旋转知识点总结

旋转知识点归纳知识点1:旅转的定义及其有关概念因此“在平面”这一条件在平面，将一个图形绕一个定点0沿某个方向转动一个角 度，这样的图形运动称为旋转，定点0称为旋转中心，转动的 角称为旋转角；如果图形上的点P经过旋转到点P,那么这两 个点叫做这个旋转的对应点.如图1,线段/矽绕点0顺时针转 动90得到AfBf 这就是旋转点0就是族转中 心，ZBOBUOA都是旋转角.说明：族转的围是在平面旅转，否则有可能旋转为立体图形, 不可忽略决定旋转的因素有三个：一是族转中心；二是旋转角；三是族转方向.知识点2:旋转的性质由旅转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等 的.由此得到如下性质:经过旋转，图形上的每一点都绕族转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排 列次序相同.（2）任意一对对应点与旅转中心的连线所成的角都是.旋转角.（3）对应点到旋转中心的距离相等.（4）对应线段相等，对应角相等.例1、如图2, 是等腰RtMBC一点，必是斜边，如果将 ZDB绕点A逆时针方向旋转到 ADC的位置，则ZADE/的 度数是（）DA. 25B. 30C. 35D. 45分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决. 由 ADC是由 ADB旋转所得，可知WDBHADC , :.AD- ADf, ZDAB-Z 1AC , T ZDA駅ZDAU9 , Z DAC+Z刃年90, Z ADD1 = 45,故选 D.评注：症转不改变图形的大小与形状，症转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转前后 图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键.知识点3：旋转作图1. 明确作图的条件：（1）已知旋转中心；（2）已知旋转方向与旋转角.2. 理解作图的依据：（1）旋转的定义：在平面，将一个图形绕一个定点0沿某个方向转动 一个角度的图形变换叫做旋转；（2）旋转的性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿 相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等.3. 掌握作图的步骤：（1）分析题目要求，找出旋转中心、症转角；（2）分析图形，找出构成 图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论.例2如图3,小明将绕0点族转得到ABC,其中点A、C分别是小B、 C的对应点.随即又将/!腮的边AC.BC及旋转中心0擦去（不留痕迹），他说他还能把族转中 心0及的位置找到，你认为可以吗？若可以，试确定族转中心及的位置；如不可以，请说 明理由.分析：本题的关键是要学生先确定徙转中心的位置根据对应点到旋转中心的距离相 等”这一特征，可推断出旋转中心是对应点连线（A/Y和BX）的垂直平分线的交点.这样 族转中心就可以确定了，从而的位置也就可以确定了.解：连接/S, BB,分别作/W, BE的垂直平分线，相交于0点，则0点即为症转中 心再作关于点的对应点，连接，则的位置就确定了.如图4所示.评注:族转角相等及对应点到.旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.考点4:钟表的旋转问题钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作族转运动，其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转菩皿这样时针每分钟旋转0.5;分针每小时旅转-周，则每分钟徙转例3从1点到1点25分,分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点25分时时针与分 针的夹角是多少度？分析：从1点到1点25分，分针与时针都转了 25分钟，所以分针症转的角度为 6x25 = 150P,时针旋转的角度为0.5x25 = 12.5; 1点整的时候,分针与时针的夹角为，分 针与时针分别同时族转15与12.5后，分针与时针的夹角为150 - 30 -125 = 107.5.解:分针旋转的角度为6 x25 = 15tf;时针旋转的角度为0.5 x25 = l2.5;分针与时针的夹角为15Cf -3$ -12.5 = 107.5.评注：(1)时针每分钟旋转0.5 ； (2)分针每分钟旋转6.这两个条件是旋转问题中的隐含 条件，也是解决此类问题的突破口解读生活中的旋转一. 旗转及其基本性质1. 