高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案北师大版选修1

精品教案【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案北师大版选修1-2自我校对1(2)a=c,b=dz=abiZ(a,b)oZ ac （bd）i （ac）（bd）i可编辑精品教案复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义复数z=log3(x23x3)+ilog2(x3),当x为何实数时，(1)zCR；(2)z为虚数.【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，x23x30,所以log2x-3=0,x-30,由得x=4,经验证满足式.所以当x=4时，zCR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,x2-3x-30,所以log2x-3W0,x-30,由得可编辑所以当且xw4时,由得xw4,由得x3.z为虚数.再练一题101 .设i是虚数单位，若复数a-(aeR)是纯虚数，则a的值为()A.3B.1C.1D.3(2)设复数z满足i(z+1)=3+2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是由纯【解析】(1)因为a-=a-103=a103=(a-3)-i,3-i3i3+i10虚数的定义，知a3=0,所以a=3.(2)法一：设z=a+bi(a,bCR),则i(z+1)=i(a+bi+1)=b+(a+1)i=3+2i.b=-3,a=1,由复数相等的充要条件，得解得a+1=2,b=3.故复数z的实部是1.法二：由i(z+1)=3+2i,得z+1=3+2i=2+3i,故z=1+3i,即复数z的实i部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2=-1),除法运算注意应用共轲的性质z.z为实数.(1)设i是虚数单位，Z表示复数z的共轲复数.若z=1+i,则-+iz-=()iA.2B.2iC.2D.2i(2)设复数z满足(z2i)(2i)=5,则z=()A.2+3iB.23iC.3+2iD.3-2iz【精彩点拨】(1)先求出z及;，结合复数运算法则求解.(2)利用方程思想求解并化简.【规范解答】(1).z=1+i,.z=1i,一=1i,.+iz-=1i+iiiii(1-i)=(1i)(1+i)=2.故选C.552+i(2)由(z2i)(2-i)=5,得z=2i+2=2i+2_i2+i=2i+2+i=2+3i.【答案】(1)C(2)A再练一题2.已知（1+2i）z=4+3i,则皂的值为（）zA. _+一| 5B.3455C.D.4 i5【解析】因为（1 + 2i） z =4+3i, 所以 z = =2 i, 所1 +2i5z 2+i以 z = 2 + i,所以z 2-i2 + i 2 3 4= _ + _i.55 5复数的几何意义1 .复数的几何表示法：即复数z = a+bi（a,b e R）可以用复平面内的点 Z（a,b）来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.2 .复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.(1)在复平面内,于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1 2i(2)在复平面内，复数277应的点白坐标为()i复数对应的点位1 + iA. (0, - 1)B. (0,1)4C. 5,D.4 35 5【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标.【规范解答】i复数/i 1 i1 + i 1 -i1 + i 11=+ i.222，复数对应点的坐标是1 12，2 .i，复数;:在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.1+i1),故选A.1-2i1-2i2-i-5i(2l27T=27；2i-=彳=i，其对应的点为(0,【答案】(1)A(2)A再练一题3.(1)已知复数z对应的向量如图4-1所示，则复数z+1所对应的向量正确的是()图4-1z(2)若i为虚数单位,图4-2中复平面内点Z表示复数Z,则表示复数；7，的点是()图4-2B.FC.GD.H【解析】由题图知，z=2+i,.,.z+1=-2+i+1=-1+i,故z+1对应的向量应为选项A.z3+i3+i1-i4-2i(2)由题图可得z=3+i,所以=1+i1+i1+i1-i=2i,则其在复2平面上对应的点为H(2,1).【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即z=x+yi(x,yCR),则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轲复数等问题，都可以转化为实数x,y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.设zee,满足z+cr,z是纯z4虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设2=*+丫(*,yR),则11xyi1.z+_ R,zz+z=x+yi+X77=x+。+y。i，yx2+y2=0解得y=0或x2+y2=1,又,工一二=x+yi二=x一二十yi是纯虚数.444,yw0,代入x2+y2=1中，求出y=544再练一题4.满足z+-是实数，且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求z出虚数z；若不存在，请说明理由.【解】设虚数z=x+yi(x,yCR,且yw0),则z+=x+yi+.