数学第七章 图形与变换 第二节 图形的对称、平移、旋转与位似

第二节图形的对称、平移、旋转与位似考点一考点一 轴对称图形与中心对称图形轴对称图形与中心对称图形 (5(5年年2 2考考) )例例1 1(2018(2018德州中考德州中考) )下列图形中，既是轴对称图形又是下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是中心对称图形的是( )( )【分析分析】 观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形即可得出结论是中心对称图形的图形即可得出结论【自主解答自主解答】选项选项A A是中心对称图形，但不是轴对称图形；是中心对称图形，但不是轴对称图形；选项选项B B既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项C C是轴对称是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项图形，但不是中心对称图形；选项D D既不是轴对称图形，又既不是轴对称图形，又不是中心对称图形故选不是中心对称图形故选B.B.1 1(2018(2018青岛中考青岛中考) )观察下列四个图形，中心对称图形观察下列四个图形，中心对称图形是是( )( )C C2 2(2018(2018广东中考广东中考) )下列所述图形中，是轴对称图形但下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是不是中心对称图形的是( )( )A A圆圆 B B菱形菱形C C平行四边形平行四边形 D D等腰三角形等腰三角形D D3 3(2018(2018重庆中考重庆中考B B卷卷) )下列图形中，是轴对称图形的下列图形中，是轴对称图形的是是( )( )D D考点二考点二 图形的平移图形的平移 (5(5年年2 2考考) )例例2 2(2017(2017东营中考东营中考) )如图，把如图，把ABCABC沿着沿着BCBC的方向平移到的方向平移到DEFDEF的位置，它们重叠部分的面积是的位置，它们重叠部分的面积是ABCABC面积的一半，若面积的一半，若BCBC ，则，则ABCABC移动的距离是移动的距离是( )( )3【分析分析】 根据平移的性质，移动的距离可以视为根据平移的性质，移动的距离可以视为BEBE或或CFCF的的长度，根据题意可知长度，根据题意可知ABCABC与阴影部分为相似三角形，可推与阴影部分为相似三角形，可推出出ECEC的长，利用线段的差求的长，利用线段的差求BEBE的长的长【自主解答自主解答】ABCABC沿沿BCBC边平移到边平移到DEFDEF的位置，的位置，ABDEABDE，ABCABCHECHEC， 平移前后的两个图形是全等图形，两个图形上的对应点之平移前后的两个图形是全等图形，两个图形上的对应点之间的距离为平移的距离，两个图形的对应线段互相平行且间的距离为平移的距离，两个图形的对应线段互相平行且相等相等4 4(2016(2016济宁中考济宁中考) )如图，将如图，将ABEABE向右平移向右平移2 cm2 cm得到得到DCFDCF，如果，如果ABEABE的周长是的周长是16 cm16 cm，那么四边形，那么四边形ABFDABFD的周的周长是长是( )( )A A16 cm B16 cm B18 cm18 cmC C20 cm D20 cm D21 cm21 cmC C5 5(2018(2018温州中考温州中考) )如图，已知一个直角三角板的直角顶如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点点与原点重合，另两个顶点A A，B B的坐标分别为的坐标分别为( (1 1，0)0)，(0(0， ) )现将该三角板向右平移使点现将该三角板向右平移使点A A与点与点O O重合，得到重合，得到OCBOCB，则点，则点B B的对应点的对应点BB的坐标是的坐标是( )( )3C C6 6如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，BCBC12 cm12 cm，点，点D D在在ACAC上，上，DCDC4 cm.4 cm.将线段将线段DCDC沿着沿着CBCB的方向平移的方向平移7 cm7 cm得到线段得到线段EFEF，点，点E E，F F分别落在边分别落在边ABAB，BCBC上，则上，则EBFEBF的周长为的周长为_cm._cm. 13 13 考点三考点三 图形的旋转图形的旋转 (5(5年年2 2考考) )命题角度命题角度旋转的性质旋转的性质例例3 3(2016(2016东营中考东营中考) )如图如图1 1，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BACBAC9090，ABABACAC，四边形，四边形ADEFADEF是正方形，点是正方形，点B B，C C分别分别在边在边ADAD，AFAF上，此时上，此时BDBDCFCF，BDCFBDCF成立成立(1)(1)当当ABCABC绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转(0(09090) )时，如图时，如图2 2，BDBDCFCF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(2)(2)当当ABCABC绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转4545时，如图时，如图3 3，延长，延长BDBD交交CFCF于于点点H.H.