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第2讲导数的简单应用做小题激活思维1(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_y3x因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03，所以所求的切线方程为y3x.2.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是以下选项中的()C由题图知，当x0时，f(x)0，所以yf(x)在(，0)上单调递增因为当0x2时，f(x)0，所以yf(x)在(0,2)上单调递减又当x2时，f(x)0，所以yf(x)在(2，)上单调递增3函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，)D(0，)B函数定义域为(0，)，由yx0得，0x1，故选B.4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)Df(x)k，由题意知k0，即k在(1，)上恒成立，又当x(1，)时，01，所以k1，故选D.5函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m的值为()A7 B.C3D4Df(x)x24，x0,3，f(x)0时，x2，f(x)0时，0x2，f(x)0时，2x3.所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4，故选D.6已知f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则ab等于()A0或7B7C0D7B因为f(x)3x22axb，所以f(1)32ab0，f(1)1aba210，由得或而要在x1处取到极值，则4a212b0，故舍去所以只有所以ab7，故选B.扣要点查缺补漏1导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率(2)函数yf(x)在点xx0处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，如T1.2导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递减如T2.(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.如T3.(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解如T4.3导数与函数的极值、最值(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点如T5.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处，f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间的端点处取得如T6.导数的运算及其几何意义(5年11考)高考解读以导数的几何意义为载体，考查曲线切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.1一题多解(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyxD法一：(直接法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.法二：(特值法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.2(2011大纲版高考)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A BCD1A由题意，得：y(e2x1)e2x(2x)2e2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k2e02，切线方程为y2x2.联立得C.与y0和yx围成三角形的面积为SOBCOB1.3(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.1ln 2求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.1(考查导数的运算)设函数f(x)fx22xf(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程是()A5xy40B3xy20Cxy0Dx1Af(x)fx22xf(1)ln x，f(x)2fx2.令x得f2f22f(1)，即f(1)1.又f(1)f2，f3，f(1)2f2f(1)6215.曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y15(x1)，即5xy40，故选A.2(与不等式交汇)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6，且点A在直线mxny10(其中m0，n0)上，则的最小值为()A4B32C64D8C设A(s，t)，yx32x22的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t.由点A在直线mxny10(其中m0，n0)，可得2m2n1，则(2m2n)2264，当且仅当nm时，取得最小值64，故选C.3(求切点的坐标)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_(1,1)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1,1)4(与圆锥曲线交汇)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_4由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，P(4,8)，Q(2,2)又抛物线可化为yx2，yx.过点P的切线斜率为y|x44.过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y|x22，过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立得点A的纵坐标为4.利用导数研究函数的单调性(5年4考)高考解读以函数的单调性为载体，融一元二次不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知识的灵活应用能力，有一定的难度. (2018全国卷节选)已知函数f(x)xaln x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，且f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减()若a2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，单调递减，在单调递增利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0即可；若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解(4)含参数讨论单调性常见的四个方面讨论如f(x).二次系数的讨论根的有关讨论，“”讨论根大小讨论根在不在定义域内讨论1(借助单调性比较大小)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定A设g(x)，则g(x)，由题意知g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)ex2f(x1)2(借助单调性解不等式)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0.当x0时，xf(x)2f(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是( )A(，1)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(0,1)D(1,0)(1，)C令g(x)，g(x)，又g(1)0，当x0时，xf(x)2f(x)，即g(x)0，因为f(x)为偶函数，所以当x0时，g(x)0，f(x)0等价于g(x)0，所以或所以0x1或1x0，选C.3(已知单调性求参数的范围)已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x.所以函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增，所以f(x)0对x(1,1)都成立因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1,1)都成立令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1,1)上单调递增所以g(x)g(1)(11).所以a的取值范围是.4(含参数的复合函数的单调性)已知函数f(x)aln(x1)axx2，讨论f(x)在定义域上的单调性解f(x)a2x，令f(x)0，得x0或x，又f(x)的定义域为(1，)，当1，即当a0时，若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当10，即2a0时，若x，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当0，即a2时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减当0，即a2时，若x(1,0)，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f(x)0，则f(x)单调递增；若x，f(x)0，则f(x)单调递减综上，当a0时，f(x)在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减；当2a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，)上单调递减；当a2时，f(x)在(1，)上单调递减；当a2时，f(x)在(1,0)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.利用导数研究函数的极值(最值)问题(5年5考)高考解读试题常以线性函数与指数函数或对数函数的组合形式出现，考查导数的运算法则、极(最)值的求法，考查分类讨论及数形结合思想，考查等价转化能力及逻辑推理能力，难度较大.1(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1B2e3C5e3D1A函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.2(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由切入点：(1)分a0，a0，a0三类讨论f(x)的单调性；(2)分析f(x)在0,1上的单调性，分情况求a，b的值解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1.教师备选题1(2016全国卷)(1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20.(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域解(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a单调递增对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y单调递增，所以，由xa(0,2，得h(a).因为y单调递增，对任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.2(2018全国卷节选)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a.解(1)当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0.所以f(x)在(1，)单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.(2)若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|min时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).如果6a10，则当0x，且|x|min时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min时，h(x)0，所以x0不是h(x)的极大值点如果6a10，则h(x)，则当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点综上，a.函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反1(知图判断函数极值)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D绘制表格考查函数的性质如下：区间(，1)(1,1)(1，)1x符号y(1x)f(x)的符号f(x)符号f(x)的单调性单调递减单调递增单调递增据此可得，函数f(x)在x1处取得极小值，在x1处无极值故选D.2(已知最值求参数)已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，e上的最小值为，则a的值为()ABCDeA由题意，f(x)，若a0，则f(x)0，函数单调递增，所以f(x)minf(1)a，矛盾；若ea1，函数f(x)在1，a上递减，在a，e上递增，所以f(a)，解得a；若1a0，函数f(x)是递增函数，所以f(1)a，矛盾；若ae，函数f(x)单调递减，所以f(e)，解得a，矛盾综上a.故选A.3(已知极值点个数求参数范围)已知n0，若函数f(x)恰有三个极值点，则实数m的取值范围是_由题意知f(x)的导函数f(x)在定义域上有三个零点，且在这三个零点附近的左、右两侧的函数值异号当x0时，令2xn0，得x，因为n0，所以x是f(x)的一个零点，且f(x)在其附近的左、右两侧的函数值异号，故需f(x)2mxln x在(0，)上有两个零点，且在这两个零点附近的左、右两侧的函数值均异号，即y2mx与yln x的图象在(0，)上有两个交点，故m的取值范围是.4(极值点个数的判断)已知函数f(x)ax1ln x(aR) .(1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0得x.f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.x(0，)，f(x)bx2恒成立，x(0，)，1b恒成立令g(x)1，则g(x)，由g(x)0得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增g(x)ming(e2)1，故实数b的最大值是1.
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