=x+2_5y-9=0,xx2+y2x+3=-y,因为ywo,x2+y2=5,x=-1所以解得x+y=-3,y=-2所以存在虚数z=12i或z=1.(2016全国卷)股复数z满足+y2+y-x2+y2i，z+3=x+3+yi.,x=-2,或：y=-1.2i满足题设条件.z+i=3i,则z=()555x5yA.1+2iB.12iC.3+2iD.32i【解析】由z+i=3i得z=32i,z=3+2i,故选C.【答案】C2. (2015广东高搭复数z=i(32i)(i是虚数单位)，则z=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i【解析】,.z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,，z=23i.【答案】Az3. (2015山东高搭复数z满足；=i,其中i为虚数单位，则z=()A.1-iB.1+iC.1iD.1+i【解析】由已知得z=i(1i)=i+1,则z=1i,故选A.【答案】A4. (2016全国卷)段(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A.-3B.-2C. 2D.3【解析】(1+2i)(a+i)=a2+(1+2a)i,由题意知a2=1+2a,解得a=-3,故选A.【答案】A1 +2i5. (2016北京高葭数=()2 -iA.iB.1+iD. 1i1+2i1+2i2+i5i【解析】=一=i.2-i2-i2+i5【答案】A6. (2016四川高殿i为虚数单位，则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i【解析】(1+i)2=1+2i+i2=2i.【答案】C7. (2016天津高岩是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为2【解析】因为(fl,所以“诏=1,所以其实部为1.8. (2016江苏高耒复数z=(1+2i)(3i),其中i为虚数单位，则z的实部是【解析】因为z=(1+2i)(3i)=3i+6i2i2=5+5i,所以z的实部是5.【答案】5章末综合测评(四)数系的扩充与复数的引入、选择题(时间120分钟，满分150分)(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,bCC,下列命题正确的是()A. 3i0【解析】 A选项中，虚数不能比较大小;B选项正确；C选项中，当 a, bCR结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i| =1- 313,但i金1+ 2 i或2匕选项中，当aCR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2=-10,b2+4b5=(b2)210.复数对应的点在第四象限.故选D.【答案】D10.如果复数z=3+ai满足条件|z2|2,那么实数a的取值范围是()A.(2审2gB.(-2,2)C.(T,1)D.(-3,【解析】因为|z2|=|3+ai2|=|1+ai|=dl+a22,所以a2+14,所以a23,即3a0,则z是实数B.若z20D.若z是纯虚数，则z20,则a242,z为实数，正确.ab=0,选项B,z2=(a+bi)2=a2b2+2abi0，贝Ua2b2,正确.选项C,若z为虚数，则bw0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误.a=0,选项D,若z为纯虚数，则则z2=b20,正确.bw0,【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13 .(2015重庆高X复数a+bi(a,bCR)的模为，3,则(a+bi)(abi)=【解析】.|a+bi|=Aya2+b2=J3,.(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.【答案】314 .a为正实数，i为虚数单位，=2,则a=ia+ia+ii解析=1ai,iiia+i则=|1ai|=,ya2+1=2,所以a2=3.又a为正实数，所以a=，3.【答案】:3117i15 .设a,bCR,a+bi=(i为虚数单位)，则a+b的值为.1-2i11 - 7i【解析】 a + bi =1 2i11 -7i 1 + 2i1 -2i 1 +2i25 +15i=5 + 3i,依据复数相等的5充要条件可得a=5,b=3.从而a+b=8.【答案】816 .若复数z满足|zi|/（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为【解析】设z=x+yi（x,yCR）,则由|zi|#2可得.x2+y12/2+y2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=20+16i.(2)2 + 2i2 +1 - i 2,220161 + i11 008i2x1+i=y3yi,有实数解，求实数a,b的值.2x+ay4xy+bi=98i,52x1=y,x=一,【解】由得解得2y-3=1,y=4,将x,y代入得(5+4a)(6+b)i=98i,5+4a=9,所以一6+b=-8,所以a=1,b=2.19.（本小题满分12分）实数k为何值时，复数z=（k23k4）+（k25k6）i是:实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.【解】（1）当k25k6=0,即k=6或k=1时，z是实数.(2)当k25k6w0,艮fkw6且kw1时，z是虚数.k23k4=0,当即k=4时，z是纯虚数.k25k6w0,k23k4=0,当即k=1时，z是0.k25k6=0,20.（本小题满分12分）已知复数z满足忆|=42,z2的虚部是2.（1）求复数z；（2）设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求AABC的面积.