求证：求证：BDCFBDCF；当当ABAB2 2，ADAD3 3 时，求线段时，求线段DHDH的长的长2【分析分析】 (1) (1)先用先用“SAS”SAS”证明证明ABDABDACFACF，再用全等三，再用全等三角形的性质即可得角形的性质即可得BDBDCFCF成立；成立；(2)(2)利用利用HFNHFN与与ANDAND的内角和以及它们的等角，得到的内角和以及它们的等角，得到NHFNHF9090，即可得的结论；连接，即可得的结论；连接DFDF，延长，延长ABAB，与，与DFDF交于点交于点M M，利用，利用BMDBMDFHDFHD求解求解【自主解答自主解答】 (1)BD(1)BDCFCF成立成立证明：证明：ACACABAB，CAFCAFBADBAD，AFAFADAD，ABDABDACFACF，BDBDCF.CF.(2)(2)由由(1)(1)得得ABDABDACFACF，HFNHFNADN.ADN.又又HNFHNFANDAND，NHFNHFNADNAD9090，DHHFDHHF，即，即BDCF.BDCF.如图，连接如图，连接DFDF，延长，延长ABAB，与，与DFDF交于点交于点M.M.在在MADMAD中，中，MADMADMDAMDA4545，BMDBMD9090. .在在RtRtBMDBMD与与RtRtFHDFHD中，中，MDBMDBHDFHDF，BMDBMDFHD.FHD.旋转变换的易错点旋转变换的易错点在旋转过程中，旋转角、对应边、对应角都是相等的，容易在旋转过程中，旋转角、对应边、对应角都是相等的，容易触雷的地方有两处：触雷的地方有两处：(1)(1)找不准对应角、对应边；找不准对应角、对应边；(2)(2)分不清哪一个是旋转角分不清哪一个是旋转角7 7(2018(2018山西中考山西中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，A A6060，ACAC6 6，将，将ABCABC绕点绕点C C按逆时针方向旋转得到按逆时针方向旋转得到ABCABC，此时点，此时点AA恰好在恰好在ABAB边上，则点边上，则点BB与点与点B B之间之间的距离为的距离为( )( )A A12 B12 B6 C6 C6 D6 D6 6D D238 8(2018(2018枣庄中考枣庄中考) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，ADAD2 2 ，把边把边BCBC绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转3030得到线段得到线段BPBP，连接，连接APAP并延长交并延长交CDCD于点于点E E，连接，连接PCPC，则三角形，则三角形PCEPCE的面积为的面积为_._.39-5 3命题角度命题角度平面直角坐标系中的旋转平面直角坐标系中的旋转例例4 4(2018(2018济宁中考济宁中考) )如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A A，C C在在x x轴上，点轴上，点C C的坐标为的坐标为( (1 1，0)0)，ACAC2 2，将，将RtRtABCABC先绕点先绕点C C顺时针旋转顺时针旋转9090，再向右平移，再向右平移3 3个单位长度，则变换后点个单位长度，则变换后点A A的对应点坐标是的对应点坐标是( )( )A A(2(2，2) B2) B(1(1，2)2)C C( (1 1，2) D2) D(2(2，1)1)【分析分析】 根据旋转变换的性质得到旋转变换后点根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A A的对应点的对应点坐标，根据平移的性质解答即可坐标，根据平移的性质解答即可【自主解答自主解答】如图，先根据题意如图，先根据题意画出画出ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转9090后的图形后的图形A A1 1B B1 1C.C.