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第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教师授课资源备考指导圆锥曲线命题方向高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则1数形结合，画图.2定义活用(距离转化).3有关结论引用.4特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt)大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想题型：定值、定点、最值、范围思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换 2重视圆锥曲线的切线问题3重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)4重视圆锥曲线的类型(焦点位置)5圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标6重视以双曲线渐近线为背景的题目7重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2y1y2，转化锐角或钝角8重视弦长公式|AB|x1x2|的化简技巧9易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况做小题激活思维1已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是()A.1B.1C.1 D.1C由题意可得2c4，故c2，又e，解得a2，故b2，因为焦点在y轴上，故椭圆C的标准方程是1.2设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A30B25C24D40C|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，|PF1|8，|PF2|6.|F1F2|10，PF1PF2，S|PF1|PF2|8624.3过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212xBy212xCx212yDx212yD由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y.4.点M(1,1)到抛物线yax2准线的距离为2，则a的值为()ABC或D或C抛物线yax2化为x2y，它的准线方程为y，点M(1,1)到抛物线yax2准线的距离为2，可得2，解得a或.5“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A因为方程1表示双曲线，所以(25k)(k9)0，所以k9或k25，所以“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyxC因双曲线方程C：1(a0，b0)的离心率为，则e21，即，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx，故选C.扣要点查缺补漏1椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF1|PF2|2a；如T2.(2)焦点三角形的面积：SPF1F2b2tan .(3)离心率：e；如T1.(4)焦距：2c.(5)a，b，c的关系：c2a2b2.2双曲线1(a，b0)的几何性质(1)离心率e；(2)渐近线：yx.3抛物线的定义、几何性质(1)如图，|MF|MH|.如T3，T4.(2)已知抛物线y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为焦点焦半径|CF|x1； 过焦点的弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.4方程Ax2By21表示的曲线(1)表示椭圆：A0，B0且AB；(2)表示圆：AB0；(3)表示双曲线AB0；如T5.(4)表示直线：A0且B0或A0且B0.圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)高考解读以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为( )Ay29xBy26xCy23xDy2xC法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设a，则由已知得2a，由抛物线定义，得a，故BCD30，在RtACE中， |AF|3，33a，2，即33a6，从而得a1，3a3.p，因此抛物线方程为y23x，故选C.法二：由法一可知CBD60，则由|AF|3可知p3，2p3，抛物线的标准方程为y23x.3(轨迹问题)ABC的两个顶点为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则C点轨迹方程为( )A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0)D.1(y0)DABC的两顶点A(4,0)，B(4,0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.108，点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a10,2c8，即a5，c4，b3.C点的轨迹方程为1(y0)故选D.圆锥曲线的几何性质(5年10考)高考解读该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.1一题多解(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyxA法一：由题意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.法二：由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e，故选D.3(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(求离心率的取值范围)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.BF1，F2是椭圆1(a0，b0)的左、右两个焦点，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.2(求离心率的值)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_12如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为yx，.设mk，则nk，则双曲线N的离心率e22.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为2c，则|CF2|c，|CF1|c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，椭圆M的离心率e11.3(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_32，)由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x1，因为x，所以的取值范围为32，)4(与向量交汇考查几何性质)在椭圆1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有1，则与的夹角余弦值的范围为_设P(x，y)，则Q点(x，y)，椭圆1的焦点坐标为(，0)，(，0)，1，x22y21，结合1，可得y21,2故与的夹角满足：cos 3.直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)高考解读以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.1(2013全国卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1 D.1D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程为1.2(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.A令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得a2，即离心率e.故选A.3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.1在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解2处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验1(面积问题)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.D易知直线AB的方程为y，与y23x联立并消去x，得4y212y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2.SOAB|OF|y1y2|.故选D.2(弦长问题)若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，且被圆x2(ya)21截得的弦长为，则a( )A. B.C. D.B可以设切点为(x0，x1)，由y2x，切线方程为y(x1)2x0(xx0)，即y2x0xx1，已知双曲线的渐近线为yx，x01，2，一条渐近线方程为y2x，圆心(0，a)到直线y2x的距离是a.故选B.3.(最值问题)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2y24x30，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|4|QM|的最小值为()A23B42C12D52A由题意可设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以162p2，解得p4，所以抛物线C1的方程为y28x.圆C2：x2y24x30整理得(x2)2y21，可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y28x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，所以P(2,4)，Q(2，4)，于是|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2|4|QC2|5444525.当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为yk(x2)(k0)，由得k2x2(4k28)x4k20，则0，且x1x24，即x2.所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x124(x22)5x14x215x11521581523，当且仅当x1，即x14时等号成立因为2325，所以|PN|4|QM|的最小值为23.故选A.
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