旅转的概念在平面，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转， 这个定点称为旋转中心，转动的角称为族转角.2旋转的基本性质(1) 族转前后两个图形的对应点到族转中心的距离相等；(2) 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.3.理解症转中的不变量图形旋转的主要因素是旋转的方向和族转的角度，图形在旋转过程中，图形中的每一点都 按同样的方向旋转了相同的角度图形在旋转后点的位置改变但线段的长度不变，对应点到 族转中心的距离不变，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等.总结：旋转过程中，每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度，任意一对对 应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.二. 茨转前后两个图形的比较图形是由点组成的，图形中的主要元素有线段和角，也有一些其他可度量的元素，所以从 这两个方面加以分析旋转的特点有以下几个方面：(1) 旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变，位置发生了改变；(2) 对应线段相等，对应角相等；(3) 每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是症转角.三. 旋转作图1旋转作图的依据是：图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应 点到旋转中心的距离相等.2. 旋转作图的条件(1) 图形原来所在的位置；(2)旋转中心；(3)图形旋转的方向；(4)图形的族转角度.3. 旋转作图的具体步骤为：(1) 分析題目的要求，找出旋转中心、旋转角；(2) 分析所作的图形，找出构造图形的关键点；(3) 沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。 连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心； 转：即把连线按要求绕症转中心转过一定角度； 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了避免 作图时的混乱，每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转；(4) 连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；(5) 写出结论(方格纸作图可以略写结论)四. 旋转作图的考査形式(1) 已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；(2) 已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作族转后的图形；(3) 已知原图、族转中心和旋转角，求作旋转后的图形.五. 典例剖析例1如图1, D是等腰RtAABC -点，是斜边，如果将绕点A逆时针方 向旋转到的位置，则厶DD的度数是(D )A. 25E30图1C. 35?D. 45解析：根据旋转性质可知 ABDHACD、ZB倍 Z CAD, AD- AD9 9 Z 场仍 ZG少 90 ,ZC4D + Z 创工 90,ZAD/y-1（180-90）=45 ,故应选 Q.评注：本题应用族转性质得到两三角形全等，然后根据全等三角形的性质和三角形角和图2定理求解即可.例2如图2,该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（） A. 72E. 108C. 144 D. 216解析：整个图形可以看作是图形的五分之一绕中心位置，按照同一方向连续旋转72 . 144 . 216 288. 360和原来图形共同组成的，所以本题应选8。评注：解决本题的关键是通过动手操作和动脑分析，找到“基本图案”，并分析得到旋 转角，对本题来说，只要找到了 “基本图案”，所有的旅转角一定都是72的倍数.例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，AABC的三个 顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）.（1）画出ABC向平移4个单位后的（2）画出AABC绕点O顺时针旋转90后的 45G,并求点A旋转到儿所经过的厶厶图3路线长.分析：在作图的时候要找到关键 点的位置，本题有两步作图，第一步 是平移，第二步是旋转，按照平移和 族转的作图步骤容易得到最后的图点A旅转到心所经过的路线长为以Q4为半径，圆心角为90的弧长.