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第2讲选修45不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)高考解读以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的恒成立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等.1(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,12(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范围是1，)教师备选题(2018全国卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|1成立若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集为00x，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,21用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法1(有解问题)已知f(x)|x|2|x1|.(1)解不等式f(x)4；(2)若不等式f(x)|2a1|有解，求实数a的取值范围解(1)不等式f(x)4，即|x|2|x1|4，等价于或或x或无解或x2.故不等式的解集为2，)(2)f(x)|2a1|有解等价于f(x)min|2a1|.f(x)|x|2|x1|故f(x)的最小值为1，所以1|2a1|，得2a11或2a11，解得a1或a0，故实数a的取值范围为(，10，)2(恒成立问题)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)若g(x)f(x)f(x)，且对任意xR，都有|k1|g(x)，求实数k的取值范围解(1)依题意得f(x)于是得或或解得x或0x1或x1.故不等式f(x)2的解集为.(2)g(x)f(x)f(x)|x1|x1|(|2x1|2x1|)|(x1)(x1)|(2x1)(2x1)|4，当且仅当即x时取等号，若对任意的xR，不等式|k1|g(x)恒成立，则|k1|g(x)min4，所以4k14，解得3k5，即实数k的取值范围为(3,5).不等式的证明(5年3考)高考解读以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式，考查学生的逻辑推理及数学运算能力. (2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.教师备选题1(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形1(用基本不等式证明不等式)已知函数f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)4|x1|的解集；(2)设a，b，若ff10，求证：a.解(1)f(x)4|x1|可化为|x2|4|x1|，等价于或或解得x或x或x.所以原不等式的解集为.(2)因为a，b，所以2，4.则ff2210，即14.由基本不等式得，2224，当且仅当即时取等号所以144，即a.2(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意，|x1|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)高考解读以解答题的形式考查代数式(含绝对值不等式)的最值求法，考查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.2(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.教师备选题若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.1形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|AxB(AxC)|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.2形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|AxBAxC|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)max|AxB|AxC|max|BC|，f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.3形如f(x)|AxB|CxD|或f(x)|AxB|CxD|的最值由绝对值的几何意义作图可知1(求最值问题)设函数f(x)|x1|x|的最大值为m.(1)求m的值；(2)若正实数a，b满足abm，求的最小值解(1)|x1|x|x1x|1，f(x)的最大值为1，m1.(2)由(1)可知，ab1，(a1)(b1)(2aba2b2)(ab)2，当且仅当ab时取等号，的最小值为.2(求参数问题)设函数f(x)|2x1|xa|.(1)当a1时，求f(x)的图象与直线y3围成区域的面积；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值解(1)当a1时，f(x)|2x1|x1|如图，作出函数f(x)的图象与直线y3，结合图象可知所求面积为1(1).(2)法一：(借助分段函数的性质)当a，即a时，f(x)则f(x)minfa11，所以a.当a，即a时，f(x)则f(x)minf3a11，所以a.综上，a或a.法二：(解恒成立问题)f(x)|2x1|xa|xa|，当且仅当x时取等号令1，得a或a.3(与恒成立交汇)已知函数f(x)x|xa|，aR.(1)当f(1)f(1)1时，求a的取值范围；(2)若a0，x，y(，a，不等式f(x)|ya|恒成立，求a的取值范围解(1)f(1)f(1)|1a|1a|1，若a1，则1a1a1，得21，即a1；若1a1，则1a(1a)1，得a，即1a；若a1，则(1a)(1a)1，得21，此时不等式无解综上所述，a的取值范围是.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f(x)maxmin.当x(，a时，f(x)x2ax，f(x)maxf.因为|ya|，当且仅当(ya)0，即ya时等号成立，所以当y(，a时，mina.于是a，解得1a5.又a0，所以a的取值范围是(0,5
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