【解】(1)设z=a+bi(a,beR),贝Uz2=a2b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=1,所以z=1+i或z=1i.(2)当z=1+i时，z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,1),所以Smbc=1.当z=1i时，z222 .（本小题满分12分）设O为坐标原点，已知向量0五，0Z2分别对应复数z1, Z2,=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,1),B(0,2),C(1,3),所以S/ABC=1.21.(本小题满分12分)已知复数z1=，5i，z2=243i,z3=2i,z4=-y5在复平面上对应的点分别是A,B,C,D.【导学号：67720028(1)求证：A,B,C,D四点共圆；(2)已知AB=2AP,求点P对应的复数.【解】(1)证明：-1|Z1|=|Z2|=|Z3|=|Z4|=Ay5,即|OA|=|OB|=|OC|=|OD|,.A,B,C,D四点都在圆x2+y2=5上，即A,B,C,D四点共圆.(2).A(0,m),B$-近,AB=(#,-小-m)设P(x,y),则Ap=(x,y-/5),若AB=2AP,那么(啦,V5)=(2x,2y2/5),V2=2x,-V3-V5=2y-2r75，精品教案3且 zi =+(10 a2)i,a + 5求0Z1 0E2的值.【解】由题意，得一 3z1=0T7 (1 -a52z2=+(2a5)i,aR.若z1+z2可以与任意实数比较大小,1-a可编辑2二 十化”5）i3则z1+Z2=(10a2)i+a+532不+工+(a2+2”冲因为Z1+Z2可以与任意实数比较大小,所以Z1+Z2是实数，所以a2+2a-15=0,解得a=5或a=3.又因为a+5w0,所m=3,所以Z1=_+i,Z2=1+i.8所以 OZ1= 8, 1 ,UL f f 3所以 OZ1 OZ2 = - 8一、选择题（本大题共 只有一项是符合题目要求的O12=（-1,1）.（书+1x11.模块综合测评（时间120分钟，满分150分）12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,）1 .（2015湖北高岩为虚数单位，i607的共期复数为（）A.iB.iC.1D.1【解析】因为i607=i4x151+3=i3=-i,所以其共轲复数为i,故选A.2 .根据二分法求方程x22=0的根得到的程序框图可称为（）A.工序流程图B.程序流程图C.知识结构图D.组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图.【答案】B3 .下列框图中，可作为流程图的是（）A.|整数指数哥|1有理指数哥|1无理指数募b.随机事件T频率1-紊c. |入库”找书I阅览I-而出库I还书Id. |推理|图像与，定义|【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合.【答案】C4.（2016安庆高二检酬反证法证明命题a,beN,如果ab可被5整除，那么a,b至少有一个能被5整除.则假设的内容是（）A. a,b都能被5整除B. a,b都不能被5整除C. a不能被5整除D. a,b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有，故应假设“a,b都不能被5整除”.【答案】B5 .有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论一一根据一般原理对特殊情况作出的判断.此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】C2i6 .（2015安徽高殿i是虚数单位，则复数-!在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限2i2i1+i2i-1【解析】=1+i,由复数的几何意义知一1+i1i1-i1+i2在复平面内的对应点为（一1,1）,该点位于第二象限，故选B.【答案】B7 .考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据:种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407根据以上数据，则（）A.种子经过处理跟是否生病有关8 .种子经过处理跟是否生病无关C.种子是否经过处理决定是否生病D.以上都是错误的32101【解析】计算与一可知相差很小，故选B.93314【答案】B8.给出下面类比推理：“若2a2b,则ab”类比推出“若a2b2,则a0,贝Uab”类比推出“a,bCC,若ab0,贝Uab（C为复数集）”.其中结论正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以错误，正确，故选8.【答案】B9. （2015全国卷）执行下面的程序框图1,如果输入的0.01,则输出的n=（）图1A.5B.6C.7D.8【解析】逐次运行程序，直至输出n.11运行第次：S=12=2=0.5,m=0.25,n=1,S0.01;运行第二次：S=0.50.25=0.25,m=0.125,n=2,S0.01；运行第三次：S=0.250.125=0.125,m=0.0625,n=3,S0.01；运行第四次：S=0.125-0.0625=0.0625,m=0.03125,n=4,S0.01;运行第五次：S=0.03125,m=0.015625,n=5,S0.01;运行第六次：S=0.015625,m=0.0078125,n=6,S0.01;运行第七次：S=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S0”是“P,Q,R同时大于0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR0,包括P,Q,R同时大于0,或其中两个为负两种情况.