解：(1)画出(2)画出连结Q4, OA2 , OA =血+彳三=皿点A族转到人所经过的路线长为/ =竺竺=竺兀- 180 2评注：在方格纸上作简单的族转图形旋转角度通常是90=这样旅转前后图形的对应点 与旋转中心的连线互相垂直实际上就是在方格纸上找垂线，再根据旋转的性质找线段相等, 从而确定每个对应点.学好旋转的三个要点族转在实际生活中随处可见.因此，学好族转的知识有利于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：一、正确理解旋转的概念在平面，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旅转，这个定点叫做族转中心.族转不改变图形的形状和大小.图1理解这个概念应注意以下两点：1. 旋转和平移一样，是图形的一种基本变换；度.2. 图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角例如图1 , ZXABC是等腰直角三角形，AB = AC. ZBAC = 90% D是BC上一点ACD经过旅转后到达ABE的位置.(1) 旅转中心是哪一点？(2) 旅转了多少度？(3) 若P是AC的中点，那么经过上述旋转后，点P旋转到了什么位置？解：（1）点A是旋转中心；（2）顺时针旋转了 90；（3）点P旋转到了 A3的中点.二、掌握旋转的待征图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相 等，对应线段、对应角都相等；徙转前后图形的大小、形状都不发生变化.例2如图2所示，是国际奥林匹克运动会会旗（五环旗） 的标志图案，它是由五个半径相同的圆组成的，它象征看五的体育健儿，为发展奧林匹克精神而团结起来，携手拼搏.观察此图案，图2结合我们所学习的图形变换知识，完成下列题目：（1）整个图案可以看做是什么图形？（2）此图案可以看做是把一个圆经过多次什么变换运动得到的？解：（1）这个图案是轴对称图形.（2）既可以看做是由一个圆经过4次平移得到的，又可以看做是一个圆经过4次旋 转得到的（你能分析吗，提示：旋转中心可以不在图案上）.三、会寻找旋转中心知道了旋转中心及旋转角，可以作出一个图形旋转后的图形.那么知道一个图形及 其族转后的图形时，如何确定旋转中心呢？确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心， 由症转待征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心.由旋转特征可知，如果已知图形上点A关于族转中心O的对应点是则有 OA = OA所以点O必在线段A/V的垂直平分线上；如果图形上点关于旋转中心O的对 应点是3,则OB = OB，,所以点O必在线段33的垂直平分线上.这样两个对应点A和A 以及3和3连线的垂直平分线的交点就是族转中心.例3如图3所示，四边形ABCD绕某点旋转后到四边形ABCD,你能确定旋转 中心吗?试一试.分析：我们可以用待定位置法.假定点O就是族转中心，由于对应点到旋转中心的 距离相等，则有OA = OA OB = OB从而O定是线段AA和线段的垂直平分线的交 点上.解：如图3所示，连结/VT, BB.分别作A/V,的垂直平分线，两直线交于点O则点O就是族转中心.例2如图4, AABC是等边三角形，点D G分别是AB, AC的中点，四边形和四边形AGHK都是正方形.（1）试确定正方形AGHK绕某点旋转得正方形的旋转中心.（2）正方形BDEF旋转多少度时可以与正方形AGHK重合？分析：因为四边形AGHK和四边形3DEF都是正方形，所以情况较多，我们只选择 其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们.解：（1）选择3D和GH作为对应线段（点3对应点G,点D的对应点为点H）.连接DG, DH, BG,则易知QB = ZX7 = GH,连接点D与线段BG的中点M并延长, 连接点G与线段 M 的中点并延长，两直线相交于点O,则有GO垂直平分DO垂直 平分BG ,则点O就是旋转中心.ZBOG为旋转角.（2） ZDGH = ZDGA + ZAGH = 150 ,ZNGH=、ZDGH = W2ZMGO = ZNGH=75。（对顶角）.又 ZGW = 90,所以 ZMOG = 15.所以旋转角ZBOG = 2ZMOG = 30 .所以当正方形BDEF绕点O顺时针旋转30。时，可与正方形GHKA重合.旋转坐标新意多求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多，下面举例说明, 供同学们学习时参考1、求族转90后点的坐标例1、如图，在平面直角坐标系中，点月的坐标为（1, 4）,将线段创绕点0顺时针症转 90得到线段or ,则点才的坐标是.