点点C C的坐标为的坐标为( (1 1，0)0)，A A1 1C CACAC2 2，点点A A1 1的坐标为的坐标为( (1 1，2)2)再画出将再画出将A A1 1B B1 1C C向右平移向右平移3 3个单位长度后的图形个单位长度后的图形A A2 2B B2 2C C2 2，点点A A2 2的坐标为的坐标为(2(2，2)2)故选故选A.A. 9 9(2017(2017阜新中考阜新中考) )如图，正方形如图，正方形OABCOABC在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，点中，点A A的坐标为的坐标为(2(2，0)0)，将正方形，将正方形OABCOABC绕点绕点O O顺时针旋转顺时针旋转4545，得到正方形，得到正方形OABCOABC，则点，则点CC的坐标为的坐标为( )( )A A1010(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，将正方形网格放置在平面直如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1 1，ABCABC经过经过平移后得到平移后得到A A1 1B B1 1C C1 1. .若若ACAC上一点上一点P(1.2P(1.2，1.4)1.4)平移后对应点平移后对应点为为P P1 1，点，点P P1 1绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转180180，对应点为，对应点为P P2 2，则点，则点P P2 2的坐标为的坐标为( )( )A A(2.8(2.8，3.6) B3.6) B( (2.82.8，3.6)3.6)C C(3.8(3.8，2.6) D2.6) D( (3.83.8，2.6)2.6)考点四考点四 图形的对称与折叠图形的对称与折叠 (5(5年年4 4考考) )命题角度命题角度轴对称最短路径轴对称最短路径例例5 5(2017(2017东营中考东营中考) )如图，菱形如图，菱形ABCDABCD的周长为的周长为1616，面积为，面积为8 8 ，E E为为ABAB的中点，若的中点，若P P为对角线为对角线BDBD上一动点，则上一动点，则EPEPAPAP的最小值为的最小值为 3【分析分析】 首先利用轴对称的性质确定出点首先利用轴对称的性质确定出点P P的位置，然后根的位置，然后根据勾股定理求出据勾股定理求出EPEPAPAP的最小值即可的最小值即可【自主解答自主解答】 如图，作如图，作CEABCEAB于于EE，交交BDBD于于PP，连接，连接ACAC，AP.AP.菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为1616，面积为，面积为8 8 ，ABABBCBC4 4，ABABCECE8 8 ，CECE2 .2 .在在RtRtBCEBCE中，中，BEBEBEBEEAEA2 2，E E与与EE重合重合 333四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，BDBD垂直平分垂直平分ACAC，A A，C C关于关于BDBD对称，对称，当当P P与与PP重合时，重合时，PAPAPEPE的值最小，最小值为的值最小，最小值为CECE的长为的长为2 .2 .故答案为故答案为2 .2 .33在利用轴对称的性质求解最短路径问题时，关键是通过轴对在利用轴对称的性质求解最短路径问题时，关键是通过轴对称的性质确定距离最大或最小的动点位置，然后利用勾股定称的性质确定距离最大或最小的动点位置，然后利用勾股定理等性质求解最易出错的地方就是不能够利用轴对称的性理等性质求解最易出错的地方就是不能够利用轴对称的性质确定位置质确定位置1111(2018(2018东营中考东营中考) )在平面直角坐标系内有两点在平面直角坐标系内有两点A A，B B，其，其坐标为坐标为A(A(1 1，1)1)，B(2B(2，7)7)，点，点M M为为x x轴上的一个动点，若轴上的一个动点，若要使要使MBMBMAMA的值最大，则点的值最大，则点M M的坐标为的坐标为 3(- 0)2，1212(2018(2018十堰中考十堰中考) )如图，如图，RtRtABCABC中，中，BACBAC9090，ABAB3 3，ACAC6 6 ，点，点D D，E E分别是边分别是边BCBC，ACAC上的动点，则上的动点，则DADADEDE的最小值为的最小值为 2163命题角度命题角度图形的折叠图形的折叠例例6 6 (2016(2016东营中考东营中考) )如图，折叠矩形如图，折叠矩形ABCDABCD的一边的一边ADAD，使，使点点D D落在落在BCBC边的点边的点F F处，已知折痕处，已知折痕AEAE5 cm5 cm，且，且tanEFCtanEFC ，那么矩形，那么矩形ABCDABCD的周长为的周长为 cm.cm.534【分析分析】 利用折叠的性质和三角函数的知识解答即可利用折叠的性质和三角函数的知识解答即可【自主解答自主解答】tanEFCtanEFC ，设设CECE3k3k，则，则CFCF4k.4k.