假设P0,Q0,则P+Q=2b0,这与b为正实数矛盾.同理当P,R同时小于0或Q,R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P,Q,R同时大于0,所以选C.A. 34.6万元C. 36.6万元B. 35.6万元D. 37.6万元2一3一5164，一20+23+27+30y=4=25,所以这组数据的样本中心点是(一4,25).因为b=-2.4,把样本中心点代入线性回归方程得a=15.4,所以线性回归方程为y=2.4X+15.4.当x=8时，y=34.6.故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13 .已知复数z=m2(1+i)m(m+i)(mCR),若z是实数，则m的值为【解析】z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i,.m2-m=0,，m=0或1.【答案】0或114 .在平面几何中，MBC的/C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|：|EB|=|AC|：|CB|(如图2)，把这个结论类比到空间，如图2，在三棱锥ABCD中，平面CDE平分二面角ACDB且与AB相交于E,结论是-图2【解析】依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比【答案】S4acd:Sd=AE2:EB215 .(2015山东高题行下边的程序框图3,若输入的x的值为1,则输出的y的值图3【解析】当x=1时，12,则x=1+1=2;当x=2时，不满足x 7.879) 0.005)7.486.18.（本小题满分12分）给出如下列联表:患心脏病患其他病总计高血压201030/、局血压305080总计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系?(参考数据：P(x6.635)0610,【解】由列联表中数据可得110X20X5010X3(2在30X80X50X60又P(26.635)0010,所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系19.(本小题满分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证：ax+byw1(分别用综合法、分析法证明)【证明】综合法：:2axwa2+x2,2bywb2+y2,.2(ax+by)a2+b2)+(x2+y2).X.a2+b2=1,x2+y2=1,.2(ax+by)&2,ax+byw1.分析法：要证ax+by0,只要证22ax2byn0,X.a2+b2=1,x2+y2=1,，只要证a2+b2+x2+y22ax2byn0,即证(ax)2+(by)2n0,显然成立.20(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去试画出此监督程序的流程图【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21.（本小题满分12分）某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x（单位：万兀）1234销售收入y（单位：万元）12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的线性回归方程；（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元?【解】（1）散点图如图：（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a,b.ixiyix2xiyi111211222284563342912644561622469于是x2,代入公式得:xiyi 4 x yi=lb =4x2 - 4 x 25 69418 -4 X-X一2 273=一,30 - 4 X - 252i=1a= y - b x69735X-=-2.252故y与x的线性回归方程为y=gx2.（3）当x=9万元时，y=73x9-2=129.4（万元）.5所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元.22.（本小题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4，为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形.图4(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；1111(3)求;+；+：+；的值.f1f2-1f3-1fn-1【解】f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4X1,f(3)-f(2)=8=4X2,f(4)-f(3)=12=4X3,f(5)-f(4)=16=4X4,由上式规律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n?f(n)=f(n1)+4(n1)=f(n2)+4(n1)+4(n2)=f(n3)+4(n1)+4(n2)+4(n3)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+-+4=2n22n+1.12n n-11当n2时，fn-11111+-+f1f2-1f3-1fn-111111111_+一+_+-+2334n-1n1-=n22nz=的四个命题:1+ipi:|z|=2;p2：z2=2i;2+2i2十1008=(1+i)+-2i2i=1+i+(i)1008=-1+i+1=i.18.（本小题满分12分）已知关于x,y的方程组