分析：在平面直角坐标系中，先做出必绕点0顺时针旋转90。后得到的线段OAf ,然 后报据点才的特征求出点才的坐标解：如图所示，做出创绕点0顺时针旋转90后得到的线段创，则月的坐标为（4,规律总结：已知点A的坐标为（，”），O为坐标原点，连结OA,将线段OA绕点O按 顺时针方向旋转90得则点儿的坐标为将线段QA绕点O按逆时针方向旋转90得，则点仏的坐标为（一”，“），2、求旋转180后点的坐标例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点水2, 3）,若将创绕原点0逆时针旋转180得到0川，则点才在平面直角坐标系中的位置是在A第一象限 B 第二象限 c第三象限 D第四象限分析：将创绕原点0逆时针族转180得到0川，则点川与点力关于原点成中心对称,根据点力的坐标即可求出点才 的坐标，从而确定才 在平面直角坐标系中的位置解：因为创绕原点0逆时针徙转180得到0川，所以点川与点力关于原点成中心对 称，又因为点力得坐标为（2, 3）,所以点川的坐标为（-2, -3）,所以点川在第三象限， 选C规律总结：已知点A的坐标为（，”），0为坐标原点，连结OA,将线段OA绕点O按顺时针方向（或逆时针方向）旋转180。得则点儿的坐标为（ gb）,3、求旋转135后点的坐标例3、点月的坐标为（JI, 0）,把点才绕着坐标原点顺时针族转135?到点，那么点 的坐标是分析：如图所示，在平面直角坐标系中，小格点正方形的边长为1,在图中先通过旋转 作图确定点的位置，然后再求出它的坐标解：点力的坐标为（、伍，0）,则点力在x轴的正半轴上，把点才绕着坐标原点顺时针 旋转135?到点乩则点在第三象限且在第三象限的角平分线上，由于妙加二血，所以 点就在边长为1的格点正方形的顶点上，则点的坐标为（-1, 1）例4、如图，在直角坐标系中，已知点人（-3,0）, 5（0,4）,对OAB连续作症转变换，依 次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为析解：认真观察图形可知，连续作旋转变换依次得到三角形的直角顶点的坐标为（0,0）,三角形的直角顶点的坐标未知，三角形的直角顶点的坐标为（12, 0）,三角形的直角顶点的坐标为（12, 0）,，由此可见其中的规律：三角形的直角顶点的纵坐标总是0, 二横坐标每经过三次变换增加12,依此类推三角形的直角顶点的坐标为（36, 0）点评：解决本题的关键是找出Q4B连续作旋转变换中三角形的直角顶点的坐标的变化 规律，要求同学们具有一定的探索和想象能力。旋转常见错解剖析图1一、分析族转作图时语吉叙述不准确 例1分析图1的旋转现象.错解：本题是由图案的丄绕图案中心分别族转4四次，每次旅转90形成的.剖析：分析旋转图案的方法：（1）找准旋转图案 的基本图案，本题取图案的丄或丄；（2）找出族42转中心；（3）算准旋转的角度.正解：是由一个梯形绕图案中心依次旅转90。，180。，270而形成的，也可以看做是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180而形成的.二. 弄错图形的旅转方向如图2,将网格中的/仏C绕C逆时针旅转90。,画出旅转后的图形.1111U11 A 11QDE图2图3错解：作Z应OZ应世90并截取CA=CA9 CB二CB；连结伪、BA、M就得到了旅 转后的图形4CB/L剖析：这种作法显然没有注意到是逆时针方向旋转，同学们可以按照逆时针方向作 一下，看看是不是与图3所示一样.三、忽视分类讨论例3 在中，Z広45。，ZU60 ,将绕点力旋转30后与，個C重合，求ZBAC的度数.错解：如图4,因为在中，Z広45 , Z660 ,所以Z胡075 .所以Z丽亿VZGG=75 +30 =105 .图4图5剖析：本题将/!比绕点M旋转30 ,并未指明症转方向，故应分两种情况，错解 只考虑了一种情况.正解：当绕点力逆时针方向旋转30。时，作法同错解；当川绕点川顺时针方向旋转 30 时，如图 9, ZBACpZBBAC-ZCAG=75 一30 =45 .四、对换转角的概念理解不准确例4如图6, P等边宓是由等边川经过徙转得到的试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.图6错解：等边別於是由等边绕旋转中心按逆时针方向旋转Z用滋的度数形成的.剖析：错误的原因在于没有正确找出对应线段，从而把旋转的角度弄错了.正解：宓是由等边力腮绕旋转中心按逆时针方向，旋转Z0别的度数形式的.五、旋转作图中，找不准关镀点，错用旋转的性质例5如图7所示，请将方格纸中的图形以点0为旋转中心，顺时针旋转90。，再向左平移两格，你能作出相应的图形吗？错解：如图8所示.剖析：未找准关键点关于旋转中心的对称点.正解：如图9所示.图7图8图9