ON均是AED的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30。在RtOEF中，OE=2，AED=30，。FG=。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，AGF=EGF，再由CDAB得出E