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技法篇：4 大思想提前看，依“法”训练提时效高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，着眼于对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分思想 1函数与方程思想函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想【例 1】 (1)(20 xx天水二模)定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数为 f(x)， 满足 f(x)f(x)，且 f(0)1，则不等式fxex1 的解集为()A(，0)B(0，)C(，2)D(2，)B构造函数 g(x)fxex，则 g(x)exfxexfxex2fxfxex.由题意得g(x)0 恒成立，所以函数 g(x)fxex在 R 上单调递减又 g(0)f0e01，所以fxex1，即 g(x)1，解得 x0，所以不等式的解集为(0，)故选 B.(2)(名师押题)已知直线 ya 交抛物线 yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在点C，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为_.【导学号：04024000】1，)以 AB 为直径的圆的方程为 x2(ya)2a，由yx2，x2ya2a，得 y2(12a)ya2a0，即(ya)y(a1)0，由题意得a0，a10，解得 a1.方法指津函数与方程思想在解题中的应用1函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决变式训练 1将函数 ysin4x3 的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为_.【导学号：04024001】524把 ysin4x3 的图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后，得到 ysin4xm3 sin4x4m3 的图象，而此图象关于 y 轴对称，则 4m3k2(kZ)，解得 m14k524(kZ)又 m0，所以 m 的最小值为524.思想 2数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质【例 2】(经典高考题)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_(3，)作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2， 要使方程 f(x)b 有三个不同的根， 则 4mm20.又 m0，解得 m3.方法指津数形结合思想在解题中的应用1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式2构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围3构建解析几何模型求最值或范围4构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系变式训练 2 (1)已知函数 f(x)2x，x2，x13，x2，若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()【导学号：04024002】A(1,1)B(0,2)C(0,1)D(0,1(2)若不等式 4x2logax0 对任意x0，14 恒成立， 则实数a 的取值范围为()A.1256，1B.1256，1C.0，1256D.0，1256(1)C(2)B(1)当 x2 时，f(x)2x，此时 f(x)在2，)上单调递减，且 0f(x)1.当 x2 时，f(x)(x1)3，此时 f(x)过点(1,0)，(0，1)，且在(，2)上单调递增当 x2 时，f(x)1.如图所示作出函数 yf(x)的图象，由图可得 f(x)在(，2)上单调递增且 f(x)1，f(x)在2，)上单调递减且 0f(x)1，故当且仅当 0k1 时，关于 x 的方程 f(x)k 有两个不相等的实根，即实数 k的取值范围是(0,1)(2)由已知 4x21 时，不成立，当 0a1 时，如图，只需 loga144142a1414a1256，又 0a1，故 a1256，1.故选 B.思想 3分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想【例 3】(1)(经典高考题)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1.则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B0,1C.23，D1，)(2)设 F1，F2为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|的值为_(1)C(2)2 或72(1)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1.当 a1 时，有 2a1，a0，a1.综上，a23，故选 C.(2)若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.|PF1|PF2|6，|F1F2|2 5，解得|PF1|143，|PF2|43，|PF1|PF2|72.若F2PF190，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2，|PF1|PF2|2.综上所述，|PF1|PF2|2 或72.方法指津分类讨论思想在解题中的应用1由数学概念引起的分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等3由数学运算和字母参数变化引起的分类如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等变式训练 3 (1)已知二次函数 f(x)ax22ax1 在区间3,2上的最大值为 4，则 a等于()A3B38C3D.38或3(2)在等比数列an中，已知 a332，S392，则 a1_.(1)D(2)32或 6(1)当 a0 时，f(x)在3，1上单调递减，在1,2上单调递增，故当 x2 时，f(x)取得最大值，即 8a14，解得 a38.当 a0 时，易知 f(x)在 x1 处取得最大，即a14，a3.综上可知，a38或3.故选 D.(2)当 q1 时，a1a2a332，S33a192，显然成立；当 q1 时，由题意，得a1q2a332，a11q31qS392.所以a1q232，a11qq292，由，得1qq2q23，即 2q2q10，所以 q12或 q1(舍去)当 q12时，a1a3q26.综上可知，a132或 a16.思想 4转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题【例 4】(1)(20 xx洛阳模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，又点 A(1,0)，则|PF|PA|的最小值是()【导学号：04024003】A.12B.22C.32D.2 32(2)若关于 x 的方程 9x(4a)3x40 有解， 则实数 a 的取值范围是_解题指导 (1)利用抛物线的定义把|PF|PA|的最值问题等价转化成直线 PA 的斜率问题(2)令 t3x，方程转化为关于 t 的一元二次方程，再分离变量求解(1)B(2)(，8(1)如图，作 PHl 于 H，由抛物线的定义可知，|PH|PF|，从而|PF|PA|的最小值等价于|PH|PA|的最小值，等价于PAH 最小，等价于PAF最大，即直线 PA 的斜率最大此时直线 PA 与抛物线 y24x 相切，由直线与抛物线的关系可知PAF45，所以|PF|PA|PH|PA|sin 4522.(2)设 t3x，则原命题等价于关于 t 的方程 t2(4a)t40 有正解，分离变量a，得 a4t4t ，t0，t4t 4，a8，即实数 a 的取值范围是(，8方法指津转化与化归思想在解题中的应用1在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等2换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法3在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解5在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数 f(x)构成的方程变式训练 4 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是 AA1的中点， 则异面直线 BE 与 B1D1所成角的余弦值等于_，若正方体的边长为 1，则四面体 BEB1D1的体积为_(2)若对于任意 t1,2， 函数 g(x)x3m22x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_(1)10516(2)373，5(1)连接 BD，DE(图略)，因为 BDB1D1，所以EBD 就是异面直线 BE 与 B1D1所成的角， 设 A1A1， 则 DEBE52， BD 2，cosEBD54254252 2105，由(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立或g(x)0 在(t,3)上恒成立由得 3x2(m4)x20， 即 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立， 所以 m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，则 m4239，即 m373.因为函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，所以 m 的取值范围为373m5.课后对应完成数学思想专练(一)(四)，(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分学生学完“第一部分重点强化专题”后再做此部分训练)
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