由勾股定理得由勾股定理得EFEFDEDE5k5k，DCDCABAB8k.8k.AFBAFBBAFBAF9090，AFBAFBEFCEFC9090， 34BAFBAFEFCEFC，tanBAFtanBAFtanEFCtanEFC ，BFBF6k6k，AFAFBCBCADAD10k.10k.在在RtRtAFEAFE中，由勾股定理得中，由勾股定理得AEAE解得解得k k1 1，故矩形，故矩形ABCDABCD的周长的周长2(AB2(ABBC)BC)2(8k2(8k10k)10k)36.36.故答案为故答案为36.36.34忽略折叠前后的对应关系忽略折叠前后的对应关系在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠( (翻折翻折) )前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应线段相等的性质解题等的性质解题1313(2018(2018青岛中考青岛中考) )如图，三角形纸片如图，三角形纸片ABCABC，ABABACAC，BACBAC9090，点，点E E为为ABAB中点沿过点中点沿过点E E的直线折叠，使点的直线折叠，使点B B与点与点A A重合，折痕重合，折痕EFEF交交BCBC于点于点F F，已知，已知EFEF ，则，则BCBC的长是的长是( )( )32B B1414(2018(2018扬州中考扬州中考) )如图，四边形如图，四边形OABCOABC是矩形，点是矩形，点A A的的坐标为坐标为(8(8，0)0)，点，点C C的坐标为的坐标为(0(0，4)4)，把矩形，把矩形OABCOABC沿沿OBOB折叠，折叠，点点C C落在点落在点D D处，则点处，则点D D的坐标为的坐标为 1515(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6 6，BCBC1010，将矩形，将矩形ABCDABCD沿沿BEBE折叠，点折叠，点A A落在落在AA处，若处，若EAEA的延长线的延长线恰好过点恰好过点C C，则，则sinABEsinABE的值为的值为 1010考点五考点五 图形的位似图形的位似 (5(5年年2 2考考) )例例7 7(2016(2016东营中考东营中考) )如图，在平面直角坐标系中，已知如图，在平面直角坐标系中，已知点点A(A(3 3，6)6)，B(B(9 9，3)3)，以原点，以原点O O为位似中心，相似为位似中心，相似比为比为 ，把，把ABOABO缩小，则点缩小，则点A A的对应点的对应点AA的坐标是的坐标是( )( )A A( (1 1，2)2)B B( (9 9，18)18)C C( (9 9，18)18)或或(9(9，18)18)D D( (1 1，2)2)或或(1(1，2)2)13【分析分析】 方法一：位似图形也是相似图形，可以利用相似方法一：位似图形也是相似图形，可以利用相似比进行解答；方法二：利用位似比进行解答比进行解答；方法二：利用位似比进行解答【自主解答自主解答】方法一：如图，方法一：如图，ABOABO和和ABOABO关于关于原点位似，原点位似，ABOABOABOABO，且，且AEAE ADAD2 2，OEOE ODOD1 1，A(A(1 1，2)2)同理可得同理可得A(1A(1，2)2) 1313方法二：方法二：点点A(A(3 3，6)6)且相似比为且相似比为 ，点点A A的对应点的对应点AA的坐标是的坐标是( (3 3 ，6 6 ) )，A(A(1 1，2)2)点点AA和点和点A(A(1 1，2)2)关于原点关于原点O O对称，对称，A(1A(1，2)2)故选故选D.D.131313确定位似图形的位置确定位似图形的位置解答此类问题时，先确定点的坐标及相似比，再分别把横、解答此类问题时，先确定点的坐标及相似比，再分别把横、纵坐标与相似比相乘即可注意原图形与位似图形是同侧纵坐标与相似比相乘即可注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘的相似比的正负，这是最易出错的还是异侧，来确定所乘的相似比的正负，这是最易出错的地方地方1616(2018(2018滨州中考滨州中考) )在平面直角坐标系中，线段在平面直角坐标系中，线段ABAB两个两个端点的坐标分别为端点的坐标分别为A(6A(6，8)8)，B(10B(10，2)2)若以原点若以原点O O为位似为位似中心，在第一象限内将线段中心，在第一象限内将线段ABAB缩短为原来的缩短为原来的 后得到线段后得到线段CDCD，则点，则点A A的对应点的对应点C C的坐标为的坐标为( )( )A A(5(5，1) B1) B(4(4，3)3)C C(3(3，4) D4) D(1(1，5)5)12C C1717(2018(2018菏泽中考菏泽中考) )如图，如图，OABOAB与与OCDOCD是以点是以点O O为位似为位似中心的位似图形，相似比为中心的位似图形，相似比为3434，OCDOCD9090，AOBAOB6060，若点，若点B B的坐标是的坐标是(6(6，0)0)，则点，则点C C的坐标是的坐标是_ (22 3) ，